Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpaddmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpaddmpt 41111
Description: Sum of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpadd 41108. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpaddmpt (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐡)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mzpaddmpt
StepHypRef Expression
1 mzpf 41106 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
21ffnd 6673 . . 3 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (β„€ ↑m 𝑉))
3 mzpf 41106 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡):(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
43ffnd 6673 . . 3 ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) Fn (β„€ ↑m 𝑉))
5 ovex 7394 . . . 4 (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V
6 ofmpteq 7643 . . . 4 (((β„€ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) Fn (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f + (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐡)))
75, 6mp3an1 1449 . . 3 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (β„€ ↑m 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) Fn (β„€ ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f + (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐡)))
82, 4, 7syl2an 597 . 2 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f + (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐡)))
9 mzpadd 41108 . 2 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f + (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
108, 9eqeltrrd 2835 1 (((π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ 𝐡) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 + 𝐡)) ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5192   Fn wfn 6495  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   ↑m cmap 8771   + caddc 11062  β„€cz 12507  mzPolycmzp 41092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-mzpcl 41093  df-mzp 41094
This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  41113  mzpsubst  41118  mzpcompact2lem  41121  diophin  41142  rmydioph  41385  expdiophlem2  41393
  Copyright terms: Public domain W3C validator