![]() |
Mathbox for Asger C. Ipsen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > cnndvlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for cnndv 35923. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
cnndvlem1.t | โข ๐ = (๐ฅ โ โ โฆ (absโ((โโ(๐ฅ + (1 / 2))) โ ๐ฅ))) |
cnndvlem1.f | โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ (((1 / 2)โ๐) ยท (๐โ(((2 ยท 3)โ๐) ยท ๐ฆ))))) |
cnndvlem1.w | โข ๐ = (๐ค โ โ โฆ ฮฃ๐ โ โ0 ((๐นโ๐ค)โ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
cnndvlem1 | โข (๐ โ (โโcnโโ) โง dom (โ D ๐) = โ ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cnndvlem1.t | . . . 4 โข ๐ = (๐ฅ โ โ โฆ (absโ((โโ(๐ฅ + (1 / 2))) โ ๐ฅ))) | |
2 | cnndvlem1.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ (((1 / 2)โ๐) ยท (๐โ(((2 ยท 3)โ๐) ยท ๐ฆ))))) | |
3 | cnndvlem1.w | . . . 4 โข ๐ = (๐ค โ โ โฆ ฮฃ๐ โ โ0 ((๐นโ๐ค)โ๐)) | |
4 | 3nn 12295 | . . . . 5 โข 3 โ โ | |
5 | 4 | a1i 11 | . . . 4 โข (โค โ 3 โ โ) |
6 | neg1rr 12331 | . . . . . . . . 9 โข -1 โ โ | |
7 | 6 | rexri 11276 | . . . . . . . 8 โข -1 โ โ* |
8 | 1re 11218 | . . . . . . . . 9 โข 1 โ โ | |
9 | 8 | rexri 11276 | . . . . . . . 8 โข 1 โ โ* |
10 | halfre 12430 | . . . . . . . . 9 โข (1 / 2) โ โ | |
11 | 10 | rexri 11276 | . . . . . . . 8 โข (1 / 2) โ โ* |
12 | 7, 9, 11 | 3pm3.2i 1336 | . . . . . . 7 โข (-1 โ โ* โง 1 โ โ* โง (1 / 2) โ โ*) |
13 | neg1lt0 12333 | . . . . . . . . . 10 โข -1 < 0 | |
14 | halfgt0 12432 | . . . . . . . . . 10 โข 0 < (1 / 2) | |
15 | 13, 14 | pm3.2i 470 | . . . . . . . . 9 โข (-1 < 0 โง 0 < (1 / 2)) |
16 | 0re 11220 | . . . . . . . . . 10 โข 0 โ โ | |
17 | 6, 16, 10 | lttri 11344 | . . . . . . . . 9 โข ((-1 < 0 โง 0 < (1 / 2)) โ -1 < (1 / 2)) |
18 | 15, 17 | ax-mp 5 | . . . . . . . 8 โข -1 < (1 / 2) |
19 | halflt1 12434 | . . . . . . . 8 โข (1 / 2) < 1 | |
20 | 18, 19 | pm3.2i 470 | . . . . . . 7 โข (-1 < (1 / 2) โง (1 / 2) < 1) |
21 | 12, 20 | pm3.2i 470 | . . . . . 6 โข ((-1 โ โ* โง 1 โ โ* โง (1 / 2) โ โ*) โง (-1 < (1 / 2) โง (1 / 2) < 1)) |
22 | elioo3g 13359 | . . . . . 6 โข ((1 / 2) โ (-1(,)1) โ ((-1 โ โ* โง 1 โ โ* โง (1 / 2) โ โ*) โง (-1 < (1 / 2) โง (1 / 2) < 1))) | |
23 | 21, 22 | mpbir 230 | . . . . 5 โข (1 / 2) โ (-1(,)1) |
24 | 23 | a1i 11 | . . . 4 โข (โค โ (1 / 2) โ (-1(,)1)) |
25 | 1, 2, 3, 5, 24 | knoppcn2 35920 | . . 3 โข (โค โ ๐ โ (โโcnโโ)) |
26 | 25 | mptru 1540 | . 2 โข ๐ โ (โโcnโโ) |
27 | 2cn 12291 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ โ | |
28 | 27 | mullidi 11223 | . . . . . . . 8 โข (1 ยท 2) = 2 |
29 | 2lt3 12388 | . . . . . . . 8 โข 2 < 3 | |
30 | 28, 29 | eqbrtri 5162 | . . . . . . 7 โข (1 ยท 2) < 3 |
31 | 2pos 12319 | . . . . . . . 8 โข 0 < 2 | |
32 | 4 | nnrei 12225 | . . . . . . . . 9 โข 3 โ โ |
33 | 2re 12290 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ โ | |
34 | 8, 32, 33 | ltmuldivi 12138 | . . . . . . . 8 โข (0 < 2 โ ((1 ยท 2) < 3 โ 1 < (3 / 2))) |
