Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrdiff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrdiff 37309
Description: The irrationals are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
irrdiff (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem irrdiff
StepHypRef Expression
1 simplll 775 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpllr 776 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
3 simplrl 777 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
4 simplrr 778 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
5 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞𝑟)
61, 2, 3, 4, 5irrdifflemf 37308 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))
76ex 412 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
87ralrimivva 3200 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
9 simplr 769 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
10 peano2rem 11574 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
11 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 1cnd 11254 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
1311, 12negsubd 11624 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -1) = (𝐴 − 1))
14 neg1lt0 12381 . . . . . . . . 9 -1 < 0
15 0lt1 11783 . . . . . . . . 9 0 < 1
16 neg1rr 12379 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
17 0re 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
18 1re 11259 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1916, 17, 18lttri 11385 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
2014, 15, 19mp2an 692 . . . . . . . 8 -1 < 1
2116a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
22 1red 11260 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2421, 22, 23ltadd2d 11415 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 < 1 ↔ (𝐴 + -1) < (𝐴 + 1)))
2520, 24mpbii 233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -1) < (𝐴 + 1))
2613, 25eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < (𝐴 + 1))
2710, 26ltned 11395 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
2827ad2antrr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
29 1z 12645 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
30 zq 12994 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ ℚ
32 qsubcl 13008 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
3331, 32mpan2 691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
34 qaddcl 13005 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
3531, 34mpan2 691 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
3635adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
37 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → 𝑞 = (𝐴 − 1))
38 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → 𝑟 = (𝐴 + 1))
3937, 38neeq12d 3000 . . . . . . 7 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝑞𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1)))
40 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
4241fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (abs‘(𝐴𝑞)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))))
43 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝐴 + 1) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
4443adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
4544fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
4642, 45neeq12d 3000 . . . . . . 7 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → ((abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1)))))
4739, 46imbi12d 344 . . . . . 6 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → ((𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
4847rspc2gv 3632 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) → ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
4933, 36, 48syl2an2 686 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) → ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
509, 28, 49mp2d 49 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
51 neirr 2947 . . . . 5 ¬ (abs‘1) ≠ (abs‘1)
5211, 12nncand 11623 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
5352fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘1))
5411, 12subnegd 11625 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
5554oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − -1)) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
5621recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ∈ ℂ)
5711, 56nncand 11623 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − -1)) = -1)
5855, 57eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 + 1)) = -1)
5958fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘-1))
6012absnegd 15485 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-1) = (abs‘1))
6159, 60eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘1))
6253, 61neeq12d 3000 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) ↔ (abs‘1) ≠ (abs‘1)))
6351, 62mtbiri 327 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
6463ad2antrr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ¬ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
6550, 64pm2.65da 817 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
668, 65impbida 801 1 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491  cz 12611  cq 12988  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator