Theorem nthruz 16228

Description: The sequence ℕ, ℕ₀, and ℤ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℕ₀ but not ℕ and minus one belongs to ℤ but not ℕ₀. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 16227. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nthruz	⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 12452	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		0nn0 12464	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		0nnn 12229	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4080	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℕ0))
6	1, 4, 5	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
7		nn0ssz 12559	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
8		neg1z 12576	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		neg1lt0 12181	. . . . 5 ⊢ -1 < 0
10		nn0nlt0 12475	. . . . 5 ⊢ (-1 ∈ ℕ0 → ¬ -1 < 0)
11	9, 10	mt2 200	. . . 4 ⊢ ¬ -1 ∈ ℕ0
12	8, 11	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0)
13		ssnelpss 4080	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0) → ℕ0 ⊊ ℤ))
14	7, 12, 13	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
15	6, 14	pm3.2i 470	1 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918   class class class wbr 5110  0cc0 11075  1c1 11076   < clt 11215  -cneg 11413  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537

This theorem is referenced by: (None)