mulsubdivbinom2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem mulsubdivbinom2 14227

Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a nonzero number. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulsubdivbinom2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

**Proof of Theorem mulsubdivbinom2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		mulbinom2 14188	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
7	6	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷))
8	7	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
9	2, 3, 5, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
10	5, 2	mulcld 11194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12		2cnd 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
17		mulcl 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 11194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
21	11, 20	addcld 11193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22		sqcl 14083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	21, 24	addcld 11193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
26		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
27		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
28		divsubdir 11876	. . . 4 ⊢ ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
30		divdir 11862	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
31	21, 24, 27, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
32		divdir 11862	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
33	11, 20, 27, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
34		sqmul 14084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
35	4, 1, 34	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
36	35	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶))
37		sqcl 14083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
40		sqcl 14083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
43		div23 11856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
44	39, 42, 27, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
45		sqdivid 14087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
47	46	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
48	36, 44, 47	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
49		div23 11856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
50	16, 19, 27, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
51		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
53	51, 4, 52	divcan4d 11964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
55	54	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
56	50, 55	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
57	48, 56	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
58	33, 57	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
59	58	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
60	31, 59	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
61	60	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)))
62	5, 42	mulcld 11194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
63		2cnd 12264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
64	63, 17	mulcld 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
67	62, 66	addcld 11193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
68	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ≠ 0)
69	24, 5, 68	divcld 11958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵↑2) / 𝐶) ∈ ℂ)
70	26, 5, 68	divcld 11958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsubassd 11553	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
72	29, 61, 71	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
73		divsubdir 11876	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
74	24, 26, 27, 73	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
75	74	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶))
76	75	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))
77	9, 72, 76	3eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 0cc0 11068 + caddc 11071 · cmul 11073 − cmin 11405 / cdiv 11835 2c2 12241 ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-seq 13967 df-exp 14027

This theorem is referenced by: muldivbinom2 14228 2lgsoddprmlem1 27319

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