Theorem mzprename 42867

Description: Simplified version of mzpsubst 42866 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzprename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
2		zex 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
3		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4		elmapg 8769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑅:𝑉⟶𝑊)
8		fcompt 7072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
10		fveq1 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅‘𝑎)) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
11		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))
12		fvex 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
15	14	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
17	9, 16	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
18	17	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅)) = (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))))
19	18	mpteq2dva 5186	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
20	19	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
21		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22		ffvelcdm 7020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅:𝑉⟶𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
23	22	3ad2antl3 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
24		mzpproj 42855	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
26	25	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27		mzpsubst 42866	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
28	26, 27	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
29	20, 28	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5174   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  ℤcz 12475  mzPolycmzp 42840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-mzpcl 42841  df-mzp 42842

This theorem is referenced by:  mzpresrename  42868  eldioph2  42880  eldioph2b  42881  diophren  42931