Theorem mzpresrename 44027

Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mzpresrename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzpresrename

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6288	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)) = (𝑥 ↾ 𝑉)
2	1	fveq2i 6919	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))
3	2	mpteq2i 5207	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉)))
4		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑊 ∈ V)
5		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6		f1oi 6894	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶1-1onto𝑉
7		f1of 6854	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉⟶1-1onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉
9		fss 6756	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
10	8, 9	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑊 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
11	10	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
12		mzprename 44026	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
13	4, 5, 11, 12	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
14	3, 13	eqeltrrid 2869	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5192   I cid 5552   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℤcz 12733  mzPolycmzp 43999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-mzpcl 44000  df-mzp 44001

This theorem is used by:  mzpcompact2lem  44028  diophin  44049  rabdiophlem2  44075