Theorem nn0opthlem1 14291

Description: A rather pretty lemma for nn0opthi 14293. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthlem1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opthlem1.2	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthlem1	⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶))

Proof of Theorem nn0opthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		1nn0 12522	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12543	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
4		nn0opthlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	3, 4	nn0le2msqi 14290	. 2 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐶 ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶))
6		nn0ltp1le 12656	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶))
7	1, 4, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐶)
8	1, 1	nn0mulcli 12544	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ0
9		2nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	9, 1	nn0mulcli 12544	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
11	8, 10	nn0addcli 12543	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0
12	4, 4	nn0mulcli 12544	. . . 4 ⊢ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0
13		nn0ltp1le 12656	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝐶) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶)))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶))
15	1	nn0cni 12518	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16		ax-1cn 11192	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	15, 16	binom2i 14235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2))
18	15, 16	addcli 11246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℂ
19	18	sqvali 14203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1))
20	15	sqvali 14203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)
21	20	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1)))
22	16	sqvali 14203	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = (1 · 1)
23	21, 22	oveq12i 7422	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1))
24	17, 19, 23	3eqtr3i 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1))
25	15	mulridi 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
26	25	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴)
27	26	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) = ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴))
28	16	mulridi 11244	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
29	27, 28	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · (𝐴 · 1))) + (1 · 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1)
30	24, 29	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1)
31	30	breq1i 5131	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) + 1) ≤ (𝐶 · 𝐶))
32	14, 31	bitr4i 278	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶) ↔ ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐶 · 𝐶))
33	5, 7, 32	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 < 𝐶 ↔ ((𝐴 · 𝐴) + (2 · 𝐴)) < (𝐶 · 𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  nn0opthlem2  14292