MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsubdivbinom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsubdivbinom2 14245
Description: The square of a binomial with factor minus a number divided by a nonzero number. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsubdivbinom2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ)))

Proof of Theorem mulsubdivbinom2
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 simpl2 1190 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 simpl 482 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
54adantl 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6 mulbinom2 14209 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
76oveq1d 7429 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) = (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท))
87oveq1d 7429 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ))
92, 3, 5, 8syl3anc 1369 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ))
105, 2mulcld 11256 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1110sqcld 14132 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
12 2cnd 12312 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
13 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1412, 13mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1615adantl 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11214 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
18173adant3 1130 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1918adantr 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2016, 19mulcld 11256 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2111, 20addcld 11255 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
22 sqcl 14106 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
23223ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2423adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2521, 24addcld 11255 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
26 simpl3 1191 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
27 simpr 484 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
28 divsubdir 11930 . . . 4 ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
30 divdir 11919 . . . . . 6 (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) = (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)))
3121, 24, 27, 30syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) = (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)))
32 divdir 11919 . . . . . . . 8 ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) + (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ)))
3311, 20, 27, 32syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) = ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) + (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ)))
34 sqmul 14107 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
354, 1, 34syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
3635oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) = (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) / ๐ถ))
37 sqcl 14106 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3938adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
40 sqcl 14106 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
41403ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
43 div23 11913 . . . . . . . . . 10 (((๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) / ๐ถ) = (((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) ยท (๐ดโ†‘2)))
4439, 42, 27, 43syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) / ๐ถ) = (((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) ยท (๐ดโ†‘2)))
45 sqdivid 14110 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) = ๐ถ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) = ๐ถ)
4746oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถโ†‘2) / ๐ถ) ยท (๐ดโ†‘2)) = (๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)))
4836, 44, 473eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)))
49 div23 11913 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ) = (((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5016, 19, 27, 49syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ) = (((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)))
51 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5351, 4, 52divcan4d 12018 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) = 2)
5453adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) = 2)
5554oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) / ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5650, 55eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ) = (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5748, 56oveq12d 7432 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) / ๐ถ) + (((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต)) / ๐ถ)) = ((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
5833, 57eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) = ((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
5958oveq1d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) / ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)))
6031, 59eqtrd 2767 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)))
6160oveq1d 7429 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)) = ((((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
625, 42mulcld 11256 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
63 2cnd 12312 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6463, 17mulcld 11256 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
65643adant3 1130 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
6665adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
6762, 66addcld 11255 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
6852adantl 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
6924, 5, 68divcld 12012 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7026, 5, 68divcld 12012 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ท / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7167, 69, 70addsubassd 11613 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + ((๐ตโ†‘2) / ๐ถ)) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ))))
7229, 61, 713eqtrd 2771 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((((((๐ถ ยท ๐ด)โ†‘2) + ((2 ยท ๐ถ) ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ))))
73 divsubdir 11930 . . . . 5 (((๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
7424, 26, 27, 73syl3anc 1369 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)))
7574eqcomd 2733 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ)) = (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ))
7675oveq2d 7430 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) / ๐ถ) โˆ’ (๐ท / ๐ถ))) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ)))
779, 72, 763eqtrd 2771 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (((((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ) = (((๐ถ ยท (๐ดโ†‘2)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (((๐ตโ†‘2) โˆ’ ๐ท) / ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  0cc0 11130   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  โ†‘cexp 14050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 13991  df-exp 14051
This theorem is referenced by:  muldivbinom2  14246  2lgsoddprmlem1  27328
  Copyright terms: Public domain W3C validator