MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nthruz 16201
Description: The sequence , 0, and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to 0 but not and minus one belongs to but not 0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 16200. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nthruz (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Proof of Theorem nthruz
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 12476 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
2 0nn0 12488 . . . 4 0 ∈ ℕ0
3 0nnn 12249 . . . 4 ¬ 0 ∈ ℕ
42, 3pm3.2i 470 . . 3 (0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5 ssnelpss 4106 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℕ0))
61, 4, 5mp2 9 . 2 ℕ ⊊ ℕ0
7 nn0ssz 12582 . . 3 0 ⊆ ℤ
8 neg1z 12599 . . . 4 -1 ∈ ℤ
9 neg1lt0 12330 . . . . 5 -1 < 0
10 nn0nlt0 12499 . . . . 5 (-1 ∈ ℕ0 → ¬ -1 < 0)
119, 10mt2 199 . . . 4 ¬ -1 ∈ ℕ0
128, 11pm3.2i 470 . . 3 (-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0)
13 ssnelpss 4106 . . 3 (ℕ0 ⊆ ℤ → ((-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0) → ℕ0 ⊊ ℤ))
147, 12, 13mp2 9 . 2 0 ⊊ ℤ
156, 14pm3.2i 470 1 (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  wcel 2098  wss 3943  wpss 3944   class class class wbr 5141  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249  -cneg 11446  cn 12213  0cn0 12473  cz 12559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator