Theorem psgnodpmr 21520

Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnodpmr	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Proof of Theorem psgnodpmr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
2		evpmss.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
3		evpmss.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
4		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
5	2, 3, 4	psgnevpm 21519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)) → (𝑁‘𝐹) = 1)
6	5	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) = 1))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) = 1))
8		neg1rr 12103	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
9		neg1lt0 12105	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 0
10		0lt1 11631	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
11		0re 11106	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		1re 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13	8, 11, 12	lttri 11231	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
14	9, 10, 13	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ -1 < 1
15	8, 14	gtneii 11217	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ -1
16		neeq1 2988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → ((𝑁‘𝐹) ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
17	15, 16	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) ≠ -1)
18	7, 17	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → (𝑁‘𝐹) ≠ -1))
19	18	necon2bd 2942	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = -1 → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
20	19	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))
21	1, 20	eldifd 3911	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = -1) → 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  Fincfn 8864  0cc0 10998  1c1 10999   < clt 11138  -cneg 11337  Basecbs 17112  SymGrpcsymg 19274  pmSgncpsgn 19394  pmEvencevpm 19395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-ot 4583  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-word 14413  df-lsw 14462  df-concat 14470  df-s1 14496  df-substr 14541  df-pfx 14571  df-splice 14649  df-reverse 14658  df-s2 14747  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-efmnd 18769  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-gim 19164  df-oppg 19251  df-symg 19275  df-pmtr 19347  df-psgn 19396  df-evpm 19397  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-drng 20639  df-cnfld 21285

This theorem is referenced by:  evpmodpmf1o  21526  pmtrodpm  21527  mdetralt  22516