Theorem nn0opthlem1 14209

Description: A rather pretty lemma for nn0opthi 14211. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opthlem1.2	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1	⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶))

Proof of Theorem nn0opthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		1nn0 12434	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12455	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
4		nn0opthlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0le2msqi 14208	. 2 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶))
6		nn0ltp1le 12568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
7	1, 4, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
8	1, 1	nn0mulcli 12456	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
9		2nn0 12435	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9, 1	nn0mulcli 12456	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
11	8, 10	nn0addcli 12455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0
12	4, 4	nn0mulcli 12456	. . . 4 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0
13		nn0ltp1le 12568	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶))
15	1	nn0cni 12430	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16		ax-1cn 11102	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	15, 16	binom2i 14153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2))
18	15, 16	addcli 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℂ
19	18	sqvali 14121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1))
20	15	sqvali 14121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
21	20	oveq1i 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1)))
22	16	sqvali 14121	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = (1 · 1)
23	21, 22	oveq12i 7381	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1))
24	17, 19, 23	3eqtr3i 2760	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1))
25	15	mulridi 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
26	25	oveq2i 7380	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴)
27	26	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴))
28	16	mulridi 11154	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
29	27, 28	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1)
30	24, 29	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1)
31	30	breq1i 5109	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶))
32	14, 31	bitr4i 278	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶))
33	5, 7, 32	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2  14210