Theorem irrdiff 35424

Description: The irrationals are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
irrdiff	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem irrdiff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpllr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
3		simplrl 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
4		simplrr 774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑞 ≠ 𝑟)
6	1, 2, 3, 4, 5	irrdifflemf 35423	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
8	7	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
9		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟))))
10		peano2rem 11218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
11		recn 10892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12	negsubd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -1) = (𝐴 − 1))
14		neg1lt0 12020	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
15		0lt1 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
16		neg1rr 12018	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
17		0re 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 10906	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	16, 17, 18	lttri 11031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
20	14, 15, 19	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
21	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
22		1red 10907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
23		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
24	21, 22, 23	ltadd2d 11061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 < 1 ↔ (𝐴 + -1) < (𝐴 + 1)))
25	20, 24	mpbii 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -1) < (𝐴 + 1))
26	13, 25	eqbrtrrd 5094	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < (𝐴 + 1))
27	10, 26	ltned 11041	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
28	27	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
29		1z 12280	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		zq 12623	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℚ
32		qsubcl 12637	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
33	31, 32	mpan2 687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
34		qaddcl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
35	31, 34	mpan2 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
36	35	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
37		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → 𝑞 = (𝐴 − 1))
38		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → 𝑟 = (𝐴 + 1))
39	37, 38	neeq12d 3004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1)))
40		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝐴 − 𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
42	41	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))))
43		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝐴 + 1) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝐴 − 𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
45	44	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (abs‘(𝐴 − 𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
46	42, 45	neeq12d 3004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1)))))
47	39, 46	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → ((𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
48	47	rspc2gv 3561	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
49	33, 36, 48	syl2an2 682	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟))) → ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
50	9, 28, 49	mp2d 49	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
51		neirr 2951	. . . . 5 ⊢ ¬ (abs‘1) ≠ (abs‘1)
52	11, 12	nncand 11267	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
53	52	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘1))
54	11, 12	subnegd 11269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
55	54	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − -1)) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
56	21	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -1 ∈ ℂ)
57	11, 56	nncand 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − -1)) = -1)
58	55, 57	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 + 1)) = -1)
59	58	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘-1))
60	12	absnegd 15089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-1) = (abs‘1))
61	59, 60	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘1))
62	53, 61	neeq12d 3004	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) ↔ (abs‘1) ≠ (abs‘1)))
63	51, 62	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
64	63	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ¬ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
65	50, 64	pm2.65da 813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
66	8, 65	impbida 797	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞 ≠ 𝑟 → (abs‘(𝐴 − 𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑟)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136  ℤcz 12249  ℚcq 12617  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by: (None)