MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpmr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnodpmr 21539
Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnodpmr ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Proof of Theorem psgnodpmr
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = -1) → 𝐹𝑃)
2 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝑆)
4 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
52, 3, 4psgnevpm 21538 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝑁𝐹) = 1)
65ex 411 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁𝐹) = 1))
76adantr 479 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁𝐹) = 1))
8 neg1rr 12360 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
9 neg1lt0 12362 . . . . . . . 8 -1 < 0
10 0lt1 11768 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 11248 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
12 1re 11246 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
138, 11, 12lttri 11372 . . . . . . . 8 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
149, 10, 13mp2an 690 . . . . . . 7 -1 < 1
158, 14gtneii 11358 . . . . . 6 1 ≠ -1
16 neeq1 2992 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → ((𝑁𝐹) ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
1715, 16mpbiri 257 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = 1 → (𝑁𝐹) ≠ -1)
187, 17syl6 35 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁𝐹) ≠ -1))
1918necon2bd 2945 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = -1 → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
20193impia 1114 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = -1) → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))
211, 20eldifd 3955 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3941   class class class wbr 5149  cfv 6549  Fincfn 8964  0cc0 11140  1c1 11141   < clt 11280  -cneg 11477  Basecbs 17183  SymGrpcsymg 19333  pmSgncpsgn 19456  pmEvencevpm 19457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-splice 14736  df-reverse 14745  df-s2 14835  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-efmnd 18829  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-gim 19222  df-oppg 19309  df-symg 19334  df-pmtr 19409  df-psgn 19458  df-evpm 19459  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-cnfld 21297
This theorem is referenced by:  evpmodpmf1o  21545  pmtrodpm  21546  mdetralt  22554
  Copyright terms: Public domain W3C validator