Theorem psgnodpmr 21809

Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnodpmr	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Proof of Theorem psgnodpmr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
2		evpmss.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3		evpmss.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
4		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
5	2, 3, 4	psgnevpm 21808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝑁‘𝐹) = 1)
6	5	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) = 1))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) = 1))
8		neg1rr 12232	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
9		neg1lt0 12234	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 0
10		0lt1 11764	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	8, 11, 12	lttri 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
14	9, 10, 13	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ -1 < 1
15	8, 14	gtneii 11350	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ -1
16		neeq1 3019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → ((𝑁‘𝐹) ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
17	15, 16	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) ≠ -1)
18	7, 17	syl6 36	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) ≠ -1))
19	18	necon2bd 2973	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = -1 → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
20	19	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))
21	1, 20	eldifd 3913	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  Fincfn 8956  0cc0 11128  1c1 11129   < clt 11271  -cneg 11470  Basecbs 17307  SymGrpcsymg 19502  pmSgncpsgn 19622  pmEvencevpm 19623

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-word 14583  df-lsw 14632  df-concat 14640  df-s1 14667  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-splice 14823  df-reverse 14832  df-s2 14923  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-efmnd 18984  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-oppg 19479  df-symg 19503  df-pmtr 19575  df-psgn 19624  df-evpm 19625  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-drng 20898  df-cnfld 21592

This theorem is used by:  evpmodpmf1o  21815  pmtrodpm  21816  mdetralt  22836