Theorem acycgr1v 35452

Description: A multigraph with one vertex is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgrv.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr1v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclispth 29941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
2		acycgrv.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	pthhashvtx 35431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
5	4	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉))
6		breq2 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
7	6	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) ≤ (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑓) ≤ 1))
8	5, 7	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
9	8	3adant1 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≤ 1)
10		umgrn1cycl 29951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
11	10	3adant3 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) ≠ 1)
12	11	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 1 ≠ (♯‘𝑓))
13		cycliswlk 29942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
14		wlkcl 29760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) ∈ ℝ)
16		1red 11177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → 1 ∈ ℝ)
17	15, 16	ltlend 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
19	18	3ad2ant2 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ ((♯‘𝑓) ≤ 1 ∧ 1 ≠ (♯‘𝑓))))
20	9, 12, 19	mpbir2and 723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) < 1)
21		nn0lt10b 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
22	13, 14, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
23	22	3ad2ant2 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((♯‘𝑓) < 1 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
24	20, 23	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑓) = 0)
25		hasheq0 14371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
26	25	elv 3458	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
27	24, 26	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑓 = ∅)
28	27	3com23 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝) → 𝑓 = ∅)
29	28	3expia 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
30	29	alrimivv 1947	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅))
31		isacycgr1 35449	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
32	31	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 → 𝑓 = ∅)))
33	30, 32	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097  ∀wal 1557   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6515  0cc0 11068  1c1 11069   < clt 11211   ≤ cle 11212  ℕ₀cn0 12476  ♯chash 14338  Vtxcvtx 29141  UMGraphcumgr 29226  Walkscwlks 29741  Pathscpths 29854  Cyclesccycls 29929  AcyclicGraphcacycgr 35445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1074  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-n0 12477  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-hash 14339  df-word 14522  df-upgr 29227  df-umgr 29228  df-wlks 29744  df-trls 29835  df-pths 29858  df-cycls 29931  df-acycgr 35446

This theorem is referenced by: (None)