mulsubdivbinom2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem mulsubdivbinom2 14173

Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a nonzero number. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulsubdivbinom2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

**Proof of Theorem mulsubdivbinom2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6		mulbinom2 14134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
7	6	oveq1d 7369	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷))
8	7	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
9	2, 3, 5, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶))
10	5, 2	mulcld 11141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14055	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12		2cnd 12212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
13		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcld 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
17		mulcl 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 11141	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
21	11, 20	addcld 11140	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22		sqcl 14029	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	21, 24	addcld 11140	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
26		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
27		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
28		divsubdir 11824	. . . 4 ⊢ ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
30		divdir 11810	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
31	21, 24, 27, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
32		divdir 11810	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
33	11, 20, 27, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)))
34		sqmul 14030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
35	4, 1, 34	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
36	35	oveq1d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶))
37		sqcl 14029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
40		sqcl 14029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
43		div23 11804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
44	39, 42, 27, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) / 𝐶) = (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)))
45		sqdivid 14033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶↑2) / 𝐶) = 𝐶)
47	46	oveq1d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶↑2) / 𝐶) · (𝐴↑2)) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
48	36, 44, 47	3eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) = (𝐶 · (𝐴↑2)))
49		div23 11804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
50	16, 19, 27, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
51		2cnd 12212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
53	51, 4, 52	divcan4d 11912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((2 · 𝐶) / 𝐶) = 2)
55	54	oveq1d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) / 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
56	50, 55	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶) = (2 · (𝐴 · 𝐵)))
57	48, 56	oveq12d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) / 𝐶) + (((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) / 𝐶)) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
58	33, 57	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) = ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
59	58	oveq1d 7369	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) / 𝐶) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
60	31, 59	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)))
61	60	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)))
62	5, 42	mulcld 11141	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐶 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
63		2cnd 12212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
64	63, 17	mulcld 11141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
67	62, 66	addcld 11140	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
68	52	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐶 ≠ 0)
69	24, 5, 68	divcld 11906	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵↑2) / 𝐶) ∈ ℂ)
70	26, 5, 68	divcld 11906	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
71	67, 69, 70	addsubassd 11501	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + ((𝐵↑2) / 𝐶)) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
72	29, 61, 71	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((2 · 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))))
73		divsubdir 11824	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
74	24, 26, 27, 73	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)))
75	74	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶)) = (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶))
76	75	oveq2d 7370	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) / 𝐶) − (𝐷 / 𝐶))) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))
77	9, 72, 76	3eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)↑2) − 𝐷) / 𝐶) = (((𝐶 · (𝐴↑2)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (((𝐵↑2) − 𝐷) / 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2929 (class class class)co 7354 ℂcc 11013 0cc0 11015 + caddc 11018 · cmul 11020 − cmin 11353 / cdiv 11783 2c2 12189 ↑cexp 13972

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7676 ax-cnex 11071 ax-resscn 11072 ax-1cn 11073 ax-icn 11074 ax-addcl 11075 ax-addrcl 11076 ax-mulcl 11077 ax-mulrcl 11078 ax-mulcom 11079 ax-addass 11080 ax-mulass 11081 ax-distr 11082 ax-i2m1 11083 ax-1ne0 11084 ax-1rid 11085 ax-rnegex 11086 ax-rrecex 11087 ax-cnre 11088 ax-pre-lttri 11089 ax-pre-lttrn 11090 ax-pre-ltadd 11091 ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4861 df-iun 4945 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6255 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6444 df-fun 6490 df-fn 6491 df-f 6492 df-f1 6493 df-fo 6494 df-f1o 6495 df-fv 6496 df-riota 7311 df-ov 7357 df-oprab 7358 df-mpo 7359 df-om 7805 df-2nd 7930 df-frecs 8219 df-wrecs 8250 df-recs 8299 df-rdg 8337 df-er 8630 df-en 8878 df-dom 8879 df-sdom 8880 df-pnf 11157 df-mnf 11158 df-xr 11159 df-ltxr 11160 df-le 11161 df-sub 11355 df-neg 11356 df-div 11784 df-nn 12135 df-2 12197 df-n0 12391 df-z 12478 df-uz 12741 df-seq 13913 df-exp 13973

This theorem is referenced by: muldivbinom2 14174 2lgsoddprmlem1 27349

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