MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ge0d 11946
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0ge0 11910 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114   class class class wbr 5042  0cc0 10526  cle 10665  0cn0 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886
This theorem is referenced by:  flmulnn0  13192  zmodfz  13256  modaddmodlo  13298  modsumfzodifsn  13307  addmodlteq  13309  expmulnbnd  13592  facwordi  13645  faclbnd  13646  faclbnd4lem3  13651  faclbnd6  13655  facavg  13657  hashdom  13736  climcnds  15197  geomulcvg  15223  mertenslem1  15231  eftabs  15420  efcllem  15422  efaddlem  15437  eftlub  15453  oexpneg  15685  divalg2  15745  bitsfzolem  15772  bitsmod  15774  sadcaddlem  15795  sadaddlem  15804  sadasslem  15808  sadeq  15810  smueqlem  15828  dfgcd2  15883  gcdmultipleOLD  15889  gcdmultiplezOLD  15890  dvdssqlem  15899  nn0seqcvgd  15903  mulgcddvds  15988  isprm5  16040  zsqrtelqelz  16087  phibndlem  16096  dfphi2  16100  pythagtriplem3  16144  pythagtriplem10  16146  pythagtriplem6  16147  pythagtriplem7  16148  pythagtriplem12  16152  pythagtriplem14  16154  iserodd  16161  pcge0  16187  pcprmpw2  16207  pcmptdvds  16219  fldivp1  16222  pcbc  16225  qexpz  16226  pockthlem  16230  pockthg  16231  prmreclem3  16243  mul4sqlem  16278  4sqlem12  16281  4sqlem14  16283  4sqlem16  16285  0ram  16345  ram0  16347  ramcl  16354  prmolefac  16371  2expltfac  16417  odmodnn0  18659  pgpfi  18721  ablfac1c  19184  prmirred  20186  psrbaglesupp  20604  psrbagcon  20607  psrlidm  20639  coe1tmmul2  20903  lebnumii  23569  mbfi1fseqlem1  24317  mbfi1fseqlem3  24319  mbfi1fseqlem4  24320  mbfi1fseqlem5  24321  itg2cnlem2  24364  fta1g  24766  coemulhi  24849  dgradd2  24863  dgrco  24870  aareccl  24920  aaliou3lem8  24939  radcnvlem1  25006  dvradcnv  25014  dmlogdmgm  25607  wilthlem1  25651  sgmmul  25783  chtublem  25793  fsumvma2  25796  chpchtsum  25801  perfectlem2  25812  bcmono  25859  bposlem5  25870  lgsval2lem  25889  lgsval4a  25901  lgsqrlem2  25929  gausslemma2dlem0c  25940  gausslemma2dlem0d  25941  lgseisenlem1  25957  lgseisenlem2  25958  lgsquadlem1  25962  2lgslem1a1  25971  2sqlem3  26002  2sqlem7  26006  2sqlem8  26008  2sqblem  26013  2sqmod  26018  2sqreunnlem1  26031  dchrisum0re  26095  pntrlog2bndlem4  26162  pntpbnd1a  26167  ostth2lem2  26216  ostth2lem3  26217  ostth2  26219  crctcshwlkn0lem4  27597  wwlksubclwwlk  27841  nnmulge  30484  nndiffz1  30519  pfxlsw2ccat  30636  wrdt2ind  30637  submateqlem1  31129  nexple  31342  oddpwdc  31686  eulerpartlems  31692  eulerpartlemgc  31694  eulerpartlemb  31700  fsum2dsub  31952  breprexplemc  31977  circlemeth  31985  tgoldbachgtde  32005  usgrgt2cycl  32451  subfaclim  32509  cvmliftlem2  32607  cvmliftlem10  32615  snmlff  32650  dfgcd3  34699  poimirlem10  35026  poimirlem23  35039  poimirlem24  35040  itg2addnclem2  35068  rrnequiv  35232  bccl2d  39241  lcmineqlem18  39296  lcmineqlem19  39297  lcmineqlem20  39298  3lexlogpow5ineq2  39304  2np3bcnp1  39308  metakunt2  39311  fltnlta  39550  irrapxlem2  39695  irrapxlem5  39698  pellexlem1  39701  pellexlem2  39702  pellexlem5  39705  pellexlem6  39706  pell14qrgt0  39731  pell1qrge1  39742  pellfundgt1  39755  rmspecnonsq  39779  rmspecfund  39781  rmspecpos  39788  rmxypos  39819  ltrmxnn0  39821  jm2.24  39835  acongeq  39855  jm2.22  39867  jm2.23  39868  jm2.27a  39877  jm2.27c  39879  nzprmdif  40958  bccbc  40984  binomcxplemnn0  40988  fsumnncl  42153  mccllem  42179  ioodvbdlimc1lem2  42514  ioodvbdlimc2lem  42516  dvnxpaek  42524  dvnmul  42525  dvnprodlem1  42528  stoweidlem24  42606  wallispilem4  42650  wallispilem5  42651  wallispi2lem1  42653  stirlinglem4  42659  stirlinglem5  42660  stirlinglem10  42665  stirlinglem15  42670  stirlingr  42672  fourierdlem48  42736  fourierdlem49  42737  fourierdlem92  42780  sqwvfoura  42810  elaa2lem  42815  etransclem19  42835  etransclem23  42839  etransclem27  42843  etransclem44  42860  rrndistlt  42872  oexpnegALTV  44135  perfectALTVlem2  44180  blennn  44929  dignn0ldlem  44956  dig2nn1st  44959  digexp  44961  dignn0flhalf  44972  itcovalt2lem2lem1  45027
  Copyright terms: Public domain W3C validator