MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpmr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psgnodpmr 21483
Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
evpmss.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
psgnodpmr ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)))
Proof of Theorem psgnodpmr
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
3 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
4 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
52, 3, 4psgnevpm 21482 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1)
65ex 412 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1))
8 neg1rr 12331 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
9 neg1lt0 12333 . . . . . . . 8 -1 < 0
10 0lt1 11740 . . . . . . . 8 0 < 1
11 0re 11220 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
12 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
138, 11, 12lttri 11344 . . . . . . . 8 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) β†’ -1 < 1)
149, 10, 13mp2an 689 . . . . . . 7 -1 < 1
158, 14gtneii 11330 . . . . . 6 1 β‰  -1
16 neeq1 2997 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘β€˜πΉ) β‰  -1 ↔ 1 β‰  -1))
1715, 16mpbiri 258 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘β€˜πΉ) β‰  -1)
187, 17syl6 35 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ (π‘β€˜πΉ) β‰  -1))
1918necon2bd 2950 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)))
20193impia 1114 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·))
211, 20eldifd 3954 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  -cneg 11449  Basecbs 17153  SymGrpcsymg 19286  pmSgncpsgn 19409  pmEvencevpm 19410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-evpm 19412  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-cnfld 21241
This theorem is referenced by:  evpmodpmf1o  21489  pmtrodpm  21490  mdetralt  22465
  Copyright terms: Public domain W3C validator