35 | 31, 34 | ax-mp 5 | . . . . . . 7 โข ((1 ยท 2) < 3 โ 1 < (3 / 2)) |
36 | 30, 35 | mpbi 229 | . . . . . 6 โข 1 < (3 / 2) |
37 | 16, 10, 14 | ltleii 11341 | . . . . . . . . 9 โข 0 โค (1 / 2) |
38 | 10 | absidi 15330 | . . . . . . . . 9 โข (0 โค (1 / 2) โ (absโ(1 / 2)) = (1 / 2)) |
39 | 37, 38 | ax-mp 5 | . . . . . . . 8 โข (absโ(1 / 2)) = (1 / 2) |
40 | 39 | oveq2i 7416 | . . . . . . 7 โข (3 ยท (absโ(1 / 2))) = (3 ยท (1 / 2)) |
41 | 4 | nncni 12226 | . . . . . . . . 9 โข 3 โ โ |
42 | 2ne0 12320 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ 0 | |
43 | 41, 27, 42 | divreci 11963 | . . . . . . . 8 โข (3 / 2) = (3 ยท (1 / 2)) |
44 | 43 | eqcomi 2735 | . . . . . . 7 โข (3 ยท (1 / 2)) = (3 / 2) |
45 | 40, 44 | eqtri 2754 | . . . . . 6 โข (3 ยท (absโ(1 / 2))) = (3 / 2) |
46 | 36, 45 | breqtrri 5168 | . . . . 5 โข 1 < (3 ยท (absโ(1 / 2))) |
47 | 46 | a1i 11 | . . . 4 โข (โค โ 1 < (3 ยท (absโ(1 / 2)))) |
48 | 1, 2, 3, 24, 5, 47 | knoppndv 35918 | . . 3 โข (โค โ dom (โ D ๐) = โ ) |
49 | 48 | mptru 1540 | . 2 โข dom (โ D ๐) = โ |
50 | 26, 49 | pm3.2i 470 | 1 โข (๐ โ (โโcnโโ) โง dom (โ D ๐) = โ ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โคwtru 1534 โ wcel 2098 โ c0 4317 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 dom cdm 5669 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 โ*cxr 11251 < clt 11252 โค cle 11253 โ cmin 11448 -cneg 11449 / cdiv 11875 โcn 12216 2c2 12271 3c3 12272 โ0cn0 12476 (,)cioo 13330 โcfl 13761 โcexp 14032 abscabs 15187 ฮฃcsu 15638 โcnโccncf 24751 D cdv 25747 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-2o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12981 df-xneg 13098 df-xadd 13099 df-xmul 13100 df-ioo 13334 df-ico 13336 df-icc 13337 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-fl 13763 df-seq 13973 df-exp 14033 df-hash 14296 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-limsup 15421 df-clim 15438 df-rlim 15439 df-sum 15639 df-dvds 16205 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-starv 17221 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-unif 17229 df-hom 17230 df-cco 17231 df-rest 17377 df-topn 17378 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-topgen 17398 df-pt 17399 df-prds 17402 df-xrs 17457 df-qtop 17462 df-imas 17463 df-xps 17465 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-submnd 18714 df-mulg 18996 df-cntz 19233 df-cmn 19702 df-psmet 21232 df-xmet 21233 df-met 21234 df-bl 21235 df-mopn 21236 df-cnfld 21241 df-top 22751 df-topon 22768 df-topsp 22790 df-bases 22804 df-ntr 22879 df-cn 23086 df-cnp 23087 df-tx 23421 df-hmeo 23614 df-xms 24181 df-ms 24182 df-tms 24183 df-cncf 24753 df-limc 25750 df-dv 25751 df-ulm 26268 |
This theorem is referenced by: cnndvlem2 35922 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |