Theorem nthruz 16421

Description: The sequence ℕ, ℕ₀, and ℤ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℕ₀ but not ℕ and minus one belongs to ℤ but not ℕ₀. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 16420. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nthruz	⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 12609	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		0nn0 12621	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		0nnn 12374	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4042	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℕ0))
6	1, 4, 5	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
7		nn0ssz 12716	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
8		neg1z 12732	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		neg1lt0 12308	. . . . 5 ⊢ -1 < 0
10		nn0nlt0 12632	. . . . 5 ⊢ ( -1 ∈ ℕ0 → ¬ -1 < 0)
11	9, 10	mt2 203	. . . 4 ⊢ ¬ -1 ∈ ℕ0
12	8, 11	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ( -1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0)
13		ssnelpss 4042	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (( -1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0) → ℕ0 ⊊ ℤ))
14	7, 12, 13	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
15	6, 14	pm3.2i 476	1 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ⊊ wpss 4013   class class class wbr 5102  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694

This theorem is used by:  numtowerdt  47959