Theorem nn0opthlem1 13910

Description: A rather pretty lemma for nn0opthi 13912. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opthlem1.2	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1	⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶))

Proof of Theorem nn0opthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		1nn0 12179	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12200	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
4		nn0opthlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0le2msqi 13909	. 2 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶))
6		nn0ltp1le 12308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
7	1, 4, 6	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
8	1, 1	nn0mulcli 12201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
9		2nn0 12180	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9, 1	nn0mulcli 12201	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
11	8, 10	nn0addcli 12200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0
12	4, 4	nn0mulcli 12201	. . . 4 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0
13		nn0ltp1le 12308	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
14	11, 12, 13	mp2an 688	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶))
15	1	nn0cni 12175	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	15, 16	binom2i 13856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2))
18	15, 16	addcli 10912	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℂ
19	18	sqvali 13825	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1))
20	15	sqvali 13825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
21	20	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1)))
22	16	sqvali 13825	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = (1 · 1)
23	21, 22	oveq12i 7267	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1))
24	17, 19, 23	3eqtr3i 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1))
25	15	mulid1i 10910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
26	25	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴)
27	26	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴))
28	16	mulid1i 10910	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
29	27, 28	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1)
30	24, 29	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1)
31	30	breq1i 5077	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶))
32	14, 31	bitr4i 277	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶))
33	5, 7, 32	3bitr4i 302	1 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2  13911