Theorem nn0ge0d 12513

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12474	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  0cc0 11075   ≤ cle 11216  ℕ₀cn0 12449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13796  zmodfz  13862  modaddmodlo  13907  modsumfzodifsn  13916  addmodlteq  13918  expmulnbnd  14207  facwordi  14261  faclbnd  14262  faclbnd4lem3  14267  faclbnd6  14271  facavg  14273  hashdom  14351  climcnds  15824  geomulcvg  15849  mertenslem1  15857  eftabs  16048  efcllem  16050  efaddlem  16066  eftlub  16084  oexpneg  16322  divalg2  16382  bitsfzolem  16411  bitsmod  16413  sadcaddlem  16434  sadaddlem  16443  sadasslem  16447  sadeq  16449  smueqlem  16467  dfgcd2  16523  dvdssqlem  16543  nn0seqcvgd  16547  mulgcddvds  16632  isprm5  16684  zsqrtelqelz  16735  phibndlem  16747  dfphi2  16751  pythagtriplem3  16796  pythagtriplem10  16798  pythagtriplem6  16799  pythagtriplem7  16800  pythagtriplem12  16804  pythagtriplem14  16806  iserodd  16813  pcge0  16840  pcprmpw2  16860  pcmptdvds  16872  fldivp1  16875  pcbc  16878  qexpz  16879  pockthlem  16883  pockthg  16884  prmreclem3  16896  mul4sqlem  16931  4sqlem12  16934  4sqlem14  16936  4sqlem16  16938  0ram  16998  ram0  17000  ramcl  17007  prmolefac  17024  2expltfac  17070  odmodnn0  19477  pgpfi  19542  ablfac1c  20010  prmirred  21391  psrbaglesupp  21838  psrbagcon  21841  psrlidm  21878  psdmul  22060  coe1tmmul2  22169  lebnumii  24872  mbfi1fseqlem1  25623  mbfi1fseqlem3  25625  mbfi1fseqlem4  25626  mbfi1fseqlem5  25627  itg2cnlem2  25670  fta1g  26082  coemulhi  26166  dgradd2  26181  dgrco  26188  aareccl  26241  aaliou3lem8  26260  radcnvlem1  26329  dvradcnv  26337  dmlogdmgm  26941  wilthlem1  26985  sgmmul  27119  chtublem  27129  fsumvma2  27132  chpchtsum  27137  perfectlem2  27148  bcmono  27195  bposlem5  27206  lgsval2lem  27225  lgsval4a  27237  lgsqrlem2  27265  gausslemma2dlem0c  27276  gausslemma2dlem0d  27277  lgseisenlem1  27293  lgseisenlem2  27294  lgsquadlem1  27298  2lgslem1a1  27307  2sqlem3  27338  2sqlem7  27342  2sqlem8  27344  2sqblem  27349  2sqmod  27354  2sqreunnlem1  27367  dchrisum0re  27431  pntrlog2bndlem4  27498  pntpbnd1a  27503  ostth2lem2  27552  ostth2lem3  27553  ostth2  27555  crctcshwlkn0lem4  29750  wwlksubclwwlk  29994  nnmulge  32669  nndiffz1  32716  fzo0opth  32735  nexple  32776  pfxlsw2ccat  32879  wrdt2ind  32882  gsumwrd2dccatlem  33013  ply1unit  33551  constrdircl  33762  iconstr  33763  submateqlem1  33804  oddpwdc  34352  eulerpartlems  34358  eulerpartlemgc  34360  eulerpartlemb  34366  fsum2dsub  34605  breprexplemc  34630  circlemeth  34638  tgoldbachgtde  34658  usgrgt2cycl  35124  subfaclim  35182  cvmliftlem2  35280  cvmliftlem10  35288  snmlff  35323  dfgcd3  37319  poimirlem10  37631  poimirlem23  37644  poimirlem24  37645  itg2addnclem2  37673  rrnequiv  37836  bccl2d  41986  lcmineqlem18  42041  lcmineqlem19  42042  lcmineqlem20  42043  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p7d1  42077  posbezout  42095  aks6d1c1  42111  aks6d1c2lem4  42122  aks6d1c2  42125  deg1gprod  42135  2np3bcnp1  42139  sticksstones6  42146  sticksstones7  42147  sticksstones22  42163  aks6d1c6lem3  42167  aks6d1c6lem4  42168  bcled  42173  bcle2d  42174  aks6d1c7lem1  42175  aks6d1c7lem2  42176  unitscyglem4  42193  fltnlta  42658  irrapxlem2  42818  irrapxlem5  42821  pellexlem1  42824  pellexlem2  42825  pellexlem5  42828  pellexlem6  42829  pell14qrgt0  42854  pell1qrge1  42865  pellfundgt1  42878  rmspecnonsq  42902  rmspecfund  42904  rmspecpos  42912  rmxypos  42943  ltrmxnn0  42945  jm2.24  42959  acongeq  42979  jm2.22  42991  jm2.23  42992  jm2.27a  43001  jm2.27c  43003  nzprmdif  44315  bccbc  44341  binomcxplemnn0  44345  fsumnncl  45577  mccllem  45602  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  dvnxpaek  45947  dvnmul  45948  dvnprodlem1  45951  stoweidlem24  46029  wallispilem4  46073  wallispilem5  46074  wallispi2lem1  46076  stirlinglem4  46082  stirlinglem5  46083  stirlinglem10  46088  stirlinglem15  46093  stirlingr  46095  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem92  46203  sqwvfoura  46233  elaa2lem  46238  etransclem19  46258  etransclem23  46262  etransclem27  46266  etransclem44  46283  rrndistlt  46295  modlt0b  47368  oexpnegALTV  47682  perfectALTVlem2  47727  gpgedgvtx0  48056  gpgedgvtx1  48057  blennn  48568  dignn0ldlem  48595  dig2nn1st  48598  digexp  48600  dignn0flhalf  48611  itcovalt2lem2lem1  48666