Theorem binom2 14189

Description: The square of a binomial. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
binom2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵))
2	1	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2))
3		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
4		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))
5	4	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)))
6	3, 5	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))))
7	6	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
8	2, 7	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
9		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10	9	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
11		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
12	11	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
13	12	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
15	13, 14	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
16	10, 15	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))))
17		0cn 11173	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	17	elimel 4561	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
19	17	elimel 4561	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
20	18, 19	binom2i 14184	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
21	8, 16, 20	dedth2h 4551	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  binom2d  14190  binom21  14191  binom2sub  14192  mulbinom2  14195  binom3  14196  01sqrexlem7  15221  abstri  15304  sqreulem  15333  amgm2  15343  bhmafibid1cn  15439  bhmafibid2cn  15440  pythagtriplem1  16794  pythagtriplem12  16804  tcphcphlem1  25142  csbren  25306  trirn  25307  tanarg  26535  heron  26755  quad2  26756  dquartlem2  26769  dquart  26770  quart1  26773  sqrtcval  43637  stirlinglem10  46088  itsclc0xyqsolr  48762  2itscplem2  48772