Theorem nn0opthlem1 14257

Description: A rather pretty lemma for nn0opthi 14259. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opthlem1.2	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1	⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶))

Proof of Theorem nn0opthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		1nn0 12516	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12537	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
4		nn0opthlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0le2msqi 14256	. 2 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶))
6		nn0ltp1le 12648	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
7	1, 4, 6	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
8	1, 1	nn0mulcli 12538	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
9		2nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9, 1	nn0mulcli 12538	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
11	8, 10	nn0addcli 12537	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0
12	4, 4	nn0mulcli 12538	. . . 4 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0
13		nn0ltp1le 12648	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
14	11, 12, 13	mp2an 690	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶))
15	1	nn0cni 12512	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16		ax-1cn 11194	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	15, 16	binom2i 14205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2))
18	15, 16	addcli 11248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℂ
19	18	sqvali 14173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1))
20	15	sqvali 14173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
21	20	oveq1i 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1)))
22	16	sqvali 14173	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = (1 · 1)
23	21, 22	oveq12i 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1))
24	17, 19, 23	3eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1))
25	15	mulridi 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
26	25	oveq2i 7426	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴)
27	26	oveq2i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴))
28	16	mulridi 11246	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
29	27, 28	oveq12i 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1)
30	24, 29	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1)
31	30	breq1i 5150	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶))
32	14, 31	bitr4i 277	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶))
33	5, 7, 32	3bitr4i 302	1 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141   < clt 11276   ≤ cle 11277  2c2 12295  ℕ₀cn0 12500  ↑cexp 14056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 13997  df-exp 14057

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2  14258