Theorem nthruz 15962

Description: The sequence ℕ, ℕ₀, and ℤ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℕ₀ but not ℕ and minus one belongs to ℤ but not ℕ₀. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 15961. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nthruz	⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 12236	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		0nn0 12248	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		0nnn 12009	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4046	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℕ0))
6	1, 4, 5	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
7		nn0ssz 12341	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
8		neg1z 12356	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		neg1lt0 12090	. . . . 5 ⊢ -1 < 0
10		nn0nlt0 12259	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℕ0 → ¬ -1 < 0)
11	9, 10	mt2 199	. . . 4 ⊢ ¬ -1 ∈ ℕ0
12	8, 11	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0)
13		ssnelpss 4046	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0) → ℕ0 ⊊ ℤ))
14	7, 12, 13	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
15	6, 14	pm3.2i 471	1 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888   class class class wbr 5074  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320

This theorem is referenced by: (None)