Theorem mzprename 42760

Description: Simplified version of mzpsubst 42759 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzprename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
2		zex 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
3		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4		elmapg 8879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑅:𝑉⟶𝑊)
8		fcompt 7153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
10		fveq1 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅‘𝑎)) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
11		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))
12		fvex 6919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 7016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
15	14	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5242	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
17	9, 16	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
18	17	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅)) = (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))))
19	18	mpteq2dva 5242	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
20	19	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
21		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22		ffvelcdm 7101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅:𝑉⟶𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
23	22	3ad2antl3 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
24		mzpproj 42748	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
26	25	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27		mzpsubst 42759	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
28	26, 27	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
29	20, 28	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  ℤcz 12613  mzPolycmzp 42733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-mzpcl 42734  df-mzp 42735

This theorem is referenced by:  mzpresrename  42761  eldioph2  42773  eldioph2b  42774  diophren  42824