Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnndvlem1 36538
Description: Lemma for cnndv 36540. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnndvlem1.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
cnndvlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
cnndvlem1.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
Assertion
Ref Expression
cnndvlem1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝑖,𝑛,𝑦,𝑤   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cnndvlem1
StepHypRef Expression
1 cnndvlem1.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 cnndvlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 cnndvlem1.w . . . 4 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
4 3nn 12345 . . . . 5 3 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 3 ∈ ℕ)
6 neg1rr 12381 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
76rexri 11319 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ*
8 1re 11261 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
98rexri 11319 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
10 halfre 12480 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
1110rexri 11319 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ*
127, 9, 113pm3.2i 1340 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
13 neg1lt0 12383 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
14 halfgt0 12482 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1513, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2))
16 0re 11263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
176, 16, 10lttri 11387 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2)) → -1 < (1 / 2))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 < (1 / 2)
19 halflt1 12484 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2018, 19pm3.2i 470 . . . . . . 7 (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
2112, 20pm3.2i 470 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22 elioo3g 13416 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (-1(,)1) ↔ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2321, 22mpbir 231 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (-1(,)1)
2423a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 2) ∈ (-1(,)1))
251, 2, 3, 5, 24knoppcn2 36537 . . 3 (⊤ → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
2625mptru 1547 . 2 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
27 2cn 12341 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2827mullidi 11266 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
29 2lt3 12438 . . . . . . . 8 2 < 3
3028, 29eqbrtri 5164 . . . . . . 7 (1 · 2) < 3
31 2pos 12369 . . . . . . . 8 0 < 2
324nnrei 12275 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
33 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
348, 32, 33ltmuldivi 12188 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
3531, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
3630, 35mpbi 230 . . . . . 6 1 < (3 / 2)
3716, 10, 14ltleii 11384 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
3810absidi 15416 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (1 / 2) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
4039oveq2i 7442 . . . . . . 7 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 · (1 / 2))
414nncni 12276 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
42 2ne0 12370 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4341, 27, 42divreci 12012 . . . . . . . 8 (3 / 2) = (3 · (1 / 2))
4443eqcomi 2746 . . . . . . 7 (3 · (1 / 2)) = (3 / 2)
4540, 44eqtri 2765 . . . . . 6 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 / 2)
4636, 45breqtrri 5170 . . . . 5 1 < (3 · (abs‘(1 / 2)))
4746a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 < (3 · (abs‘(1 / 2))))
481, 2, 3, 24, 5, 47knoppndv 36535 . . 3 (⊤ → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
4948mptru 1547 . 2 dom (ℝ D 𝑊) = ∅
5026, 49pm3.2i 470 1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  (,)cioo 13387  cfl 13830  cexp 14102  abscabs 15273  Σcsu 15722  cnccncf 24902   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420
This theorem is referenced by:  cnndvlem2  36539
  Copyright terms: Public domain W3C validator