Theorem psgnodpmr 20795

Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnodpmr	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Proof of Theorem psgnodpmr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1136	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
2		evpmss.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3		evpmss.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
4		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
5	2, 3, 4	psgnevpm 20794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝑁‘𝐹) = 1)
6	5	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) = 1))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) = 1))
8		neg1rr 12088	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
9		neg1lt0 12090	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 0
10		0lt1 11497	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	8, 11, 12	lttri 11101	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
14	9, 10, 13	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ -1 < 1
15	8, 14	gtneii 11087	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ -1
16		neeq1 3006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → ((𝑁‘𝐹) ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
17	15, 16	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) ≠ -1)
18	7, 17	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) ≠ -1))
19	18	necon2bd 2959	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = -1 → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
20	19	3impia 1116	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))
21	1, 20	eldifd 3898	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  -cneg 11206  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974  pmSgncpsgn 19097  pmEvencevpm 19098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-reverse 14472  df-s2 14561  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-oppg 18950  df-symg 18975  df-pmtr 19050  df-psgn 19099  df-evpm 19100  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  evpmodpmf1o  20801  pmtrodpm  20802  mdetralt  21757