Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acycgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acycgr1v 33111
Description: A multigraph with one vertex is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
acycgrv.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
acycgr1v ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr1v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclispth 28165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
2 acycgrv.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32pthhashvtx 33089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
54adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
6 breq2 5078 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
76adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
85, 7mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
983adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
10 umgrn1cycl 28172 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
11103adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
1211necomd 2999 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 1 ≠ (♯‘𝑓))
13 cycliswlk 28166 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
14 wlkcl 27982 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
1514nn0red 12294 . . . . . . . . . . 11 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℝ)
16 1red 10976 . . . . . . . . . . 11 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → 1 ∈ ℝ)
1715, 16ltlend 11120 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
19183ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
209, 12, 19mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) < 1)
21 nn0lt10b 12382 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
2213, 14, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
23223ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
2420, 23mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) = 0)
25 hasheq0 14078 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
2625elv 3438 . . . . . 6 ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
2724, 26sylib 217 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑓 = ∅)
28273com23 1125 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → 𝑓 = ∅)
29283expia 1120 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 = ∅))
3029alrimivv 1931 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∀𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 = ∅))
31 isacycgr1 33108 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 = ∅)))
3231adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 = ∅)))
3330, 32mpbird 256 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3432  c0 4256   class class class wbr 5074  cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  cle 11010  0cn0 12233  chash 14044  Vtxcvtx 27366  UMGraphcumgr 27451  Walkscwlks 27963  Pathscpths 28080  Cyclesccycls 28153  AcyclicGraphcacycgr 33104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-upgr 27452  df-umgr 27453  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-pths 28084  df-cycls 28155  df-acycgr 33105
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator