Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnndvlem1 34686
Description: Lemma for cnndv 34688. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnndvlem1.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
cnndvlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
cnndvlem1.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
Assertion
Ref Expression
cnndvlem1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝑖,𝑛,𝑦,𝑤   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cnndvlem1
StepHypRef Expression
1 cnndvlem1.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 cnndvlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 cnndvlem1.w . . . 4 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
4 3nn 11998 . . . . 5 3 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 3 ∈ ℕ)
6 neg1rr 12034 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
76rexri 10980 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ*
8 1re 10922 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
98rexri 10980 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
10 halfre 12133 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
1110rexri 10980 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ*
127, 9, 113pm3.2i 1337 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
13 neg1lt0 12036 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
14 halfgt0 12135 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1513, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2))
16 0re 10924 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
176, 16, 10lttri 11047 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2)) → -1 < (1 / 2))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 < (1 / 2)
19 halflt1 12137 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2018, 19pm3.2i 470 . . . . . . 7 (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
2112, 20pm3.2i 470 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22 elioo3g 13053 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (-1(,)1) ↔ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2321, 22mpbir 230 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (-1(,)1)
2423a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 2) ∈ (-1(,)1))
251, 2, 3, 5, 24knoppcn2 34685 . . 3 (⊤ → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
2625mptru 1546 . 2 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
27 2cn 11994 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2827mulid2i 10927 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
29 2lt3 12091 . . . . . . . 8 2 < 3
3028, 29eqbrtri 5096 . . . . . . 7 (1 · 2) < 3
31 2pos 12022 . . . . . . . 8 0 < 2
324nnrei 11928 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
33 2re 11993 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
348, 32, 33ltmuldivi 11841 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
3531, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
3630, 35mpbi 229 . . . . . 6 1 < (3 / 2)
3716, 10, 14ltleii 11044 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
3810absidi 15033 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (1 / 2) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
4039oveq2i 7271 . . . . . . 7 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 · (1 / 2))
414nncni 11929 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
42 2ne0 12023 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4341, 27, 42divreci 11666 . . . . . . . 8 (3 / 2) = (3 · (1 / 2))
4443eqcomi 2746 . . . . . . 7 (3 · (1 / 2)) = (3 / 2)
4540, 44eqtri 2765 . . . . . 6 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 / 2)
4636, 45breqtrri 5102 . . . . 5 1 < (3 · (abs‘(1 / 2)))
4746a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 < (3 · (abs‘(1 / 2))))
481, 2, 3, 24, 5, 47knoppndv 34683 . . 3 (⊤ → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
4948mptru 1546 . 2 dom (ℝ D 𝑊) = ∅
5026, 49pm3.2i 470 1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2107  c0 4258   class class class wbr 5075  cmpt 5158  dom cdm 5585  cfv 6423  (class class class)co 7260  cr 10817  0cc0 10818  1c1 10819   + caddc 10821   · cmul 10823  *cxr 10955   < clt 10956  cle 10957  cmin 11151  -cneg 11152   / cdiv 11578  cn 11919  2c2 11974  3c3 11975  0cn0 12179  (,)cioo 13024  cfl 13454  cexp 13726  abscabs 14889  Σcsu 15341  cnccncf 23983   D cdv 24970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-inf2 9345  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896  ax-addf 10897  ax-mulf 10898
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-isom 6432  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-of 7516  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-supp 7954  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-2o 8273  df-er 8461  df-map 8580  df-pm 8581  df-ixp 8649  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-fsupp 9075  df-fi 9116  df-sup 9147  df-inf 9148  df-oi 9215  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-4 11984  df-5 11985  df-6 11986  df-7 11987  df-8 11988  df-9 11989  df-n0 12180  df-z 12266  df-dec 12383  df-uz 12528  df-q 12634  df-rp 12676  df-xneg 12793  df-xadd 12794  df-xmul 12795  df-ioo 13028  df-ico 13030  df-icc 13031  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-fl 13456  df-seq 13666  df-exp 13727  df-hash 13989  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-limsup 15124  df-clim 15141  df-rlim 15142  df-sum 15342  df-dvds 15908  df-struct 16792  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-ress 16886  df-plusg 16919  df-mulr 16920  df-starv 16921  df-sca 16922  df-vsca 16923  df-ip 16924  df-tset 16925  df-ple 16926  df-ds 16928  df-unif 16929  df-hom 16930  df-cco 16931  df-rest 17077  df-topn 17078  df-0g 17096  df-gsum 17097  df-topgen 17098  df-pt 17099  df-prds 17102  df-xrs 17157  df-qtop 17162  df-imas 17163  df-xps 17165  df-mre 17239  df-mrc 17240  df-acs 17242  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-submnd 18375  df-mulg 18645  df-cntz 18867  df-cmn 19332  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-cnfld 20542  df-top 21987  df-topon 22004  df-topsp 22026  df-bases 22040  df-ntr 22115  df-cn 22322  df-cnp 22323  df-tx 22657  df-hmeo 22850  df-xms 23417  df-ms 23418  df-tms 23419  df-cncf 23985  df-limc 24973  df-dv 24974  df-ulm 25479
This theorem is referenced by:  cnndvlem2  34687
  Copyright terms: Public domain W3C validator