Theorem nn0ge0d 12296

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12258	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  0cc0 10871   ≤ cle 11010  ℕ₀cn0 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13547  zmodfz  13613  modaddmodlo  13655  modsumfzodifsn  13664  addmodlteq  13666  expmulnbnd  13950  facwordi  14003  faclbnd  14004  faclbnd4lem3  14009  faclbnd6  14013  facavg  14015  hashdom  14094  climcnds  15563  geomulcvg  15588  mertenslem1  15596  eftabs  15785  efcllem  15787  efaddlem  15802  eftlub  15818  oexpneg  16054  divalg2  16114  bitsfzolem  16141  bitsmod  16143  sadcaddlem  16164  sadaddlem  16173  sadasslem  16177  sadeq  16179  smueqlem  16197  dfgcd2  16254  gcdmultipleOLD  16260  gcdmultiplezOLD  16261  dvdssqlem  16271  nn0seqcvgd  16275  mulgcddvds  16360  isprm5  16412  zsqrtelqelz  16462  phibndlem  16471  dfphi2  16475  pythagtriplem3  16519  pythagtriplem10  16521  pythagtriplem6  16522  pythagtriplem7  16523  pythagtriplem12  16527  pythagtriplem14  16529  iserodd  16536  pcge0  16563  pcprmpw2  16583  pcmptdvds  16595  fldivp1  16598  pcbc  16601  qexpz  16602  pockthlem  16606  pockthg  16607  prmreclem3  16619  mul4sqlem  16654  4sqlem12  16657  4sqlem14  16659  4sqlem16  16661  0ram  16721  ram0  16723  ramcl  16730  prmolefac  16747  2expltfac  16794  odmodnn0  19148  pgpfi  19210  ablfac1c  19674  prmirred  20696  psrbaglesupp  21127  psrbaglesuppOLD  21128  psrbagcon  21133  psrbagconOLD  21134  psrlidm  21172  coe1tmmul2  21447  lebnumii  24129  mbfi1fseqlem1  24880  mbfi1fseqlem3  24882  mbfi1fseqlem4  24883  mbfi1fseqlem5  24884  itg2cnlem2  24927  fta1g  25332  coemulhi  25415  dgradd2  25429  dgrco  25436  aareccl  25486  aaliou3lem8  25505  radcnvlem1  25572  dvradcnv  25580  dmlogdmgm  26173  wilthlem1  26217  sgmmul  26349  chtublem  26359  fsumvma2  26362  chpchtsum  26367  perfectlem2  26378  bcmono  26425  bposlem5  26436  lgsval2lem  26455  lgsval4a  26467  lgsqrlem2  26495  gausslemma2dlem0c  26506  gausslemma2dlem0d  26507  lgseisenlem1  26523  lgseisenlem2  26524  lgsquadlem1  26528  2lgslem1a1  26537  2sqlem3  26568  2sqlem7  26572  2sqlem8  26574  2sqblem  26579  2sqmod  26584  2sqreunnlem1  26597  dchrisum0re  26661  pntrlog2bndlem4  26728  pntpbnd1a  26733  ostth2lem2  26782  ostth2lem3  26783  ostth2  26785  crctcshwlkn0lem4  28178  wwlksubclwwlk  28422  nnmulge  31073  nndiffz1  31107  pfxlsw2ccat  31224  wrdt2ind  31225  submateqlem1  31757  nexple  31977  oddpwdc  32321  eulerpartlems  32327  eulerpartlemgc  32329  eulerpartlemb  32335  fsum2dsub  32587  breprexplemc  32612  circlemeth  32620  tgoldbachgtde  32640  usgrgt2cycl  33092  subfaclim  33150  cvmliftlem2  33248  cvmliftlem10  33256  snmlff  33291  dfgcd3  35495  poimirlem10  35787  poimirlem23  35800  poimirlem24  35801  itg2addnclem2  35829  rrnequiv  35993  bccl2d  40000  lcmineqlem18  40054  lcmineqlem19  40055  lcmineqlem20  40056  aks4d1p1p2  40078  aks4d1p1p7  40082  aks4d1p7d1  40090  2np3bcnp1  40100  sticksstones6  40107  sticksstones7  40108  sticksstones22  40124  metakunt2  40126  fltnlta  40500  irrapxlem2  40645  irrapxlem5  40648  pellexlem1  40651  pellexlem2  40652  pellexlem5  40655  pellexlem6  40656  pell14qrgt0  40681  pell1qrge1  40692  pellfundgt1  40705  rmspecnonsq  40729  rmspecfund  40731  rmspecpos  40738  rmxypos  40769  ltrmxnn0  40771  jm2.24  40785  acongeq  40805  jm2.22  40817  jm2.23  40818  jm2.27a  40827  jm2.27c  40829  nzprmdif  41937  bccbc  41963  binomcxplemnn0  41967  fsumnncl  43113  mccllem  43138  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  dvnxpaek  43483  dvnmul  43484  dvnprodlem1  43487  stoweidlem24  43565  wallispilem4  43609  wallispilem5  43610  wallispi2lem1  43612  stirlinglem4  43618  stirlinglem5  43619  stirlinglem10  43624  stirlinglem15  43629  stirlingr  43631  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem92  43739  sqwvfoura  43769  elaa2lem  43774  etransclem19  43794  etransclem23  43798  etransclem27  43802  etransclem44  43819  rrndistlt  43831  oexpnegALTV  45129  perfectALTVlem2  45174  blennn  45921  dignn0ldlem  45948  dig2nn1st  45951  digexp  45953  dignn0flhalf  45964  itcovalt2lem2lem1  46019