MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ge0d 12477
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0ge0 12439 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  0cc0 11052  cle 11191  0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  flmulnn0  13733  zmodfz  13799  modaddmodlo  13841  modsumfzodifsn  13850  addmodlteq  13852  expmulnbnd  14139  facwordi  14190  faclbnd  14191  faclbnd4lem3  14196  faclbnd6  14200  facavg  14202  hashdom  14280  climcnds  15737  geomulcvg  15762  mertenslem1  15770  eftabs  15959  efcllem  15961  efaddlem  15976  eftlub  15992  oexpneg  16228  divalg2  16288  bitsfzolem  16315  bitsmod  16317  sadcaddlem  16338  sadaddlem  16347  sadasslem  16351  sadeq  16353  smueqlem  16371  dfgcd2  16428  dvdssqlem  16443  nn0seqcvgd  16447  mulgcddvds  16532  isprm5  16584  zsqrtelqelz  16634  phibndlem  16643  dfphi2  16647  pythagtriplem3  16691  pythagtriplem10  16693  pythagtriplem6  16694  pythagtriplem7  16695  pythagtriplem12  16699  pythagtriplem14  16701  iserodd  16708  pcge0  16735  pcprmpw2  16755  pcmptdvds  16767  fldivp1  16770  pcbc  16773  qexpz  16774  pockthlem  16778  pockthg  16779  prmreclem3  16791  mul4sqlem  16826  4sqlem12  16829  4sqlem14  16831  4sqlem16  16833  0ram  16893  ram0  16895  ramcl  16902  prmolefac  16919  2expltfac  16966  odmodnn0  19323  pgpfi  19388  ablfac1c  19851  prmirred  20898  psrbaglesupp  21329  psrbaglesuppOLD  21330  psrbagcon  21335  psrbagconOLD  21336  psrlidm  21375  coe1tmmul2  21650  lebnumii  24332  mbfi1fseqlem1  25083  mbfi1fseqlem3  25085  mbfi1fseqlem4  25086  mbfi1fseqlem5  25087  itg2cnlem2  25130  fta1g  25535  coemulhi  25618  dgradd2  25632  dgrco  25639  aareccl  25689  aaliou3lem8  25708  radcnvlem1  25775  dvradcnv  25783  dmlogdmgm  26376  wilthlem1  26420  sgmmul  26552  chtublem  26562  fsumvma2  26565  chpchtsum  26570  perfectlem2  26581  bcmono  26628  bposlem5  26639  lgsval2lem  26658  lgsval4a  26670  lgsqrlem2  26698  gausslemma2dlem0c  26709  gausslemma2dlem0d  26710  lgseisenlem1  26726  lgseisenlem2  26727  lgsquadlem1  26731  2lgslem1a1  26740  2sqlem3  26771  2sqlem7  26775  2sqlem8  26777  2sqblem  26782  2sqmod  26787  2sqreunnlem1  26800  dchrisum0re  26864  pntrlog2bndlem4  26931  pntpbnd1a  26936  ostth2lem2  26985  ostth2lem3  26986  ostth2  26988  crctcshwlkn0lem4  28761  wwlksubclwwlk  29005  nnmulge  31658  nndiffz1  31692  pfxlsw2ccat  31809  wrdt2ind  31810  submateqlem1  32391  nexple  32611  oddpwdc  32957  eulerpartlems  32963  eulerpartlemgc  32965  eulerpartlemb  32971  fsum2dsub  33223  breprexplemc  33248  circlemeth  33256  tgoldbachgtde  33276  usgrgt2cycl  33727  subfaclim  33785  cvmliftlem2  33883  cvmliftlem10  33891  snmlff  33926  dfgcd3  35798  poimirlem10  36091  poimirlem23  36104  poimirlem24  36105  itg2addnclem2  36133  rrnequiv  36297  bccl2d  40452  lcmineqlem18  40506  lcmineqlem19  40507  lcmineqlem20  40508  aks4d1p1p2  40530  aks4d1p1p7  40534  aks4d1p7d1  40542  2np3bcnp1  40555  sticksstones6  40562  sticksstones7  40563  sticksstones22  40579  metakunt2  40581  fltnlta  41004  irrapxlem2  41149  irrapxlem5  41152  pellexlem1  41155  pellexlem2  41156  pellexlem5  41159  pellexlem6  41160  pell14qrgt0  41185  pell1qrge1  41196  pellfundgt1  41209  rmspecnonsq  41233  rmspecfund  41235  rmspecpos  41243  rmxypos  41274  ltrmxnn0  41276  jm2.24  41290  acongeq  41310  jm2.22  41322  jm2.23  41323  jm2.27a  41332  jm2.27c  41334  nzprmdif  42606  bccbc  42632  binomcxplemnn0  42636  fsumnncl  43820  mccllem  43845  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182  dvnxpaek  44190  dvnmul  44191  dvnprodlem1  44194  stoweidlem24  44272  wallispilem4  44316  wallispilem5  44317  wallispi2lem1  44319  stirlinglem4  44325  stirlinglem5  44326  stirlinglem10  44331  stirlinglem15  44336  stirlingr  44338  fourierdlem48  44402  fourierdlem49  44403  fourierdlem92  44446  sqwvfoura  44476  elaa2lem  44481  etransclem19  44501  etransclem23  44505  etransclem27  44509  etransclem44  44526  rrndistlt  44538  oexpnegALTV  45876  perfectALTVlem2  45921  blennn  46668  dignn0ldlem  46695  dig2nn1st  46698  digexp  46700  dignn0flhalf  46711  itcovalt2lem2lem1  46766
  Copyright terms: Public domain W3C validator