![]() |
Mathbox for Asger C. Ipsen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > cnndvlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for cnndv 35048. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
cnndvlem1.t | โข ๐ = (๐ฅ โ โ โฆ (absโ((โโ(๐ฅ + (1 / 2))) โ ๐ฅ))) |
cnndvlem1.f | โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ (((1 / 2)โ๐) ยท (๐โ(((2 ยท 3)โ๐) ยท ๐ฆ))))) |
cnndvlem1.w | โข ๐ = (๐ค โ โ โฆ ฮฃ๐ โ โ0 ((๐นโ๐ค)โ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
cnndvlem1 | โข (๐ โ (โโcnโโ) โง dom (โ D ๐) = โ ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cnndvlem1.t | . . . 4 โข ๐ = (๐ฅ โ โ โฆ (absโ((โโ(๐ฅ + (1 / 2))) โ ๐ฅ))) | |
2 | cnndvlem1.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฆ โ โ โฆ (๐ โ โ0 โฆ (((1 / 2)โ๐) ยท (๐โ(((2 ยท 3)โ๐) ยท ๐ฆ))))) | |
3 | cnndvlem1.w | . . . 4 โข ๐ = (๐ค โ โ โฆ ฮฃ๐ โ โ0 ((๐นโ๐ค)โ๐)) | |
4 | 3nn 12237 | . . . . 5 โข 3 โ โ | |
5 | 4 | a1i 11 | . . . 4 โข (โค โ 3 โ โ) |
6 | neg1rr 12273 | . . . . . . . . 9 โข -1 โ โ | |
7 | 6 | rexri 11218 | . . . . . . . 8 โข -1 โ โ* |
8 | 1re 11160 | . . . . . . . . 9 โข 1 โ โ | |
9 | 8 | rexri 11218 | . . . . . . . 8 โข 1 โ โ* |
10 | halfre 12372 | . . . . . . . . 9 โข (1 / 2) โ โ | |
11 | 10 | rexri 11218 | . . . . . . . 8 โข (1 / 2) โ โ* |
12 | 7, 9, 11 | 3pm3.2i 1340 | . . . . . . 7 โข (-1 โ โ* โง 1 โ โ* โง (1 / 2) โ โ*) |
13 | neg1lt0 12275 | . . . . . . . . . 10 โข -1 < 0 | |
14 | halfgt0 12374 | . . . . . . . . . 10 โข 0 < (1 / 2) | |
15 | 13, 14 | pm3.2i 472 | . . . . . . . . 9 โข (-1 < 0 โง 0 < (1 / 2)) |
16 | 0re 11162 | . . . . . . . . . 10 โข 0 โ โ | |
17 | 6, 16, 10 | lttri 11286 | . . . . . . . . 9 โข ((-1 < 0 โง 0 < (1 / 2)) โ -1 < (1 / 2)) |
18 | 15, 17 | ax-mp 5 | . . . . . . . 8 โข -1 < (1 / 2) |
19 | halflt1 12376 | . . . . . . . 8 โข (1 / 2) < 1 | |
20 | 18, 19 | pm3.2i 472 | . . . . . . 7 โข (-1 < (1 / 2) โง (1 / 2) < 1) |
21 | 12, 20 | pm3.2i 472 | . . . . . 6 โข ((-1 โ โ* โง 1 โ โ* โง (1 / 2) โ โ*) โง (-1 < (1 / 2) โง (1 / 2) < 1)) |
22 | elioo3g 13299 | . . . . . 6 โข ((1 / 2) โ (-1(,)1) โ ((-1 โ โ* โง 1 โ โ* โง (1 / 2) โ โ*) โง (-1 < (1 / 2) โง (1 / 2) < 1))) | |
23 | 21, 22 | mpbir 230 | . . . . 5 โข (1 / 2) โ (-1(,)1) |
24 | 23 | a1i 11 | . . . 4 โข (โค โ (1 / 2) โ (-1(,)1)) |
25 | 1, 2, 3, 5, 24 | knoppcn2 35045 | . . 3 โข (โค โ ๐ โ (โโcnโโ)) |
26 | 25 | mptru 1549 | . 2 โข ๐ โ (โโcnโโ) |
27 | 2cn 12233 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ โ | |
28 | 27 | mulid2i 11165 | . . . . . . . 8 โข (1 ยท 2) = 2 |
29 | 2lt3 12330 | . . . . . . . 8 โข 2 < 3 | |
30 | 28, 29 | eqbrtri 5127 | . . . . . . 7 โข (1 ยท 2) < 3 |
31 | 2pos 12261 | . . . . . . . 8 โข 0 < 2 | |
32 | 4 | nnrei 12167 | . . . . . . . . 9 โข 3 โ โ |
33 | 2re 12232 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ โ | |
34 | 8, 32, 33 | ltmuldivi 12080 | . . . . . . . 8 โข (0 < 2 โ ((1 ยท 2) < 3 โ 1 < (3 / 2))) |
35 | 31, 34 | ax-mp 5 | . . . . . . 7 โข ((1 ยท 2) < 3 โ 1 < (3 / 2)) |
36 | 30, 35 | mpbi 229 | . . . . . 6 โข 1 < (3 / 2) |
37 | 16, 10, 14 | ltleii 11283 | . . . . . . . . 9 โข 0 โค (1 / 2) |
38 | 10 | absidi 15268 | . . . . . . . . 9 โข (0 โค (1 / 2) โ (absโ(1 / 2)) = (1 / 2)) |
