Theorem nn0ge0d 12465

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  0cc0 11026   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13747  zmodfz  13813  modaddmodlo  13858  modsumfzodifsn  13867  addmodlteq  13869  expmulnbnd  14158  facwordi  14212  faclbnd  14213  faclbnd4lem3  14218  faclbnd6  14222  facavg  14224  hashdom  14302  climcnds  15774  geomulcvg  15799  mertenslem1  15807  eftabs  15998  efcllem  16000  efaddlem  16016  eftlub  16034  oexpneg  16272  divalg2  16332  bitsfzolem  16361  bitsmod  16363  sadcaddlem  16384  sadaddlem  16393  sadasslem  16397  sadeq  16399  smueqlem  16417  dfgcd2  16473  dvdssqlem  16493  nn0seqcvgd  16497  mulgcddvds  16582  isprm5  16634  zsqrtelqelz  16685  phibndlem  16697  dfphi2  16701  pythagtriplem3  16746  pythagtriplem10  16748  pythagtriplem6  16749  pythagtriplem7  16750  pythagtriplem12  16754  pythagtriplem14  16756  iserodd  16763  pcge0  16790  pcprmpw2  16810  pcmptdvds  16822  fldivp1  16825  pcbc  16828  qexpz  16829  pockthlem  16833  pockthg  16834  prmreclem3  16846  mul4sqlem  16881  4sqlem12  16884  4sqlem14  16886  4sqlem16  16888  0ram  16948  ram0  16950  ramcl  16957  prmolefac  16974  2expltfac  17020  odmodnn0  19469  pgpfi  19534  ablfac1c  20002  prmirred  21429  psrbaglesupp  21878  psrbagcon  21881  psrlidm  21917  psdmul  22109  coe1tmmul2  22218  lebnumii  24921  mbfi1fseqlem1  25672  mbfi1fseqlem3  25674  mbfi1fseqlem4  25675  mbfi1fseqlem5  25676  itg2cnlem2  25719  fta1g  26131  coemulhi  26215  dgradd2  26230  dgrco  26237  aareccl  26290  aaliou3lem8  26309  radcnvlem1  26378  dvradcnv  26386  dmlogdmgm  26990  wilthlem1  27034  sgmmul  27168  chtublem  27178  fsumvma2  27181  chpchtsum  27186  perfectlem2  27197  bcmono  27244  bposlem5  27255  lgsval2lem  27274  lgsval4a  27286  lgsqrlem2  27314  gausslemma2dlem0c  27325  gausslemma2dlem0d  27326  lgseisenlem1  27342  lgseisenlem2  27343  lgsquadlem1  27347  2lgslem1a1  27356  2sqlem3  27387  2sqlem7  27391  2sqlem8  27393  2sqblem  27398  2sqmod  27403  2sqreunnlem1  27416  dchrisum0re  27480  pntrlog2bndlem4  27547  pntpbnd1a  27552  ostth2lem2  27601  ostth2lem3  27602  ostth2  27604  crctcshwlkn0lem4  29886  wwlksubclwwlk  30133  nnmulge  32818  nndiffz1  32866  fzo0opth  32883  nexple  32925  pfxlsw2ccat  33032  wrdt2ind  33035  gsumwrd2dccatlem  33159  ply1unit  33656  mplmulmvr  33704  esplyind  33731  constrdircl  33922  iconstr  33923  submateqlem1  33964  oddpwdc  34511  eulerpartlems  34517  eulerpartlemgc  34519  eulerpartlemb  34525  fsum2dsub  34764  breprexplemc  34789  circlemeth  34797  tgoldbachgtde  34817  usgrgt2cycl  35324  subfaclim  35382  cvmliftlem2  35480  cvmliftlem10  35488  snmlff  35523  dfgcd3  37529  poimirlem10  37831  poimirlem23  37844  poimirlem24  37845  itg2addnclem2  37873  rrnequiv  38036  bccl2d  42245  lcmineqlem18  42300  lcmineqlem19  42301  lcmineqlem20  42302  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p1p7  42328  aks4d1p7d1  42336  posbezout  42354  aks6d1c1  42370  aks6d1c2lem4  42381  aks6d1c2  42384  deg1gprod  42394  2np3bcnp1  42398  sticksstones6  42405  sticksstones7  42406  sticksstones22  42422  aks6d1c6lem3  42426  aks6d1c6lem4  42427  bcled  42432  bcle2d  42433  aks6d1c7lem1  42434  aks6d1c7lem2  42435  unitscyglem4  42452  fltnlta  42906  irrapxlem2  43065  irrapxlem5  43068  pellexlem1  43071  pellexlem2  43072  pellexlem5  43075  pellexlem6  43076  pell14qrgt0  43101  pell1qrge1  43112  pellfundgt1  43125  rmspecnonsq  43149  rmspecfund  43151  rmspecpos  43158  rmxypos  43189  ltrmxnn0  43191  jm2.24  43205  acongeq  43225  jm2.22  43237  jm2.23  43238  jm2.27a  43247  jm2.27c  43249  nzprmdif  44560  bccbc  44586  binomcxplemnn0  44590  fsumnncl  45818  mccllem  45843  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  dvnxpaek  46186  dvnmul  46187  dvnprodlem1  46190  stoweidlem24  46268  wallispilem4  46312  wallispilem5  46313  wallispi2lem1  46315  stirlinglem4  46321  stirlinglem5  46322  stirlinglem10  46327  stirlinglem15  46332  stirlingr  46334  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem92  46442  sqwvfoura  46472  elaa2lem  46477  etransclem19  46497  etransclem23  46501  etransclem27  46505  etransclem44  46522  rrndistlt  46534  chnsubseqwl  47123  modlt0b  47609  oexpnegALTV  47923  perfectALTVlem2  47968  gpgedgvtx0  48307  gpgedgvtx1  48308  blennn  48821  dignn0ldlem  48848  dig2nn1st  48851  digexp  48853  dignn0flhalf  48864  itcovalt2lem2lem1  48919