Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpadd 38275
Description: The pointwise sum of two polynomial functions is a polynomial function. See also mzpaddmpt 38278. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpadd ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝐴𝑓 + 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Proof of Theorem mzpadd
StepHypRef Expression
1 elfvex 6482 . . . . 5 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
21adantr 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3 mzpincl 38271 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
42, 3syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
5 mzpcl34 38268 . . . 4 (((mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝐴𝑓 + 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝐴𝑓 · 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
653expib 1113 . . 3 ((mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝐴𝑓 + 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝐴𝑓 · 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
74, 6mpcom 38 . 2 ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝐴𝑓 + 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝐴𝑓 · 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
87simpld 490 1 ((𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐵 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝐴𝑓 + 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107  Vcvv 3398  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑓 cof 7174   + caddc 10277   · cmul 10279  mzPolyCldcmzpcl 38258  mzPolycmzp 38259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-mzpcl 38260  df-mzp 38261
This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  38278  mzpmfp  38284
  Copyright terms: Public domain W3C validator