39 | 37, 38 | ax-mp 5 | . . . . . . . 8 โข (absโ(1 / 2)) = (1 / 2) |
40 | 39 | oveq2i 7369 | . . . . . . 7 โข (3 ยท (absโ(1 / 2))) = (3 ยท (1 / 2)) |
41 | 4 | nncni 12168 | . . . . . . . . 9 โข 3 โ โ |
42 | 2ne0 12262 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ 0 | |
43 | 41, 27, 42 | divreci 11905 | . . . . . . . 8 โข (3 / 2) = (3 ยท (1 / 2)) |
44 | 43 | eqcomi 2742 | . . . . . . 7 โข (3 ยท (1 / 2)) = (3 / 2) |
45 | 40, 44 | eqtri 2761 | . . . . . 6 โข (3 ยท (absโ(1 / 2))) = (3 / 2) |
46 | 36, 45 | breqtrri 5133 | . . . . 5 โข 1 < (3 ยท (absโ(1 / 2))) |
47 | 46 | a1i 11 | . . . 4 โข (โค โ 1 < (3 ยท (absโ(1 / 2)))) |
48 | 1, 2, 3, 24, 5, 47 | knoppndv 35043 | . . 3 โข (โค โ dom (โ D ๐) = โ ) |
49 | 48 | mptru 1549 | . 2 โข dom (โ D ๐) = โ |
50 | 26, 49 | pm3.2i 472 | 1 โข (๐ โ (โโcnโโ) โง dom (โ D ๐) = โ ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โคwtru 1543 โ wcel 2107 โ c0 4283 class class class wbr 5106 โฆ cmpt 5189 dom cdm 5634 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcr 11055 0cc0 11056 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 โ*cxr 11193 < clt 11194 โค cle 11195 โ cmin 11390 -cneg 11391 / cdiv 11817 โcn 12158 2c2 12213 3c3 12214 โ0cn0 12418 (,)cioo 13270 โcfl 13701 โcexp 13973 abscabs 15125 ฮฃcsu 15576 โcnโccncf 24255 D cdv 25243 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-inf2 9582 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-pre-sup 11134 ax-addf 11135 ax-mulf 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7618 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-supp 8094 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-2o 8414 df-er 8651 df-map 8770 df-pm 8771 df-ixp 8839 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9309 df-fi 9352 df-sup 9383 df-inf 9384 df-oi 9451 df-card 9880 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-4 12223 df-5 12224 df-6 12225 df-7 12226 df-8 12227 df-9 12228 df-n0 12419 df-z 12505 df-dec 12624 df-uz 12769 df-q 12879 df-rp 12921 df-xneg 13038 df-xadd 13039 df-xmul 13040 df-ioo 13274 df-ico 13276 df-icc 13277 df-fz 13431 df-fzo 13574 df-fl 13703 df-seq 13913 df-exp 13974 df-hash 14237 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 df-sqrt 15126 df-abs 15127 df-limsup 15359 df-clim 15376 df-rlim 15377 df-sum 15577 df-dvds 16142 df-struct 17024 df-sets 17041 df-slot 17059 df-ndx 17071 df-base 17089 df-ress 17118 df-plusg 17151 df-mulr 17152 df-starv 17153 df-sca 17154 df-vsca 17155 df-ip 17156 df-tset 17157 df-ple 17158 df-ds 17160 df-unif 17161 df-hom 17162 df-cco 17163 df-rest 17309 df-topn 17310 df-0g 17328 df-gsum 17329 df-topgen 17330 df-pt 17331 df-prds 17334 df-xrs 17389 df-qtop 17394 df-imas 17395 df-xps 17397 df-mre 17471 df-mrc 17472 df-acs 17474 df-mgm 18502 df-sgrp 18551 df-mnd 18562 df-submnd 18607 df-mulg 18878 df-cntz 19102 df-cmn 19569 df-psmet 20804 df-xmet 20805 df-met 20806 df-bl 20807 df-mopn 20808 df-cnfld 20813 df-top 22259 df-topon 22276 df-topsp 22298 df-bases 22312 df-ntr 22387 df-cn 22594 df-cnp 22595 df-tx 22929 df-hmeo 23122 df-xms 23689 df-ms 23690 df-tms 23691 df-cncf 24257 df-limc 25246 df-dv 25247 df-ulm 25752 |
This theorem is referenced by: cnndvlem2 35047 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |