Theorem mzpaddmpt 40572

Description: Sum of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpadd 40569. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpaddmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mzpaddmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpf 40567	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
2	1	ffnd 6599	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉))
3		mzpf 40567	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4	3	ffnd 6599	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉))
5		ovex 7305	. . . 4 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
6		ofmpteq 7550	. . . 4 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f + (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)))
7	5, 6	mp3an1 1447	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f + (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)))
8	2, 4, 7	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f + (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)))
9		mzpadd 40569	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f + (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
10	8, 9	eqeltrrd 2842	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5162   Fn wfn 6427  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272   ∘_f cof 7526   ↑_m cmap 8607   + caddc 10885  ℤcz 12330  mzPolycmzp 40553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-n0 12245  df-z 12331  df-mzpcl 40554  df-mzp 40555

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  40574  mzpsubst  40579  mzpcompact2lem  40582  diophin  40603  rmydioph  40845  expdiophlem2  40853