Theorem binom2 14152

Description: The square of a binomial. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
binom2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵))
2	1	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2))
3		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴↑2) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2))
4		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (𝐴 · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))
5	4	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)))
6	3, 5	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))))
7	6	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
8	2, 7	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
9		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
10	9	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
11		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
12	11	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵)) = (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
13	12	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) = ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))))
14		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (𝐵↑2) = (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
15	13, 14	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2)))
16	10, 15	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + 𝐵)↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · 𝐵))) + (𝐵↑2)) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))))
17		0cn 11136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	17	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
19	17	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
20	18, 19	binom2i 14147	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2) = (((if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)↑2) + (2 · (if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) · if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))) + (if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)↑2))
21	8, 16, 20	dedth2h 4541	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  binom2d  14153  binom21  14154  binom2sub  14155  mulbinom2  14158  binom3  14159  01sqrexlem7  15183  abstri  15266  sqreulem  15295  amgm2  15305  bhmafibid1cn  15401  bhmafibid2cn  15402  pythagtriplem1  16756  pythagtriplem12  16766  tcphcphlem1  25203  csbren  25367  trirn  25368  tanarg  26596  heron  26816  quad2  26817  dquartlem2  26830  dquart  26831  quart1  26834  sqrtcval  43994  stirlinglem10  46438  itsclc0xyqsolr  49126  2itscplem2  49136