Theorem mzprename 42744

Description: Simplified version of mzpsubst 42743 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzprename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
2		zex 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
3		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4		elmapg 8815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑅:𝑉⟶𝑊)
8		fcompt 7108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
10		fveq1 6860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅‘𝑎)) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
11		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))
12		fvex 6874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
15	14	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5203	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
17	9, 16	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
18	17	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅)) = (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))))
19	18	mpteq2dva 5203	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
20	19	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
21		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22		ffvelcdm 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅:𝑉⟶𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
23	22	3ad2antl3 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
24		mzpproj 42732	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
26	25	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27		mzpsubst 42743	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
28	26, 27	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
29	20, 28	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  ℤcz 12536  mzPolycmzp 42717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-mzpcl 42718  df-mzp 42719

This theorem is referenced by:  mzpresrename  42745  eldioph2  42757  eldioph2b  42758  diophren  42808