Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnndvlem1 35921
Description: Lemma for cnndv 35923. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnndvlem1.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
cnndvlem1.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((1 / 2)โ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท 3)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
cnndvlem1.w ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
Assertion
Ref Expression
cnndvlem1 (๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„) โˆง dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐น,๐‘ค   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘–,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem cnndvlem1
StepHypRef Expression
1 cnndvlem1.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 cnndvlem1.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((1 / 2)โ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท 3)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
3 cnndvlem1.w . . . 4 ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
4 3nn 12295 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•
54a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ 3 โˆˆ โ„•)
6 neg1rr 12331 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„
76rexri 11276 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„*
8 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
98rexri 11276 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„*
10 halfre 12430 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„
1110rexri 11276 . . . . . . . 8 (1 / 2) โˆˆ โ„*
127, 9, 113pm3.2i 1336 . . . . . . 7 (-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*)
13 neg1lt0 12333 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
14 halfgt0 12432 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1513, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (-1 < 0 โˆง 0 < (1 / 2))
16 0re 11220 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
176, 16, 10lttri 11344 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 โˆง 0 < (1 / 2)) โ†’ -1 < (1 / 2))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 < (1 / 2)
19 halflt1 12434 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2018, 19pm3.2i 470 . . . . . . 7 (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)
2112, 20pm3.2i 470 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1))
22 elioo3g 13359 . . . . . 6 ((1 / 2) โˆˆ (-1(,)1) โ†” ((-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)))
2321, 22mpbir 230 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ (-1(,)1)
2423a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ (1 / 2) โˆˆ (-1(,)1))
251, 2, 3, 5, 24knoppcn2 35920 . . 3 (โŠค โ†’ ๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„))
2625mptru 1540 . 2 ๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„)
27 2cn 12291 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
2827mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 ยท 2) = 2
29 2lt3 12388 . . . . . . . 8 2 < 3
3028, 29eqbrtri 5162 . . . . . . 7 (1 ยท 2) < 3
31 2pos 12319 . . . . . . . 8 0 < 2
324nnrei 12225 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„
33 2re 12290 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
348, 32, 33ltmuldivi 12138 . . . . . . . 8 (0 < 2 โ†’ ((1 ยท 2) < 3 โ†” 1 < (3 / 2)))
3531, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 ยท 2) < 3 โ†” 1 < (3 / 2))
3630, 35mpbi 229 . . . . . 6 1 < (3 / 2)
3716, 10, 14ltleii 11341 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค (1 / 2)
3810absidi 15330 . . . . . . . . 9 (0 โ‰ค (1 / 2) โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2)
4039oveq2i 7416 . . . . . . 7 (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))) = (3 ยท (1 / 2))
414nncni 12226 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„‚
42 2ne0 12320 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
4341, 27, 42divreci 11963 . . . . . . . 8 (3 / 2) = (3 ยท (1 / 2))
4443eqcomi 2735 . . . . . . 7 (3 ยท (1 / 2)) = (3 / 2)
4540, 44eqtri 2754 . . . . . 6 (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))) = (3 / 2)
4636, 45breqtrri 5168 . . . . 5 1 < (3 ยท (absโ€˜(1 / 2)))
4746a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ 1 < (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))))
481, 2, 3, 24, 5, 47knoppndv 35918 . . 3 (โŠค โ†’ dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
4948mptru 1540 . 2 dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…
5026, 49pm3.2i 470 1 (๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„) โˆง dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  โ„•0cn0 12476  (,)cioo 13330  โŒŠcfl 13761  โ†‘cexp 14032  abscabs 15187  ฮฃcsu 15638  โ€“cnโ†’ccncf 24751   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-ntr 22879  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ulm 26268
This theorem is referenced by:  cnndvlem2  35922
  Copyright terms: Public domain W3C validator