Theorem nthruz 16295

Description: The sequence ℕ, ℕ₀, and ℤ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℕ₀ but not ℕ and minus one belongs to ℤ but not ℕ₀. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 16294. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nthruz	⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 12494	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		0nn0 12506	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		0nnn 12259	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4069	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℕ0))
6	1, 4, 5	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
7		nn0ssz 12601	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
8		neg1z 12617	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		neg1lt0 12193	. . . . 5 ⊢ -1 < 0
10		nn0nlt0 12517	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℕ0 → ¬ -1 < 0)
11	9, 10	mt2 202	. . . 4 ⊢ ¬ -1 ∈ ℕ0
12	8, 11	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0)
13		ssnelpss 4069	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0) → ℕ0 ⊊ ℤ))
14	7, 12, 13	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
15	6, 14	pm3.2i 474	1 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906   class class class wbr 5101  0cc0 11084  1c1 11085   < clt 11227  -cneg 11426  ℕcn 12220  ℕ₀cn0 12491  ℤcz 12578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579

This theorem is referenced by:  nthrucw  47453