Theorem 3dec 13908

Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dec	⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)

Proof of Theorem 3dec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12369	. 2 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶)
2		dfdec10 12369	. . . . . 6 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
3	2	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
4		10nn 12382	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
5	4	nncni 11913	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
6		3dec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12175	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	5, 7	mulcli 10913	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
9		3dec.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12175	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11	5, 8, 10	adddii 10918	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
12	3, 11	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵))
13	5, 5, 7	mulassi 10917	. . . . . . 7 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = (;10 · (;10 · 𝐴))
14	13	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = ((;10 · ;10) · 𝐴)
15	5	sqvali 13825	. . . . . . . 8 ⊢ (;10↑2) = (;10 · ;10)
16	15	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · ;10) = (;10↑2)
17	16	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · ;10) · 𝐴) = ((;10↑2) · 𝐴)
18	14, 17	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (;10 · (;10 · 𝐴)) = ((;10↑2) · 𝐴)
19	18	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ ((;10 · (;10 · 𝐴)) + (;10 · 𝐵)) = (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
20	12, 19	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (;10 · ;𝐴𝐵) = (((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵))
21	20	oveq1i 7265	. 2 ⊢ ((;10 · ;𝐴𝐵) + 𝐶) = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)
22	1, 21	eqtri 2766	1 ⊢ ;;𝐴𝐵𝐶 = ((((;10↑2) · 𝐴) + (;10 · 𝐵)) + 𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  15970