Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrdiff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrdiff 35651
Description: The irrationals are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
irrdiff (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem irrdiff
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpllr 774 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
3 simplrl 775 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
4 simplrr 776 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
5 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞𝑟)
61, 2, 3, 4, 5irrdifflemf 35650 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))
76ex 414 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
87ralrimivva 3194 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
9 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
10 peano2rem 11394 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
11 recn 11067 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 1cnd 11076 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
1311, 12negsubd 11444 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -1) = (𝐴 − 1))
14 neg1lt0 12196 . . . . . . . . 9 -1 < 0
15 0lt1 11603 . . . . . . . . 9 0 < 1
16 neg1rr 12194 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
17 0re 11083 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
18 1re 11081 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1916, 17, 18lttri 11207 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
2014, 15, 19mp2an 690 . . . . . . . 8 -1 < 1
2116a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
22 1red 11082 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2421, 22, 23ltadd2d 11237 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 < 1 ↔ (𝐴 + -1) < (𝐴 + 1)))
2520, 24mpbii 232 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -1) < (𝐴 + 1))
2613, 25eqbrtrrd 5121 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < (𝐴 + 1))
2710, 26ltned 11217 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
2827ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
29 1z 12456 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
30 zq 12800 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ ℚ
32 qsubcl 12814 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
3331, 32mpan2 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
34 qaddcl 12811 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
3531, 34mpan2 689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
3635adantl 483 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
37 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → 𝑞 = (𝐴 − 1))
38 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → 𝑟 = (𝐴 + 1))
3937, 38neeq12d 3003 . . . . . . 7 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝑞𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1)))
40 oveq2 7350 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
4140adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
4241fveq2d 6834 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (abs‘(𝐴𝑞)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))))
43 oveq2 7350 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝐴 + 1) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
4443adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
4544fveq2d 6834 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
4642, 45neeq12d 3003 . . . . . . 7 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → ((abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1)))))
4739, 46imbi12d 345 . . . . . 6 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → ((𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
4847rspc2gv 3582 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) → ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
4933, 36, 48syl2an2 684 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) → ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
509, 28, 49mp2d 49 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
51 neirr 2950 . . . . 5 ¬ (abs‘1) ≠ (abs‘1)
5211, 12nncand 11443 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
5352fveq2d 6834 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘1))
5411, 12subnegd 11445 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
5554oveq2d 7358 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − -1)) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
5621recnd 11109 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ∈ ℂ)
5711, 56nncand 11443 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − -1)) = -1)
5855, 57eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 + 1)) = -1)
5958fveq2d 6834 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘-1))
6012absnegd 15261 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-1) = (abs‘1))
6159, 60eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘1))
6253, 61neeq12d 3003 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) ↔ (abs‘1) ≠ (abs‘1)))
6351, 62mtbiri 327 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
6463ad2antrr 724 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ¬ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
6550, 64pm2.65da 815 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
668, 65impbida 799 1 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062   class class class wbr 5097  cfv 6484  (class class class)co 7342  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   < clt 11115  cmin 11311  -cneg 11312  cz 12425  cq 12794  abscabs 15045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-sup 9304  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-seq 13828  df-exp 13889  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator