Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzprename Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzprename 41487
Description: Simplified version of mzpsubst 41486 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ ∘ 𝑅))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š))
2 zex 12567 . . . . . . . . 9 β„€ ∈ V
3 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ V)
4 elmapg 8833 . . . . . . . . 9 ((β„€ ∈ V ∧ π‘Š ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↔ π‘₯:π‘ŠβŸΆβ„€))
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↔ π‘₯:π‘ŠβŸΆβ„€))
61, 5mpbid 231 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ π‘₯:π‘ŠβŸΆβ„€)
7 simplr 768 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š)
8 fcompt 7131 . . . . . . 7 ((π‘₯:π‘ŠβŸΆβ„€ ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑅) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯β€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
96, 7, 8syl2anc 585 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑅) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯β€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
10 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = π‘₯ β†’ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) = (π‘₯β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
11 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) = (𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
12 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (π‘₯β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) β†’ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯) = (π‘₯β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
1413ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯) = (π‘₯β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
1514eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) = ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯))
1615mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯β€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯)))
179, 16eqtrd 2773 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑅) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯)))
1817fveq2d 6896 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ ∘ 𝑅)) = (πΉβ€˜(π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯))))
1918mpteq2dva 5249 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ ∘ 𝑅))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯)))))
20193adant2 1132 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ ∘ 𝑅))) = (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯)))))
21 simpl1 1192 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ V)
22 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘…β€˜π‘Ž) ∈ π‘Š)
23223ad2antl3 1188 . . . . 5 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘…β€˜π‘Ž) ∈ π‘Š)
24 mzpproj 41475 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ (π‘…β€˜π‘Ž) ∈ π‘Š) β†’ (𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
2521, 23, 24syl2anc 585 . . . 4 (((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
2625ralrimiva 3147 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
27 mzpsubst 41486 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
2826, 27syld3an3 1410 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (π‘β€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))β€˜π‘₯)))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
2920, 28eqeltrd 2834 1 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝑅:π‘‰βŸΆπ‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (β„€ ↑m π‘Š) ↦ (πΉβ€˜(π‘₯ ∘ 𝑅))) ∈ (mzPolyβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„€cz 12558  mzPolycmzp 41460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-mzpcl 41461  df-mzp 41462
This theorem is referenced by:  mzpresrename  41488  eldioph2  41500  eldioph2b  41501  diophren  41551
  Copyright terms: Public domain W3C validator