Theorem binom2 14128

Description: The square of a binomial. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
binom2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7361	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵))
2	1	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2))
3		oveq1 7361	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
4		oveq1 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))
5	4	oveq2d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)))
6	3, 5	oveq12d 7372	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))))
7	6	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
8	2, 7	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
9		oveq2 7362	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10	9	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
11		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
12	11	oveq2d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
13	12	oveq2d 7370	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14		oveq1 7361	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
15	13, 14	oveq12d 7372	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
16	10, 15	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))))
17		0cn 11113	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	17	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
19	17	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
20	18, 19	binom2i 14123	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
21	8, 16, 20	dedth2h 4536	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4476  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  0cc0 11015   + caddc 11018   · cmul 11020  2c2 12189  ↑cexp 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-seq 13913  df-exp 13973

This theorem is referenced by:  binom2d  14129  binom21  14130  binom2sub  14131  mulbinom2  14134  binom3  14135  01sqrexlem7  15159  abstri  15242  sqreulem  15271  amgm2  15281  bhmafibid1cn  15377  bhmafibid2cn  15378  pythagtriplem1  16732  pythagtriplem12  16742  tcphcphlem1  25165  csbren  25329  trirn  25330  tanarg  26558  heron  26778  quad2  26779  dquartlem2  26792  dquart  26793  quart1  26796  sqrtcval  43761  stirlinglem10  46208  itsclc0xyqsolr  48897  2itscplem2  48907