Theorem mzprename 40274

Description: Simplified version of mzpsubst 40273 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzprename	⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊))
2		zex 12185	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
3		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4		elmapg 8521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
5	2, 3, 4	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
6	1, 5	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → 𝑅:𝑉⟶𝑊)
8		fcompt 6948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
9	6, 7, 8	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))))
10		fveq1 6716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅‘𝑎)) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
11		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))
12		fvex 6730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅‘𝑎)))
15	14	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥‘(𝑅‘𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5150	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
17	9, 16	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝑥 ∘ 𝑅) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))
18	17	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅)) = (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥))))
19	18	mpteq2dva 5150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
20	19	3adant2 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))))
21		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22		ffvelrn 6902	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅:𝑉⟶𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
23	22	3ad2antl3 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊)
24		mzpproj 40262	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅‘𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
25	21, 23, 24	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
26	25	ralrimiva 3105	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27		mzpsubst 40273	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
28	26, 27	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅‘𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
29	20, 28	eqeltrd 2838	1 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉⟶𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥 ∘ 𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  Vcvv 3408   ↦ cmpt 5135   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_m cmap 8508  ℤcz 12176  mzPolycmzp 40247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-mzpcl 40248  df-mzp 40249

This theorem is referenced by:  mzpresrename  40275  eldioph2  40287  eldioph2b  40288  diophren  40338