Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnndvlem1 36069
Description: Lemma for cnndv 36071. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnndvlem1.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
cnndvlem1.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((1 / 2)โ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท 3)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
cnndvlem1.w ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
Assertion
Ref Expression
cnndvlem1 (๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„) โˆง dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐น,๐‘ค   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘–,๐‘›,๐‘ฆ,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘–,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem cnndvlem1
StepHypRef Expression
1 cnndvlem1.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 cnndvlem1.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((1 / 2)โ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท 3)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
3 cnndvlem1.w . . . 4 ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
4 3nn 12321 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•
54a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ 3 โˆˆ โ„•)
6 neg1rr 12357 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„
76rexri 11302 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„*
8 1re 11244 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
98rexri 11302 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„*
10 halfre 12456 . . . . . . . . 9 (1 / 2) โˆˆ โ„
1110rexri 11302 . . . . . . . 8 (1 / 2) โˆˆ โ„*
127, 9, 113pm3.2i 1336 . . . . . . 7 (-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*)
13 neg1lt0 12359 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
14 halfgt0 12458 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1513, 14pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (-1 < 0 โˆง 0 < (1 / 2))
16 0re 11246 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
176, 16, 10lttri 11370 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 โˆง 0 < (1 / 2)) โ†’ -1 < (1 / 2))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 < (1 / 2)
19 halflt1 12460 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2018, 19pm3.2i 469 . . . . . . 7 (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)
2112, 20pm3.2i 469 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1))
22 elioo3g 13385 . . . . . 6 ((1 / 2) โˆˆ (-1(,)1) โ†” ((-1 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„* โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„*) โˆง (-1 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) < 1)))
2321, 22mpbir 230 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ (-1(,)1)
2423a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ (1 / 2) โˆˆ (-1(,)1))
251, 2, 3, 5, 24knoppcn2 36068 . . 3 (โŠค โ†’ ๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„))
2625mptru 1540 . 2 ๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„)
27 2cn 12317 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
2827mullidi 11249 . . . . . . . 8 (1 ยท 2) = 2
29 2lt3 12414 . . . . . . . 8 2 < 3
3028, 29eqbrtri 5164 . . . . . . 7 (1 ยท 2) < 3
31 2pos 12345 . . . . . . . 8 0 < 2
324nnrei 12251 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„
33 2re 12316 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
348, 32, 33ltmuldivi 12164 . . . . . . . 8 (0 < 2 โ†’ ((1 ยท 2) < 3 โ†” 1 < (3 / 2)))
3531, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 ยท 2) < 3 โ†” 1 < (3 / 2))
3630, 35mpbi 229 . . . . . 6 1 < (3 / 2)
3716, 10, 14ltleii 11367 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค (1 / 2)
3810absidi 15356 . . . . . . . . 9 (0 โ‰ค (1 / 2) โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2)
4039oveq2i 7427 . . . . . . 7 (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))) = (3 ยท (1 / 2))
414nncni 12252 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„‚
42 2ne0 12346 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
4341, 27, 42divreci 11989 . . . . . . . 8 (3 / 2) = (3 ยท (1 / 2))
4443eqcomi 2734 . . . . . . 7 (3 ยท (1 / 2)) = (3 / 2)
4540, 44eqtri 2753 . . . . . 6 (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))) = (3 / 2)
4636, 45breqtrri 5170 . . . . 5 1 < (3 ยท (absโ€˜(1 / 2)))
4746a1i 11 . . . 4 (โŠค โ†’ 1 < (3 ยท (absโ€˜(1 / 2))))
481, 2, 3, 24, 5, 47knoppndv 36066 . . 3 (โŠค โ†’ dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
4948mptru 1540 . 2 dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…
5026, 49pm3.2i 469 1 (๐‘Š โˆˆ (โ„โ€“cnโ†’โ„) โˆง dom (โ„ D ๐‘Š) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4318   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  dom cdm 5672  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  โ„*cxr 11277   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  โ„•0cn0 12502  (,)cioo 13356  โŒŠcfl 13787  โ†‘cexp 14058  abscabs 15213  ฮฃcsu 15664  โ€“cnโ†’ccncf 24814   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-ntr 22942  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ulm 26331
This theorem is referenced by:  cnndvlem2  36070
  Copyright terms: Public domain W3C validator