MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsubdivbinom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsubdivbinom2 14218
Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a nonzero number. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsubdivbinom2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ)))

Proof of Theorem mulsubdivbinom2
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 simpl2 1192 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 simpl 483 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
54adantl 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6 mulbinom2 14182 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
76oveq1d 7420 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) = (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท))
87oveq1d 7420 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ))
92, 3, 5, 8syl3anc 1371 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ))
105, 2mulcld 11230 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1110sqcld 14105 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
12 2cnd 12286 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
13 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1412, 13mulcld 11230 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1615adantl 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11190 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
18173adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1918adantr 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2016, 19mulcld 11230 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2111, 20addcld 11229 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
22 sqcl 14079 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
23223ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2423adantr 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2521, 24addcld 11229 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
26 simpl3 1193 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
27 simpr 485 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
28 divsubdir 11904 . . . 4 ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1371 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
30 divdir 11893 . . . . . 6 (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) = (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)))
3121, 24, 27, 30syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) = (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)))
32 divdir 11893 . . . . . . . 8 ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) + (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ)))
3311, 20, 27, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) + (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ)))
34 sqmul 14080 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
354, 1, 34syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
3635oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) / ๐ถ))
37 sqcl 14079 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3938adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
40 sqcl 14079 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
41403ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
43 div23 11887 . . . . . . . . . 10 (((๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) / ๐ถ) = (((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) ยท (๐ดโ†‘2)))
4439, 42, 27, 43syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) / ๐ถ) = (((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) ยท (๐ดโ†‘2)))
45 sqdivid 14083 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) = ๐ถ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) = ๐ถ)
4746oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) ยท (๐ดโ†‘2)) = (๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)))
4836, 44, 473eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)))
49 div23 11887 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ) = (((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5016, 19, 27, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ) = (((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
51 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5351, 4, 52divcan4d 11992 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) = 2)
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) = 2)
5554oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5650, 55eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ) = (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5748, 56oveq12d 7423 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) + (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ)) = ((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
5833, 57eqtrd 2772 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) = ((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
5958oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)))
6031, 59eqtrd 2772 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)))
6160oveq1d 7420 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)) = ((((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
625, 42mulcld 11230 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
63 2cnd 12286 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6463, 17mulcld 11230 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
65643adant3 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
6665adantr 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
6762, 66addcld 11229 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
6852adantl 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
6924, 5, 68divcld 11986 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7026, 5, 68divcld 11986 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ท / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7167, 69, 70addsubassd 11587 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ))))
7229, 61, 713eqtrd 2776 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ))))
73 divsubdir 11904 . . . . 5 (((๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
7424, 26, 27, 73syl3anc 1371 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
7574eqcomd 2738 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)) = (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ))
7675oveq2d 7421 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ))) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ)))
779, 72, 763eqtrd 2776 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  โ†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  muldivbinom2  14219  2lgsoddprmlem1  26900
  Copyright terms: Public domain W3C validator