Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnndvlem1 35046
Description: Lemma for cnndv 35048. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnndvlem1.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
cnndvlem1.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((1 / 2)โ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท 3)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
cnndvlem1.w ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
Assertion
Ref Expression
cnndvlem1 (๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„) โˆง dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐น,๐‘ค   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘–,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem cnndvlem1
StepHypRef Expression
1 cnndvlem1.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 cnndvlem1.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((1 / 2)โ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท 3)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
3 cnndvlem1.w . . . 4 ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
4 3nn 12237 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•
54a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ 3 โˆˆ โ„•)
6 neg1rr 12273 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„
76rexri 11218 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„*
8 1re 11160 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
98rexri 11218 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„*
10 halfre 12372 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„
1110rexri 11218 . . . . . . . 8 (1 / 2) โˆˆ โ„*
127, 9, 113pm3.2i 1340 . . . . . . 7 (-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*)
13 neg1lt0 12275 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
14 halfgt0 12374 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1513, 14pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (-1 < 0 โˆง 0 < (1 / 2))
16 0re 11162 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
176, 16, 10lttri 11286 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 โˆง 0 < (1 / 2)) โ†’ -1 < (1 / 2))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 < (1 / 2)
19 halflt1 12376 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2018, 19pm3.2i 472 . . . . . . 7 (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)
2112, 20pm3.2i 472 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1))
22 elioo3g 13299 . . . . . 6 ((1 / 2) โˆˆ (-1(,)1) โ†” ((-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)))
2321, 22mpbir 230 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ (-1(,)1)
2423a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ (1 / 2) โˆˆ (-1(,)1))
251, 2, 3, 5, 24knoppcn2 35045 . . 3 (โŠค โ†’ ๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„))
2625mptru 1549 . 2 ๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„)
27 2cn 12233 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
2827mulid2i 11165 . . . . . . . 8 (1 ยท 2) = 2
29 2lt3 12330 . . . . . . . 8 2 < 3
3028, 29eqbrtri 5127 . . . . . . 7 (1 ยท 2) < 3
31 2pos 12261 . . . . . . . 8 0 < 2
324nnrei 12167 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„
33 2re 12232 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
348, 32, 33ltmuldivi 12080 . . . . . . . 8 (0 < 2 โ†’ ((1 ยท 2) < 3 โ†” 1 < (3 / 2)))
3531, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 ยท 2) < 3 โ†” 1 < (3 / 2))
3630, 35mpbi 229 . . . . . 6 1 < (3 / 2)
3716, 10, 14ltleii 11283 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค (1 / 2)
3810absidi 15268 . . . . . . . . 9 (0 โ‰ค (1 / 2) โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2)
4039oveq2i 7369 . . . . . . 7 (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))) = (3 ยท (1 / 2))
414nncni 12168 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„‚
42 2ne0 12262 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
4341, 27, 42divreci 11905 . . . . . . . 8 (3 / 2) = (3 ยท (1 / 2))
4443eqcomi 2742 . . . . . . 7 (3 ยท (1 / 2)) = (3 / 2)
4540, 44eqtri 2761 . . . . . 6 (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))) = (3 / 2)
4636, 45breqtrri 5133 . . . . 5 1 < (3 ยท (absโ€˜(1 / 2)))
4746a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ 1 < (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))))
481, 2, 3, 24, 5, 47knoppndv 35043 . . 3 (โŠค โ†’ dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
4948mptru 1549 . 2 dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…
5026, 49pm3.2i 472 1 (๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„) โˆง dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  โ„•0cn0 12418  (,)cioo 13270  โŒŠcfl 13701  โ†‘cexp 13973  abscabs 15125  ฮฃcsu 15576  โ€“cnโ†’ccncf 24255   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-dvds 16142  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  cnndvlem2  35047
  Copyright terms: Public domain W3C validator