Theorem nn0ge0d 11681

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 11645	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4873  0cc0 10252   ≤ cle 10392  ℕ₀cn0 11618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619

This theorem is referenced by:  flmulnn0  12923  zmodfz  12987  modaddmodlo  13029  modsumfzodifsn  13038  addmodlteq  13040  expmulnbnd  13290  facwordi  13369  faclbnd  13370  faclbnd4lem3  13375  faclbnd6  13379  facavg  13381  hashdom  13458  climcnds  14957  geomulcvg  14981  mertenslem1  14989  eftabs  15178  efcllem  15180  efaddlem  15195  eftlub  15211  oexpneg  15443  divalg2  15502  bitsfzolem  15529  bitsmod  15531  sadcaddlem  15552  sadaddlem  15561  sadasslem  15565  sadeq  15567  smueqlem  15585  dfgcd2  15636  gcdmultiple  15642  gcdmultiplez  15643  dvdssqlem  15652  nn0seqcvgd  15656  mulgcddvds  15741  isprm5  15790  zsqrtelqelz  15837  phibndlem  15846  dfphi2  15850  pythagtriplem3  15894  pythagtriplem10  15896  pythagtriplem6  15897  pythagtriplem7  15898  pythagtriplem12  15902  pythagtriplem14  15904  iserodd  15911  pcge0  15937  pcprmpw2  15957  pcmptdvds  15969  fldivp1  15972  pcbc  15975  qexpz  15976  pockthlem  15980  pockthg  15981  prmreclem3  15993  mul4sqlem  16028  4sqlem12  16031  4sqlem14  16033  4sqlem16  16035  0ram  16095  ram0  16097  ramcl  16104  prmolefac  16121  2expltfac  16165  odmodnn0  18310  pgpfi  18371  ablfac1c  18824  psrbaglesupp  19729  psrbagcon  19732  psrlidm  19764  coe1tmmul2  20006  prmirred  20203  lebnumii  23135  mbfi1fseqlem1  23881  mbfi1fseqlem3  23883  mbfi1fseqlem4  23884  mbfi1fseqlem5  23885  itg2cnlem2  23928  fta1g  24326  coemulhi  24409  dgradd2  24423  dgrco  24430  aareccl  24480  aaliou3lem8  24499  radcnvlem1  24566  dvradcnv  24574  leibpilem1  25080  dmlogdmgm  25163  wilthlem1  25207  sgmmul  25339  chtublem  25349  fsumvma2  25352  chpchtsum  25357  perfectlem2  25368  bcmono  25415  bposlem5  25426  lgsval2lem  25445  lgsval4a  25457  lgsqrlem2  25485  gausslemma2dlem0c  25496  gausslemma2dlem0d  25497  lgseisenlem1  25513  lgseisenlem2  25514  lgsquadlem1  25518  2lgslem1a1  25527  2sqlem3  25558  2sqlem7  25562  2sqlem8  25564  2sqblem  25569  dchrisum0re  25615  pntrlog2bndlem4  25682  pntpbnd1a  25687  ostth2lem2  25736  ostth2lem3  25737  ostth2  25739  crctcshwlkn0lem4  27112  wwlksubclwwlk  27403  wwlksubclwwlkOLD  27404  nnmulge  30051  nndiffz1  30084  2sqmod  30182  submateqlem1  30407  nexple  30605  oddpwdc  30950  eulerpartlems  30956  eulerpartlemgc  30958  eulerpartlemb  30964  fsum2dsub  31223  breprexplemc  31248  circlemeth  31256  tgoldbachgtde  31276  subfaclim  31705  cvmliftlem2  31803  cvmliftlem10  31811  snmlff  31846  dfgcd3  33709  poimirlem10  33956  poimirlem23  33969  poimirlem24  33970  itg2addnclem2  33998  rrnequiv  34169  irrapxlem2  38224  irrapxlem5  38227  pellexlem1  38230  pellexlem2  38231  pellexlem5  38234  pellexlem6  38235  pell14qrgt0  38260  pell1qrge1  38271  pellfundgt1  38284  rmspecnonsq  38308  rmspecfund  38310  rmspecpos  38317  rmxypos  38350  ltrmxnn0  38352  jm2.24  38366  acongeq  38386  jm2.22  38398  jm2.23  38399  jm2.27a  38408  jm2.27c  38410  nzprmdif  39351  bccbc  39377  binomcxplemnn0  39381  fsumnncl  40591  mccllem  40617  ioodvbdlimc1lem2  40935  ioodvbdlimc2lem  40937  dvnxpaek  40945  dvnmul  40946  dvnprodlem1  40949  stoweidlem24  41028  wallispilem4  41072  wallispilem5  41073  wallispi2lem1  41075  stirlinglem4  41081  stirlinglem5  41082  stirlinglem10  41087  stirlinglem15  41092  stirlingr  41094  fourierdlem48  41158  fourierdlem49  41159  fourierdlem92  41202  sqwvfoura  41232  elaa2lem  41237  etransclem19  41257  etransclem23  41261  etransclem27  41265  etransclem44  41282  rrndistlt  41294  oexpnegALTV  42411  perfectALTVlem2  42454  blennn  43209  dignn0ldlem  43236  dig2nn1st  43239  digexp  43241  dignn0flhalf  43252