Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpresrename Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpresrename 40144
Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mzpresrename ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzpresrename
StepHypRef Expression
1 coires1 6097 . . . 4 (𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)) = (𝑥𝑉)
21fveq2i 6677 . . 3 (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘(𝑥𝑉))
32mpteq2i 5122 . 2 (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉)))
4 simp1 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑊 ∈ V)
5 simp3 1139 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6 f1oi 6655 . . . . . 6 ( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉
7 f1of 6618 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉
9 fss 6521 . . . . 5 ((( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉𝑉𝑊) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
108, 9mpan 690 . . . 4 (𝑉𝑊 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
11103ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
12 mzprename 40143 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
134, 5, 11, 12syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
143, 13eqeltrrid 2838 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088  wcel 2114  Vcvv 3398  wss 3843  cmpt 5110   I cid 5428  cres 5527  ccom 5529  wf 6335  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  cz 12062  mzPolycmzp 40116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-mzpcl 40117  df-mzp 40118
This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  40145  diophin  40166  rabdiophlem2  40196
  Copyright terms: Public domain W3C validator