MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nthruz 16290
Description: The sequence , 0, and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to 0 but not and minus one belongs to but not 0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 16289. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nthruz (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Proof of Theorem nthruz
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 12531 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
2 0nn0 12543 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3 0nnn 12303 . . . 4 ¬ 0 ∈ ℕ
42, 3pm3.2i 470 . . 3 (0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5 ssnelpss 4113 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℕ0))
61, 4, 5mp2 9 . 2 ℕ ⊊ ℕ0
7 nn0ssz 12638 . . 3 0 ⊆ ℤ
8 neg1z 12655 . . . 4 -1 ∈ ℤ
9 neg1lt0 12384 . . . . 5 -1 < 0
10 nn0nlt0 12554 . . . . 5 (-1 ∈ ℕ0 → ¬ -1 < 0)
119, 10mt2 200 . . . 4 ¬ -1 ∈ ℕ0
128, 11pm3.2i 470 . . 3 (-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0)
13 ssnelpss 4113 . . 3 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0) → ℕ0 ⊊ ℤ))
147, 12, 13mp2 9 . 2 0 ⊊ ℤ
156, 14pm3.2i 470 1 (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  wcel 2107  wss 3950  wpss 3951   class class class wbr 5142  0cc0 11156  1c1 11157   < clt 11296  -cneg 11494  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator