mulsubdivbinom2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem mulsubdivbinom2 14269

Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a nonzero number. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulsubdivbinom2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

**Proof of Theorem mulsubdivbinom2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpl2 1205	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		mulbinom2 14230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
7	6	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷))
8	7	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
9	2, 3, 5, 8	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
10	5, 2	mulcld 11196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12		2cnd 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
17		mulcl 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	3adant3 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 11196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
21	11, 20	addcld 11195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22		sqcl 14125	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	22	3ad2ant2 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
24	23	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	21, 24	addcld 11195	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
26		simpl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
27		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
28		divsubdir 11878	. . . 4 ⊢ ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
30		divdir 11864	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
31	21, 24, 27, 30	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
32		divdir 11864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
33	11, 20, 27, 32	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
34		sqmul 14126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
35	4, 1, 34	syl2anr 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
36	35	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶))
37		sqcl 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
38	37	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
39	38	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
40		sqcl 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
42	41	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
43		div23 11858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
44	39, 42, 27, 43	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
45		sqdivid 14129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
46	45	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
47	46	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
48	36, 44, 47	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
49		div23 11858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
50	16, 19, 27, 49	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
51		2cnd 12290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
52		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
53	51, 4, 52	divcan4d 11967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
54	53	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
55	54	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
56	50, 55	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
57	48, 56	oveq12d 7409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
58	33, 57	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
59	58	oveq1d 7406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
60	31, 59	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
61	60	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)))
62	5, 42	mulcld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
63		2cnd 12290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
64	63, 17	mulcld 11196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
65	64	3adant3 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
67	62, 66	addcld 11195	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
68	52	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ≠ 0)
69	24, 5, 68	divcld 11961	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵↑2) / 𝐶) ∈ ℂ)
70	26, 5, 68	divcld 11961	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsubassd 11556	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
72	29, 61, 71	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
73		divsubdir 11878	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
74	24, 26, 27, 73	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
75	74	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶))
76	75	oveq2d 7407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))
77	9, 72, 76	3eqtrd 2800	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1097 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ≠ wne 2956 (class class class)co 7391 ℂcc 11065 0cc0 11067 + caddc 11070 · cmul 11072 − cmin 11408 / cdiv 11838 2c2 12266 ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5319 ax-pr 5387 ax-un 7713 ax-cnex 11123 ax-resscn 11124 ax-1cn 11125 ax-icn 11126 ax-addcl 11127 ax-addrcl 11128 ax-mulcl 11129 ax-mulrcl 11130 ax-mulcom 11131 ax-addass 11132 ax-mulass 11133 ax-distr 11134 ax-i2m1 11135 ax-1ne0 11136 ax-1rid 11137 ax-rnegex 11138 ax-rrecex 11139 ax-cnre 11140 ax-pre-lttri 11141 ax-pre-lttrn 11142 ax-pre-ltadd 11143 ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4863 df-iun 4948 df-br 5098 df-opab 5160 df-mpt 5179 df-tr 5205 df-id 5538 df-eprel 5543 df-po 5551 df-so 5552 df-fr 5596 df-we 5598 df-xp 5649 df-rel 5650 df-cnv 5651 df-co 5652 df-dm 5653 df-rn 5654 df-res 5655 df-ima 5656 df-pred 6283 df-ord 6344 df-on 6345 df-lim 6346 df-suc 6347 df-iota 6472 df-fun 6518 df-fn 6519 df-f 6520 df-f1 6521 df-fo 6522 df-f1o 6523 df-fv 6524 df-riota 7348 df-ov 7394 df-oprab 7395 df-mpo 7396 df-om 7842 df-2nd 7966 df-frecs 8256 df-wrecs 8287 df-recs 8336 df-rdg 8375 df-er 8672 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-pnf 11212 df-mnf 11213 df-xr 11214 df-ltxr 11215 df-le 11216 df-sub 11410 df-neg 11411 df-div 11839 df-nn 12205 df-2 12274 df-n0 12476 df-z 12563 df-uz 12834 df-seq 14009 df-exp 14069

This theorem is referenced by: muldivbinom2 14270 2lgsoddprmlem1 27460

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