MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpmr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnodpmr 20277
Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnodpmr ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Proof of Theorem psgnodpmr
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = -1) → 𝐹𝑃)
2 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝑆)
4 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
52, 3, 4psgnevpm 20276 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝑁𝐹) = 1)
65ex 416 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁𝐹) = 1))
76adantr 484 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁𝐹) = 1))
8 neg1rr 11740 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
9 neg1lt0 11742 . . . . . . . 8 -1 < 0
10 0lt1 11151 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 10632 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
12 1re 10630 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
138, 11, 12lttri 10755 . . . . . . . 8 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
149, 10, 13mp2an 691 . . . . . . 7 -1 < 1
158, 14gtneii 10741 . . . . . 6 1 ≠ -1
16 neeq1 3073 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → ((𝑁𝐹) ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
1715, 16mpbiri 261 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = 1 → (𝑁𝐹) ≠ -1)
187, 17syl6 35 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁𝐹) ≠ -1))
1918necon2bd 3027 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = -1 → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
20193impia 1114 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = -1) → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))
211, 20eldifd 3919 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cdif 3905   class class class wbr 5042  cfv 6334  Fincfn 8496  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  -cneg 10860  Basecbs 16474  SymGrpcsymg 18486  pmSgncpsgn 18608  pmEvencevpm 18609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-efmnd 18025  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-gim 18390  df-oppg 18465  df-symg 18487  df-pmtr 18561  df-psgn 18610  df-evpm 18611  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-cnfld 20090
This theorem is referenced by:  evpmodpmf1o  20283  pmtrodpm  20284  mdetralt  21211
  Copyright terms: Public domain W3C validator