Theorem acycgr1v 35607

Description: A multigraph with one vertex is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgrv.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr1v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclispth 30112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
2		acycgrv.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	pthhashvtx 35586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
4	1, 3	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
5	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
6		breq2 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
7	6	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
8	5, 7	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
9	8	3adant1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
10		umgrn1cycl 30122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
11	10	3adant3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
12	11	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 1 ≠ (♯‘𝑓))
13		cycliswlk 30113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
14		wlkcl 29931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℝ)
16		1red 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → 1 ∈ ℝ)
17	15, 16	ltlend 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
18	13, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
19	18	3ad2ant2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
20	9, 12, 19	mpbir2and 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) < 1)
21		nn0lt10b 12657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
22	13, 14, 21	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
23	22	3ad2ant2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
24	20, 23	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) = 0)
25		hasheq0 14399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
26	25	elv 3458	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
27	24, 26	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑓 = ∅)
28	27	3com23 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → 𝑓 = ∅)
29	28	3expia 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
30	29	alrimivv 1956	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
31		isacycgr1 35604	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
32	31	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
33	30, 32	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1566   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕ₀cn0 12503  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29312  UMGraphcumgr 29397  Walkscwlks 29912  Pathscpths 30025  Cyclesccycls 30100  AcyclicGraphcacycgr 35600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-upgr 29398  df-umgr 29399  df-wlks 29915  df-trls 30006  df-pths 30029  df-cycls 30102  df-acycgr 35601

This theorem is referenced by: (None)