Theorem mzpresrename 40488

Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mzpresrename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzpresrename

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6157	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)) = (𝑥 ↾ 𝑉)
2	1	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))
3	2	mpteq2i 5175	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉)))
4		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑊 ∈ V)
5		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6		f1oi 6737	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
7		f1of 6700	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉
9		fss 6601	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
10	8, 9	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑊 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
11	10	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
12		mzprename 40487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
13	4, 5, 11, 12	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
14	3, 13	eqeltrrid 2844	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℤcz 12249  mzPolycmzp 40460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-mzpcl 40461  df-mzp 40462

This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  40489  diophin  40510  rabdiophlem2  40540