![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nn0opth2i | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthi 14177. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0opth.1 | โข ๐ด โ โ0 |
nn0opth.2 | โข ๐ต โ โ0 |
nn0opth.3 | โข ๐ถ โ โ0 |
nn0opth.4 | โข ๐ท โ โ0 |
Ref | Expression |
---|---|
nn0opth2i | โข ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0opth.1 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ0 | |
2 | 1 | nn0cni 12432 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ |
3 | nn0opth.2 | . . . . . . 7 โข ๐ต โ โ0 | |
4 | 3 | nn0cni 12432 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
5 | 2, 4 | addcli 11168 | . . . . 5 โข (๐ด + ๐ต) โ โ |
6 | 5 | sqvali 14091 | . . . 4 โข ((๐ด + ๐ต)โ2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) |
7 | 6 | oveq1i 7372 | . . 3 โข (((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) |
8 | nn0opth.3 | . . . . . . 7 โข ๐ถ โ โ0 | |
9 | 8 | nn0cni 12432 | . . . . . 6 โข ๐ถ โ โ |
10 | nn0opth.4 | . . . . . . 7 โข ๐ท โ โ0 | |
11 | 10 | nn0cni 12432 | . . . . . 6 โข ๐ท โ โ |
12 | 9, 11 | addcli 11168 | . . . . 5 โข (๐ถ + ๐ท) โ โ |
13 | 12 | sqvali 14091 | . . . 4 โข ((๐ถ + ๐ท)โ2) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) |
14 | 13 | oveq1i 7372 | . . 3 โข (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) |
15 | 7, 14 | eqeq12i 2755 | . 2 โข ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) |
16 | 1, 3, 8, 10 | nn0opthi 14177 | . 2 โข ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท)) |
17 | 15, 16 | bitri 275 | 1 โข ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7362 + caddc 11061 ยท cmul 11063 2c2 12215 โ0cn0 12420 โcexp 13974 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-nn 12161 df-2 12223 df-n0 12421 df-z 12507 df-uz 12771 df-seq 13914 df-exp 13975 |
This theorem is referenced by: nn0opth2 14179 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |