Theorem nn0opth2i 14338

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthi 14337. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opth2i	⊢ ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem nn0opth2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12543	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		nn0opth.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12543	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5	2, 4	addcli 11242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
6	5	sqvali 14247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵))
7	6	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)
8		nn0opth.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12543	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
10		nn0opth.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 12543	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
12	9, 11	addcli 11242	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ
13	12	sqvali 14247	. . . 4 ⊢ ((𝐶 + 𝐷)↑2) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷))
14	13	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)
15	7, 14	eqeq12i 2778	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
16	1, 3, 8, 10	nn0opthi 14337	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
17	15, 16	bitri 278	1 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414   + caddc 11130   · cmul 11132  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ↑cexp 14128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14069  df-exp 14129

This theorem is used by:  nn0opth2  14339