Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrdiff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrdiff 34741
 Description: The irrationals are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
irrdiff (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑞,𝑟

Proof of Theorem irrdiff
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpllr 775 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
3 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞 ∈ ℚ)
4 simplrr 777 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑟 ∈ ℚ)
5 simpr 488 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑞𝑟)
61, 2, 3, 4, 5irrdifflemf 34740 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) ∧ 𝑞𝑟) → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))
76ex 416 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑟 ∈ ℚ)) → (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
87ralrimivva 3159 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
9 simplr 768 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))))
10 peano2rem 10946 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
11 recn 10620 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 1cnd 10629 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
1311, 12negsubd 10996 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -1) = (𝐴 − 1))
14 neg1lt0 11746 . . . . . . . . 9 -1 < 0
15 0lt1 11155 . . . . . . . . 9 0 < 1
16 neg1rr 11744 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
17 0re 10636 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
18 1re 10634 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1916, 17, 18lttri 10759 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
2014, 15, 19mp2an 691 . . . . . . . 8 -1 < 1
2116a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
22 1red 10635 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
23 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2421, 22, 23ltadd2d 10789 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 < 1 ↔ (𝐴 + -1) < (𝐴 + 1)))
2520, 24mpbii 236 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -1) < (𝐴 + 1))
2613, 25eqbrtrrd 5057 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < (𝐴 + 1))
2710, 26ltned 10769 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
2827ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1))
29 1z 12004 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
30 zq 12346 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ ℚ
32 qsubcl 12359 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
3331, 32mpan2 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 1) ∈ ℚ)
34 qaddcl 12356 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
3531, 34mpan2 690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
3635adantl 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 + 1) ∈ ℚ)
37 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → 𝑞 = (𝐴 − 1))
38 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → 𝑟 = (𝐴 + 1))
3937, 38neeq12d 3051 . . . . . . 7 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝑞𝑟 ↔ (𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1)))
40 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = (𝐴 − 1) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
4140adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝐴𝑞) = (𝐴 − (𝐴 − 1)))
4241fveq2d 6653 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (abs‘(𝐴𝑞)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))))
43 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝐴 + 1) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
4443adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
4544fveq2d 6653 . . . . . . . 8 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
4642, 45neeq12d 3051 . . . . . . 7 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → ((abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1)))))
4739, 46imbi12d 348 . . . . . 6 ((𝑞 = (𝐴 − 1) ∧ 𝑟 = (𝐴 + 1)) → ((𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
4847rspc2gv 3583 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) → ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
4933, 36, 48syl2an2 685 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟))) → ((𝐴 − 1) ≠ (𝐴 + 1) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))))
509, 28, 49mp2d 49 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
51 neirr 2999 . . . . 5 ¬ (abs‘1) ≠ (abs‘1)
5211, 12nncand 10995 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
5352fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) = (abs‘1))
5411, 12subnegd 10997 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
5554oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − -1)) = (𝐴 − (𝐴 + 1)))
5621recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -1 ∈ ℂ)
5711, 56nncand 10995 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 − -1)) = -1)
5855, 57eqtr3d 2838 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐴 + 1)) = -1)
5958fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘-1))
6012absnegd 14805 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-1) = (abs‘1))
6159, 60eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) = (abs‘1))
6253, 61neeq12d 3051 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))) ↔ (abs‘1) ≠ (abs‘1)))
6351, 62mtbiri 330 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
6463ad2antrr 725 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ¬ (abs‘(𝐴 − (𝐴 − 1))) ≠ (abs‘(𝐴 − (𝐴 + 1))))
6550, 64pm2.65da 816 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
668, 65impbida 800 1 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ ↔ ∀𝑞 ∈ ℚ ∀𝑟 ∈ ℚ (𝑞𝑟 → (abs‘(𝐴𝑞)) ≠ (abs‘(𝐴𝑟)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   − cmin 10863  -cneg 10864  ℤcz 11973  ℚcq 12340  abscabs 14589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator