Theorem nn0ge0d 11959

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 11923	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  0cc0 10537   ≤ cle 10676  ℕ₀cn0 11898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13198  zmodfz  13262  modaddmodlo  13304  modsumfzodifsn  13313  addmodlteq  13315  expmulnbnd  13597  facwordi  13650  faclbnd  13651  faclbnd4lem3  13656  faclbnd6  13660  facavg  13662  hashdom  13741  climcnds  15206  geomulcvg  15232  mertenslem1  15240  eftabs  15429  efcllem  15431  efaddlem  15446  eftlub  15462  oexpneg  15694  divalg2  15756  bitsfzolem  15783  bitsmod  15785  sadcaddlem  15806  sadaddlem  15815  sadasslem  15819  sadeq  15821  smueqlem  15839  dfgcd2  15894  gcdmultipleOLD  15900  gcdmultiplezOLD  15901  dvdssqlem  15910  nn0seqcvgd  15914  mulgcddvds  15999  isprm5  16051  zsqrtelqelz  16098  phibndlem  16107  dfphi2  16111  pythagtriplem3  16155  pythagtriplem10  16157  pythagtriplem6  16158  pythagtriplem7  16159  pythagtriplem12  16163  pythagtriplem14  16165  iserodd  16172  pcge0  16198  pcprmpw2  16218  pcmptdvds  16230  fldivp1  16233  pcbc  16236  qexpz  16237  pockthlem  16241  pockthg  16242  prmreclem3  16254  mul4sqlem  16289  4sqlem12  16292  4sqlem14  16294  4sqlem16  16296  0ram  16356  ram0  16358  ramcl  16365  prmolefac  16382  2expltfac  16426  odmodnn0  18668  pgpfi  18730  ablfac1c  19193  psrbaglesupp  20148  psrbagcon  20151  psrlidm  20183  coe1tmmul2  20444  prmirred  20642  lebnumii  23570  mbfi1fseqlem1  24316  mbfi1fseqlem3  24318  mbfi1fseqlem4  24319  mbfi1fseqlem5  24320  itg2cnlem2  24363  fta1g  24761  coemulhi  24844  dgradd2  24858  dgrco  24865  aareccl  24915  aaliou3lem8  24934  radcnvlem1  25001  dvradcnv  25009  dmlogdmgm  25601  wilthlem1  25645  sgmmul  25777  chtublem  25787  fsumvma2  25790  chpchtsum  25795  perfectlem2  25806  bcmono  25853  bposlem5  25864  lgsval2lem  25883  lgsval4a  25895  lgsqrlem2  25923  gausslemma2dlem0c  25934  gausslemma2dlem0d  25935  lgseisenlem1  25951  lgseisenlem2  25952  lgsquadlem1  25956  2lgslem1a1  25965  2sqlem3  25996  2sqlem7  26000  2sqlem8  26002  2sqblem  26007  2sqmod  26012  2sqreunnlem1  26025  dchrisum0re  26089  pntrlog2bndlem4  26156  pntpbnd1a  26161  ostth2lem2  26210  ostth2lem3  26211  ostth2  26213  crctcshwlkn0lem4  27591  wwlksubclwwlk  27837  nnmulge  30474  nndiffz1  30509  pfxlsw2ccat  30626  wrdt2ind  30627  submateqlem1  31072  nexple  31268  oddpwdc  31612  eulerpartlems  31618  eulerpartlemgc  31620  eulerpartlemb  31626  fsum2dsub  31878  breprexplemc  31903  circlemeth  31911  tgoldbachgtde  31931  usgrgt2cycl  32377  subfaclim  32435  cvmliftlem2  32533  cvmliftlem10  32541  snmlff  32576  dfgcd3  34608  poimirlem10  34917  poimirlem23  34930  poimirlem24  34931  itg2addnclem2  34959  rrnequiv  35128  fltnlta  39295  irrapxlem2  39440  irrapxlem5  39443  pellexlem1  39446  pellexlem2  39447  pellexlem5  39450  pellexlem6  39451  pell14qrgt0  39476  pell1qrge1  39487  pellfundgt1  39500  rmspecnonsq  39524  rmspecfund  39526  rmspecpos  39533  rmxypos  39564  ltrmxnn0  39566  jm2.24  39580  acongeq  39600  jm2.22  39612  jm2.23  39613  jm2.27a  39622  jm2.27c  39624  nzprmdif  40671  bccbc  40697  binomcxplemnn0  40701  fsumnncl  41872  mccllem  41898  ioodvbdlimc1lem2  42237  ioodvbdlimc2lem  42239  dvnxpaek  42247  dvnmul  42248  dvnprodlem1  42251  stoweidlem24  42329  wallispilem4  42373  wallispilem5  42374  wallispi2lem1  42376  stirlinglem4  42382  stirlinglem5  42383  stirlinglem10  42388  stirlinglem15  42393  stirlingr  42395  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem92  42503  sqwvfoura  42533  elaa2lem  42538  etransclem19  42558  etransclem23  42562  etransclem27  42566  etransclem44  42583  rrndistlt  42595  oexpnegALTV  43862  perfectALTVlem2  43907  blennn  44655  dignn0ldlem  44682  dig2nn1st  44685  digexp  44687  dignn0flhalf  44698