Theorem mzpresrename 42867

Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mzpresrename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzpresrename

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coires1 6217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)) = (𝑥 ↾ 𝑉)
2	1	fveq2i 6831	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))
3	2	mpteq2i 5189	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉)))
4		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑊 ∈ V)
5		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉))
6		f1oi 6806	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉
7		f1of 6768	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑉):𝑉–1-1-onto→𝑉 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉
9		fss 6672	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
10	8, 9	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑊 → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊)
12		mzprename 42866	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ( I ↾ 𝑉):𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
13	4, 5, 11, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ ( I ↾ 𝑉)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
14	3, 13	eqeltrrid 2838	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ↾ 𝑉))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5174   I cid 5513   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6482  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  ℤcz 12475  mzPolycmzp 42839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-mzpcl 42840  df-mzp 42841

This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  42868  diophin  42889  rabdiophlem2  42919