Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnndvlem1 33864
Description: Lemma for cnndv 33866. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnndvlem1.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
cnndvlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
cnndvlem1.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
Assertion
Ref Expression
cnndvlem1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝑖,𝑛,𝑦,𝑤   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cnndvlem1
StepHypRef Expression
1 cnndvlem1.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 cnndvlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 cnndvlem1.w . . . 4 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
4 3nn 11708 . . . . 5 3 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 3 ∈ ℕ)
6 neg1rr 11744 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
76rexri 10691 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ*
8 1re 10633 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
98rexri 10691 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
10 halfre 11843 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
1110rexri 10691 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ*
127, 9, 113pm3.2i 1333 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
13 neg1lt0 11746 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
14 halfgt0 11845 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1513, 14pm3.2i 473 . . . . . . . . 9 (-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2))
16 0re 10635 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
176, 16, 10lttri 10758 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2)) → -1 < (1 / 2))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 < (1 / 2)
19 halflt1 11847 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2018, 19pm3.2i 473 . . . . . . 7 (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
2112, 20pm3.2i 473 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22 elioo3g 12759 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (-1(,)1) ↔ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2321, 22mpbir 233 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (-1(,)1)
2423a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 2) ∈ (-1(,)1))
251, 2, 3, 5, 24knoppcn2 33863 . . 3 (⊤ → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
2625mptru 1537 . 2 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
27 2cn 11704 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2827mulid2i 10638 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
29 2lt3 11801 . . . . . . . 8 2 < 3
3028, 29eqbrtri 5078 . . . . . . 7 (1 · 2) < 3
31 2pos 11732 . . . . . . . 8 0 < 2
324nnrei 11639 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
33 2re 11703 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
348, 32, 33ltmuldivi 11552 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
3531, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
3630, 35mpbi 232 . . . . . 6 1 < (3 / 2)
3716, 10, 14ltleii 10755 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
3810absidi 14729 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (1 / 2) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
4039oveq2i 7159 . . . . . . 7 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 · (1 / 2))
414nncni 11640 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
42 2ne0 11733 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4341, 27, 42divreci 11377 . . . . . . . 8 (3 / 2) = (3 · (1 / 2))
4443eqcomi 2828 . . . . . . 7 (3 · (1 / 2)) = (3 / 2)
4540, 44eqtri 2842 . . . . . 6 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 / 2)
4636, 45breqtrri 5084 . . . . 5 1 < (3 · (abs‘(1 / 2)))
4746a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 < (3 · (abs‘(1 / 2))))
481, 2, 3, 24, 5, 47knoppndv 33861 . . 3 (⊤ → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
4948mptru 1537 . 2 dom (ℝ D 𝑊) = ∅
5026, 49pm3.2i 473 1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wtru 1531  wcel 2107  c0 4289   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  3c3 11685  0cn0 11889  (,)cioo 12730  cfl 13152  cexp 13421  abscabs 14585  Σcsu 15034  cnccncf 23476   D cdv 24453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-ntr 21620  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-ulm 24957
This theorem is referenced by:  cnndvlem2  33865
  Copyright terms: Public domain W3C validator