MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dec 13620
Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dec 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)

Proof of Theorem 3dec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12095 . 2 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶)
2 dfdec10 12095 . . . . . 6 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
32oveq2i 7161 . . . . 5 (10 · 𝐴𝐵) = (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
4 10nn 12108 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
54nncni 11642 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
6 3dec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
76nn0cni 11903 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
85, 7mulcli 10642 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
9 3dec.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
109nn0cni 11903 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
115, 8, 10adddii 10647 . . . . 5 (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
123, 11eqtri 2844 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
135, 5, 7mulassi 10646 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (10 · (10 · 𝐴))
1413eqcomi 2830 . . . . . 6 (10 · (10 · 𝐴)) = ((10 · 10) · 𝐴)
155sqvali 13537 . . . . . . . 8 (10↑2) = (10 · 10)
1615eqcomi 2830 . . . . . . 7 (10 · 10) = (10↑2)
1716oveq1i 7160 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴) = ((10↑2) · 𝐴)
1814, 17eqtri 2844 . . . . 5 (10 · (10 · 𝐴)) = ((10↑2) · 𝐴)
1918oveq1i 7160 . . . 4 ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵)) = (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2012, 19eqtri 2844 . . 3 (10 · 𝐴𝐵) = (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2120oveq1i 7160 . 2 ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶) = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
221, 21eqtri 2844 1 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2110  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  2c2 11686  0cn0 11891  cdc 12092  cexp 13423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424
This theorem is referenced by:  3dvds2dec  15676
  Copyright terms: Public domain W3C validator