Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opth2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opth2i 13358
 Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthi 13357. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4 𝐷 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0opth2i ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem nn0opth2i
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0cni 11638 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
3 nn0opth.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
43nn0cni 11638 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
52, 4addcli 10370 . . . . 5 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
65sqvali 13244 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵))
76oveq1i 6920 . . 3 (((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)
8 nn0opth.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
98nn0cni 11638 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
10 nn0opth.4 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℕ0
1110nn0cni 11638 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℂ
129, 11addcli 10370 . . . . 5 (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ
1312sqvali 13244 . . . 4 ((𝐶 + 𝐷)↑2) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷))
1413oveq1i 6920 . . 3 (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)
157, 14eqeq12i 2839 . 2 ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
161, 3, 8, 10nn0opthi 13357 . 2 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
1715, 16bitri 267 1 ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6910   + caddc 10262   · cmul 10264  2c2 11413  ℕ0cn0 11625  ↑cexp 13161 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-seq 13103  df-exp 13162 This theorem is referenced by:  nn0opth2  13359
 Copyright terms: Public domain W3C validator