mulsubdivbinom2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem mulsubdivbinom2 14157

Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a nonzero number. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulsubdivbinom2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

**Proof of Theorem mulsubdivbinom2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		mulbinom2 14118	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
7	6	oveq1d 7355	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷))
8	7	oveq1d 7355	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
9	2, 3, 5, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
10	5, 2	mulcld 11123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14039	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12		2cnd 12194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
17		mulcl 11081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 11123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
21	11, 20	addcld 11122	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22		sqcl 14013	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	21, 24	addcld 11122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
26		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
27		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
28		divsubdir 11806	. . . 4 ⊢ ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
30		divdir 11792	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
31	21, 24, 27, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
32		divdir 11792	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
33	11, 20, 27, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
34		sqmul 14014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
35	4, 1, 34	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
36	35	oveq1d 7355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶))
37		sqcl 14013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
40		sqcl 14013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
43		div23 11786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
44	39, 42, 27, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
45		sqdivid 14017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
47	46	oveq1d 7355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
48	36, 44, 47	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
49		div23 11786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
50	16, 19, 27, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
51		2cnd 12194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
53	51, 4, 52	divcan4d 11894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
55	54	oveq1d 7355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
56	50, 55	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
57	48, 56	oveq12d 7358	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
58	33, 57	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
59	58	oveq1d 7355	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
60	31, 59	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
61	60	oveq1d 7355	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)))
62	5, 42	mulcld 11123	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
63		2cnd 12194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
64	63, 17	mulcld 11123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
67	62, 66	addcld 11122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
68	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ≠ 0)
69	24, 5, 68	divcld 11888	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵↑2) / 𝐶) ∈ ℂ)
70	26, 5, 68	divcld 11888	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsubassd 11483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
72	29, 61, 71	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
73		divsubdir 11806	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
74	24, 26, 27, 73	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
75	74	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶))
76	75	oveq2d 7356	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))
77	9, 72, 76	3eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 (class class class)co 7340 ℂcc 10995 0cc0 10997 + caddc 11000 · cmul 11002 − cmin 11335 / cdiv 11765 2c2 12171 ↑cexp 13956

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5300 ax-pr 5367 ax-un 7662 ax-cnex 11053 ax-resscn 11054 ax-1cn 11055 ax-icn 11056 ax-addcl 11057 ax-addrcl 11058 ax-mulcl 11059 ax-mulrcl 11060 ax-mulcom 11061 ax-addass 11062 ax-mulass 11063 ax-distr 11064 ax-i2m1 11065 ax-1ne0 11066 ax-1rid 11067 ax-rnegex 11068 ax-rrecex 11069 ax-cnre 11070 ax-pre-lttri 11071 ax-pre-lttrn 11072 ax-pre-ltadd 11073 ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3393 df-v 3435 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4281 df-if 4473 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4857 df-iun 4940 df-br 5089 df-opab 5151 df-mpt 5170 df-tr 5196 df-id 5508 df-eprel 5513 df-po 5521 df-so 5522 df-fr 5566 df-we 5568 df-xp 5619 df-rel 5620 df-cnv 5621 df-co 5622 df-dm 5623 df-rn 5624 df-res 5625 df-ima 5626 df-pred 6243 df-ord 6304 df-on 6305 df-lim 6306 df-suc 6307 df-iota 6432 df-fun 6478 df-fn 6479 df-f 6480 df-f1 6481 df-fo 6482 df-f1o 6483 df-fv 6484 df-riota 7297 df-ov 7343 df-oprab 7344 df-mpo 7345 df-om 7791 df-2nd 7916 df-frecs 8205 df-wrecs 8236 df-recs 8285 df-rdg 8323 df-er 8616 df-en 8864 df-dom 8865 df-sdom 8866 df-pnf 11139 df-mnf 11140 df-xr 11141 df-ltxr 11142 df-le 11143 df-sub 11337 df-neg 11338 df-div 11766 df-nn 12117 df-2 12179 df-n0 12373 df-z 12460 df-uz 12724 df-seq 13897 df-exp 13957

This theorem is referenced by: muldivbinom2 14158 2lgsoddprmlem1 27300

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