Theorem psgnodpmr 21572

Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnodpmr	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Proof of Theorem psgnodpmr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1143	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
2		evpmss.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3		evpmss.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
4		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
5	2, 3, 4	psgnevpm 21571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝑁‘𝐹) = 1)
6	5	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) = 1))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) = 1))
8		neg1rr 12143	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
9		neg1lt0 12145	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 0
10		0lt1 11670	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	8, 11, 12	lttri 11270	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
14	9, 10, 13	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ -1 < 1
15	8, 14	gtneii 11256	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ -1
16		neeq1 2997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → ((𝑁‘𝐹) ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
17	15, 16	mpbiri 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) ≠ -1)
18	7, 17	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) ≠ -1))
19	18	necon2bd 2951	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = -1 → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
20	19	3impia 1123	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))
21	1, 20	eldifd 3901	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  Fincfn 8890  0cc0 11036  1c1 11037   < clt 11177  -cneg 11376  Basecbs 17177  SymGrpcsymg 19342  pmSgncpsgn 19462  pmEvencevpm 19463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-xor 1519  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-word 14474  df-lsw 14523  df-concat 14531  df-s1 14557  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-splice 14710  df-reverse 14719  df-s2 14808  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-efmnd 18835  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-gim 19232  df-oppg 19319  df-symg 19343  df-pmtr 19415  df-psgn 19464  df-evpm 19465  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-drng 20710  df-cnfld 21355

This theorem is referenced by:  evpmodpmf1o  21578  pmtrodpm  21579  mdetralt  22598