MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dec 14166
Description: A "decimal constructor" which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10 with 3 "digits". (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dec 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)

Proof of Theorem 3dec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12621 . 2 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶)
2 dfdec10 12621 . . . . . 6 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
32oveq2i 7368 . . . . 5 (10 · 𝐴𝐵) = (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
4 10nn 12634 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
54nncni 12163 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
6 3dec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
76nn0cni 12425 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
85, 7mulcli 11162 . . . . . 6 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
9 3dec.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
109nn0cni 12425 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
115, 8, 10adddii 11167 . . . . 5 (10 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
123, 11eqtri 2764 . . . 4 (10 · 𝐴𝐵) = ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵))
135, 5, 7mulassi 11166 . . . . . . 7 ((10 · 10) · 𝐴) = (10 · (10 · 𝐴))
1413eqcomi 2745 . . . . . 6 (10 · (10 · 𝐴)) = ((10 · 10) · 𝐴)
155sqvali 14084 . . . . . . . 8 (10↑2) = (10 · 10)
1615eqcomi 2745 . . . . . . 7 (10 · 10) = (10↑2)
1716oveq1i 7367 . . . . . 6 ((10 · 10) · 𝐴) = ((10↑2) · 𝐴)
1814, 17eqtri 2764 . . . . 5 (10 · (10 · 𝐴)) = ((10↑2) · 𝐴)
1918oveq1i 7367 . . . 4 ((10 · (10 · 𝐴)) + (10 · 𝐵)) = (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2012, 19eqtri 2764 . . 3 (10 · 𝐴𝐵) = (((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵))
2120oveq1i 7367 . 2 ((10 · 𝐴𝐵) + 𝐶) = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
221, 21eqtri 2764 1 𝐴𝐵𝐶 = ((((10↑2) · 𝐴) + (10 · 𝐵)) + 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208  0cn0 12413  cdc 12618  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  3dvds2dec  16215
  Copyright terms: Public domain W3C validator