MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpmr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psgnodpmr 21536
Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
evpmss.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
psgnodpmr ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)))
Proof of Theorem psgnodpmr
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
3 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
4 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
52, 3, 4psgnevpm 21535 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1)
65ex 411 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1))
76adantr 479 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1))
8 neg1rr 12367 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
9 neg1lt0 12369 . . . . . . . 8 -1 < 0
10 0lt1 11776 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 11256 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
12 1re 11254 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
138, 11, 12lttri 11380 . . . . . . . 8 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) β†’ -1 < 1)
149, 10, 13mp2an 690 . . . . . . 7 -1 < 1
158, 14gtneii 11366 . . . . . 6 1 β‰  -1
16 neeq1 3000 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘β€˜πΉ) β‰  -1 ↔ 1 β‰  -1))
1715, 16mpbiri 257 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘β€˜πΉ) β‰  -1)
187, 17syl6 35 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ (π‘β€˜πΉ) β‰  -1))
1918necon2bd 2953 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)))
20193impia 1114 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·))
211, 20eldifd 3960 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Fincfn 8972  0cc0 11148  1c1 11149   < clt 11288  -cneg 11485  Basecbs 17189  SymGrpcsymg 19335  pmSgncpsgn 19458  pmEvencevpm 19459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-word 14507  df-lsw 14555  df-concat 14563  df-s1 14588  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-splice 14742  df-reverse 14751  df-s2 14841  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-efmnd 18835  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-gim 19227  df-oppg 19311  df-symg 19336  df-pmtr 19411  df-psgn 19460  df-evpm 19461  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-cnfld 21294
This theorem is referenced by:  evpmodpmf1o  21542  pmtrodpm  21543  mdetralt  22538
  Copyright terms: Public domain W3C validator