Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzprename Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzprename 38098
Description: Simplified version of mzpsubst 38097 to simply relabel variables in a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzprename ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Proof of Theorem mzprename
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 478 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊))
2 zex 11675 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ V
3 simpll 784 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
4 elmapg 8108 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
52, 3, 4sylancr 582 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↔ 𝑥:𝑊⟶ℤ))
61, 5mpbid 224 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑥:𝑊⟶ℤ)
7 simplr 786 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → 𝑅:𝑉𝑊)
8 fcompt 6627 . . . . . . 7 ((𝑥:𝑊⟶ℤ ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))))
96, 7, 8syl2anc 580 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))))
10 fveq1 6410 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏‘(𝑅𝑎)) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
11 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) = (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))
12 fvex 6424 . . . . . . . . . 10 (𝑥‘(𝑅𝑎)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6507 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
1413ad2antlr 719 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥) = (𝑥‘(𝑅𝑎)))
1514eqcomd 2805 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑥‘(𝑅𝑎)) = ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥))
1615mpteq2dva 4937 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑎𝑉 ↦ (𝑥‘(𝑅𝑎))) = (𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))
179, 16eqtrd 2833 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝑥𝑅) = (𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))
1817fveq2d 6415 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊)) → (𝐹‘(𝑥𝑅)) = (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥))))
1918mpteq2dva 4937 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))))
20193adant2 1162 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))))
21 simpl1 1243 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑊 ∈ V)
22 ffvelrn 6583 . . . . . 6 ((𝑅:𝑉𝑊𝑎𝑉) → (𝑅𝑎) ∈ 𝑊)
23223ad2antl3 1239 . . . . 5 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑅𝑎) ∈ 𝑊)
24 mzpproj 38086 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑅𝑎) ∈ 𝑊) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2521, 23, 24syl2anc 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2625ralrimiva 3147 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → ∀𝑎𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
27 mzpsubst 38097 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ ∀𝑎𝑉 (𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎))) ∈ (mzPoly‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2826, 27syld3an3 1529 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑎𝑉 ↦ ((𝑏 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝑏‘(𝑅𝑎)))‘𝑥)))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
2920, 28eqeltrd 2878 1 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝑅:𝑉𝑊) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑊) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑅))) ∈ (mzPoly‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  Vcvv 3385  cmpt 4922  ccom 5316  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑚 cmap 8095  cz 11666  mzPolycmzp 38071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-mzpcl 38072  df-mzp 38073
This theorem is referenced by:  mzpresrename  38099  eldioph2  38111  eldioph2b  38112  diophren  38163
  Copyright terms: Public domain W3C validator