Theorem acycgr1v 33864

Description: A multigraph with one vertex is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgrv.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr1v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclispth 28842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
2		acycgrv.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	pthhashvtx 33842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
6		breq2 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
8	5, 7	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
9	8	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
10		umgrn1cycl 28849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
11	10	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
12	11	necomd 2995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 1 ≠ (♯‘𝑓))
13		cycliswlk 28843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
14		wlkcl 28660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℝ)
16		1red 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → 1 ∈ ℝ)
17	15, 16	ltlend 11324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
19	18	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
20	9, 12, 19	mpbir2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) < 1)
21		nn0lt10b 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
22	13, 14, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
24	20, 23	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) = 0)
25		hasheq0 14288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
26	25	elv 3465	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
27	24, 26	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑓 = ∅)
28	27	3com23 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → 𝑓 = ∅)
29	28	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
30	29	alrimivv 1931	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
31		isacycgr1 33861	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
32	31	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
33	30, 32	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3459  ∅c0 4302   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  0cc0 11075  1c1 11076   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕ₀cn0 12437  ♯chash 14255  Vtxcvtx 28044  UMGraphcumgr 28129  Walkscwlks 28641  Pathscpths 28757  Cyclesccycls 28830  AcyclicGraphcacycgr 33857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-upgr 28130  df-umgr 28131  df-wlks 28644  df-trls 28737  df-pths 28761  df-cycls 28832  df-acycgr 33858

This theorem is referenced by: (None)