Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzprename Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzprename 39754
 Description: Simplified version of mzpsubst 39753 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
2 zex 11985 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
3 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4 elmapg 8409 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
52, 3, 4sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
61, 5mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑅:𝑉𝑊)
8 fcompt 6877 . . . . . . 7 ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))))
96, 7, 8syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))))
10 fveq1 6649 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅𝑎)) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
11 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))
12 fvex 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑥‘(𝑅𝑎)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6750 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
1413ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
1514eqcomd 2804 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑥‘(𝑅𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥))
1615mpteq2dva 5126 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))) = (𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))
179, 16eqtrd 2833 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))
1817fveq2d 6654 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥𝑅)) = (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥))))
1918mpteq2dva 5126 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))))
20193adant2 1128 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))))
21 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22 ffvelrn 6831 . . . . . 6 ((𝑅:𝑉𝑊𝑎𝑉) → (𝑅𝑎) ∈ 𝑊)
23223ad2antl3 1184 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑅𝑎) ∈ 𝑊)
24 mzpproj 39742 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2521, 23, 24syl2anc 587 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2625ralrimiva 3149 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → ∀𝑎𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27 mzpsubst 39753 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2826, 27syld3an3 1406 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2920, 28eqeltrd 2890 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5111   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8396  ℤcz 11976  mzPolycmzp 39727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-mzpcl 39728  df-mzp 39729 This theorem is referenced by:  mzpresrename  39755  eldioph2  39767  eldioph2b  39768  diophren  39818
 Copyright terms: Public domain W3C validator