Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpresrename Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpresrename 39209
 Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mzpresrename ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzpresrename
StepHypRef Expression
1 coires1 6114 . . . 4 (𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)) = (𝑥𝑉)
21fveq2i 6669 . . 3 (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘(𝑥𝑉))
32mpteq2i 5154 . 2 (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉)))
4 simp1 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑊 ∈ V)
5 simp3 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6 f1oi 6648 . . . . . 6 ( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉
7 f1of 6611 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑉):𝑉1-1-onto𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉
9 fss 6523 . . . . 5 ((( I ↾ 𝑉):𝑉𝑉𝑉𝑊) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
108, 9mpan 686 . . . 4 (𝑉𝑊 → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
11103ad2ant2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊)
12 mzprename 39208 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
134, 5, 11, 12syl3anc 1365 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
143, 13eqeltrrid 2922 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉𝑊𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1081   ∈ wcel 2106  Vcvv 3499   ⊆ wss 3939   ↦ cmpt 5142   I cid 5457   ↾ cres 5555   ∘ ccom 5557  ⟶wf 6347  –1-1-onto→wf1o 6350  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   ↑m cmap 8399  ℤcz 11973  mzPolycmzp 39181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-mzpcl 39182  df-mzp 39183 This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  39210  diophin  39231  rabdiophlem2  39261
 Copyright terms: Public domain W3C validator