Theorem cnndvlem1 35401

Description: Lemma for cnndv 35403. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnndvlem1.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
cnndvlem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
cnndvlem1.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
cnndvlem1	⊢ (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝑖,𝑛,𝑦,𝑤   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cnndvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnndvlem1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		cnndvlem1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		cnndvlem1.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
4		3nn 12287	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ)
6		neg1rr 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
7	6	rexri 11268	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ*
8		1re 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	rexri 11268	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
10		halfre 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
11	10	rexri 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ*
12	7, 9, 11	3pm3.2i 1339	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
13		neg1lt0 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 < 0
14		halfgt0 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (1 / 2)
15	13, 14	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2))
16		0re 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	6, 16, 10	lttri 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2)) → -1 < (1 / 2))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < (1 / 2)
19		halflt1 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
20	18, 19	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
21	12, 20	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22		elioo3g 13349	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ (-1(,)1) ↔ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
23	21, 22	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ (-1(,)1)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ (-1(,)1))
25	1, 2, 3, 5, 24	knoppcn2 35400	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
26	25	mptru 1548	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
27		2cn 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
28	27	mullidi 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 2) = 2
29		2lt3 12380	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
30	28, 29	eqbrtri 5168	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) < 3
31		2pos 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
32	4	nnrei 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
33		2re 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	8, 32, 33	ltmuldivi 12130	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
36	30, 35	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ 1 < (3 / 2)
37	16, 10, 14	ltleii 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
38	10	absidi 15320	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
40	39	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 · (1 / 2))
41	4	nncni 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
42		2ne0 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
43	41, 27, 42	divreci 11955	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = (3 · (1 / 2))
44	43	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (1 / 2)) = (3 / 2)
45	40, 44	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 / 2)
46	36, 45	breqtrri 5174	. . . . 5 ⊢ 1 < (3 · (abs‘(1 / 2)))
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 < (3 · (abs‘(1 / 2))))
48	1, 2, 3, 24, 5, 47	knoppndv 35398	. . 3 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
49	48	mptru 1548	. 2 ⊢ dom (ℝ D 𝑊) = ∅
50	26, 49	pm3.2i 471	1 ⊢ (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  3c3 12264  ℕ₀cn0 12468  (,)cioo 13320  ⌊cfl 13751  ↑cexp 14023  abscabs 15177  Σcsu 15628  –cn→ccncf 24383   D cdv 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ulm 25880

This theorem is referenced by:  cnndvlem2  35402