MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opth2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opth2i 14125
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthi 14124. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4 𝐷 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0opth2i ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem nn0opth2i
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0cni 12383 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
3 nn0opth.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
43nn0cni 12383 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
52, 4addcli 11119 . . . . 5 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
65sqvali 14038 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵))
76oveq1i 7361 . . 3 (((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)
8 nn0opth.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
98nn0cni 12383 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
10 nn0opth.4 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℕ0
1110nn0cni 12383 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℂ
129, 11addcli 11119 . . . . 5 (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ
1312sqvali 14038 . . . 4 ((𝐶 + 𝐷)↑2) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷))
1413oveq1i 7361 . . 3 (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)
157, 14eqeq12i 2755 . 2 ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
161, 3, 8, 10nn0opthi 14124 . 2 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
1715, 16bitri 274 1 ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351   + caddc 11012   · cmul 11014  2c2 12166  0cn0 12371  cexp 13921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-seq 13861  df-exp 13922
This theorem is referenced by:  nn0opth2  14126
  Copyright terms: Public domain W3C validator