Theorem mzpresrename 42782

Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mzpresrename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzpresrename

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6212	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)) = (𝑥 ↾ 𝑉)
2	1	fveq2i 6825	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))
3	2	mpteq2i 5187	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉)))
4		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑊 ∈ V)
5		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6		f1oi 6801	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
7		f1of 6763	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉
9		fss 6667	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
10	8, 9	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑊 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
12		mzprename 42781	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
13	4, 5, 11, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
14	3, 13	eqeltrrid 2836	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5172   I cid 5510   ↾ cres 5618   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℤcz 12465  mzPolycmzp 42754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-mzpcl 42755  df-mzp 42756

This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  42783  diophin  42804  rabdiophlem2  42834