Theorem mzprename 41789

Description: Simplified version of mzpsubst 41788 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzprename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
2		zex 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
3		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4		elmapg 8835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
5	2, 3, 4	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
6	1, 5	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑅:𝑉⟶𝑊)
8		fcompt 7132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
9	6, 7, 8	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
10		fveq1 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅‘𝑎)) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
11		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))
12		fvex 6903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
14	13	ad2antlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
15	14	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
17	9, 16	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
18	17	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅)) = (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))))
19	18	mpteq2dva 5247	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
20	19	3adant2 1129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
21		simpl1 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22		ffvelcdm 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅:𝑉⟶𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
23	22	3ad2antl3 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
24		mzpproj 41777	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
25	21, 23, 24	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
26	25	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27		mzpsubst 41788	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
28	26, 27	syld3an3 1407	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
29	20, 28	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  ℤcz 12562  mzPolycmzp 41762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-mzpcl 41763  df-mzp 41764

This theorem is referenced by:  mzpresrename  41790  eldioph2  41802  eldioph2b  41803  diophren  41853