Theorem nn0lt10b 12436

Description: A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt10b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem nn0lt10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12289	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nnnlt1 12059	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 < 1)
3	2	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 1 → 𝑁 = 0))
4		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 1 → 𝑁 = 0))
5	3, 4	jaoi 855	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 < 1 → 𝑁 = 0))
6	1, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → 𝑁 = 0))
7		0lt1 11551	. . 3 ⊢ 0 < 1
8		breq1 5084	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 < 1 ↔ 0 < 1))
9	7, 8	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 < 1)
10	6, 9	impbid1 224	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  0cc0 10925  1c1 10926   < clt 11063  ℕcn 12027  ℕ₀cn0 12287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10982  ax-1cn 10983  ax-icn 10984  ax-addcl 10985  ax-addrcl 10986  ax-mulcl 10987  ax-mulrcl 10988  ax-mulcom 10989  ax-addass 10990  ax-mulass 10991  ax-distr 10992  ax-i2m1 10993  ax-1ne0 10994  ax-1rid 10995  ax-rnegex 10996  ax-rrecex 10997  ax-cnre 10998  ax-pre-lttri 10999  ax-pre-lttrn 11000  ax-pre-ltadd 11001  ax-pre-mulgt0 11002

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3340  df-rab 3341  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11065  df-mnf 11066  df-xr 11067  df-ltxr 11068  df-le 11069  df-sub 11261  df-neg 11262  df-nn 12028  df-n0 12288

This theorem is referenced by:  nn0lt2  12437  nn0le2is012  12438  fz1n  13328  zdis  24036  plyrem  25522  efif1olem4  25758  acycgr1v  33166  poimirlem28  35859