MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsubdivbinom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsubdivbinom2 14302
Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a nonzero number. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsubdivbinom2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

Proof of Theorem mulsubdivbinom2
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simpl2 1192 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 simpl 482 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
54adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6 mulbinom2 14263 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
76oveq1d 7447 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷))
87oveq1d 7447 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
92, 3, 5, 8syl3anc 1372 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
105, 2mulcld 11282 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
1110sqcld 14185 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12 2cnd 12345 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
1412, 13mulcld 11282 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℂ → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
17 mulcl 11240 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
18173adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
1918adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 11282 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2111, 20addcld 11281 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22 sqcl 14159 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23223ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2423adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2521, 24addcld 11281 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
26 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
27 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
28 divsubdir 11962 . . . 4 ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1372 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
30 divdir 11948 . . . . . 6 (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
3121, 24, 27, 30syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
32 divdir 11948 . . . . . . . 8 ((((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
3311, 20, 27, 32syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
34 sqmul 14160 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
354, 1, 34syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
3635oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶))
37 sqcl 14159 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
40 sqcl 14159 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
41403ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
43 div23 11942 . . . . . . . . . 10 (((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
4439, 42, 27, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
45 sqdivid 14163 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
4645adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
4746oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
4836, 44, 473eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
49 div23 11942 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
5016, 19, 27, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
51 2cnd 12345 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
5351, 4, 52divcan4d 12050 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
5453adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
5554oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
5650, 55eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
5748, 56oveq12d 7450 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
5833, 57eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
5958oveq1d 7447 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
6031, 59eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
6160oveq1d 7447 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)))
625, 42mulcld 11282 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
63 2cnd 12345 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
6463, 17mulcld 11282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
65643adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
6665adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
6762, 66addcld 11281 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
6852adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ≠ 0)
6924, 5, 68divcld 12044 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵↑2) / 𝐶) ∈ ℂ)
7026, 5, 68divcld 12044 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
7167, 69, 70addsubassd 11641 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
7229, 61, 713eqtrd 2780 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
73 divsubdir 11962 . . . . 5 (((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
7424, 26, 27, 73syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
7574eqcomd 2742 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶))
7675oveq2d 7448 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))
779, 72, 763eqtrd 2780 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921  2c2 12322  cexp 14103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104
This theorem is referenced by:  muldivbinom2  14303  2lgsoddprmlem1  27453
  Copyright terms: Public domain W3C validator