Theorem acycgr1v 35736

Description: A multigraph with one vertex is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgrv.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr1v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclispth 30271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
2		acycgrv.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	pthhashvtx 30202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
4	1, 3	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
5	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
6		breq2 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
8	5, 7	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
9	8	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
10		umgrn1cycl 30283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
11	10	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
12	11	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 1 ≠ (♯‘𝑓))
13		cycliswlk 30273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
14		wlkcl 30083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℝ)
16		1red 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → 1 ∈ ℝ)
17	15, 16	ltlend 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
18	13, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
19	18	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
20	9, 12, 19	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) < 1)
21		nn0lt10b 12687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
22	13, 14, 21	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
23	22	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
24	20, 23	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) = 0)
25		hasheq0 14431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
26	25	elv 3458	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
27	24, 26	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑓 = ∅)
28	27	3com23 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → 𝑓 = ∅)
29	28	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
30	29	alrimivv 1961	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
31		isacycgr1 30639	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
32	31	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
33	30, 32	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  0cc0 11128  1c1 11129   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕ₀cn0 12532  ♯chash 14398  Vtxcvtx 29461  UMGraphcumgr 29546  Walkscwlks 30064  Pathscpths 30182  Cyclesccycls 30259  AcyclicGraphcacycgr 30635

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-wlks 30067  df-trls 30162  df-pths 30186  df-cycls 30261  df-acycgr 30636

This theorem is used by: (None)