Theorem nn0ge0d 12477

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13759  zmodfz  13825  modaddmodlo  13870  modsumfzodifsn  13879  addmodlteq  13881  expmulnbnd  14170  facwordi  14224  faclbnd  14225  faclbnd4lem3  14230  faclbnd6  14234  facavg  14236  hashdom  14314  climcnds  15786  geomulcvg  15811  mertenslem1  15819  eftabs  16010  efcllem  16012  efaddlem  16028  eftlub  16046  oexpneg  16284  divalg2  16344  bitsfzolem  16373  bitsmod  16375  sadcaddlem  16396  sadaddlem  16405  sadasslem  16409  sadeq  16411  smueqlem  16429  dfgcd2  16485  dvdssqlem  16505  nn0seqcvgd  16509  mulgcddvds  16594  isprm5  16646  zsqrtelqelz  16697  phibndlem  16709  dfphi2  16713  pythagtriplem3  16758  pythagtriplem10  16760  pythagtriplem6  16761  pythagtriplem7  16762  pythagtriplem12  16766  pythagtriplem14  16768  iserodd  16775  pcge0  16802  pcprmpw2  16822  pcmptdvds  16834  fldivp1  16837  pcbc  16840  qexpz  16841  pockthlem  16845  pockthg  16846  prmreclem3  16858  mul4sqlem  16893  4sqlem12  16896  4sqlem14  16898  4sqlem16  16900  0ram  16960  ram0  16962  ramcl  16969  prmolefac  16986  2expltfac  17032  odmodnn0  19481  pgpfi  19546  ablfac1c  20014  prmirred  21441  psrbaglesupp  21890  psrbagcon  21893  psrlidm  21929  psdmul  22121  coe1tmmul2  22230  lebnumii  24933  mbfi1fseqlem1  25684  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem4  25687  mbfi1fseqlem5  25688  itg2cnlem2  25731  fta1g  26143  coemulhi  26227  dgradd2  26242  dgrco  26249  aareccl  26302  aaliou3lem8  26321  radcnvlem1  26390  dvradcnv  26398  dmlogdmgm  27002  wilthlem1  27046  sgmmul  27180  chtublem  27190  fsumvma2  27193  chpchtsum  27198  perfectlem2  27209  bcmono  27256  bposlem5  27267  lgsval2lem  27286  lgsval4a  27298  lgsqrlem2  27326  gausslemma2dlem0c  27337  gausslemma2dlem0d  27338  lgseisenlem1  27354  lgseisenlem2  27355  lgsquadlem1  27359  2lgslem1a1  27368  2sqlem3  27399  2sqlem7  27403  2sqlem8  27405  2sqblem  27410  2sqmod  27415  2sqreunnlem1  27428  dchrisum0re  27492  pntrlog2bndlem4  27559  pntpbnd1a  27564  ostth2lem2  27613  ostth2lem3  27614  ostth2  27616  crctcshwlkn0lem4  29898  wwlksubclwwlk  30145  nnmulge  32829  nndiffz1  32877  fzo0opth  32894  nexple  32936  pfxlsw2ccat  33043  wrdt2ind  33046  gsumwrd2dccatlem  33171  ply1unit  33668  mplmulmvr  33716  esplyind  33752  constrdircl  33943  iconstr  33944  submateqlem1  33985  oddpwdc  34532  eulerpartlems  34538  eulerpartlemgc  34540  eulerpartlemb  34546  fsum2dsub  34785  breprexplemc  34810  circlemeth  34818  tgoldbachgtde  34838  usgrgt2cycl  35346  subfaclim  35404  cvmliftlem2  35502  cvmliftlem10  35510  snmlff  35545  dfgcd3  37579  poimirlem10  37881  poimirlem23  37894  poimirlem24  37895  itg2addnclem2  37923  rrnequiv  38086  bccl2d  42361  lcmineqlem18  42416  lcmineqlem19  42417  lcmineqlem20  42418  aks4d1p1p2  42440  aks4d1p1p7  42444  aks4d1p7d1  42452  posbezout  42470  aks6d1c1  42486  aks6d1c2lem4  42497  aks6d1c2  42500  deg1gprod  42510  2np3bcnp1  42514  sticksstones6  42521  sticksstones7  42522  sticksstones22  42538  aks6d1c6lem3  42542  aks6d1c6lem4  42543  bcled  42548  bcle2d  42549  aks6d1c7lem1  42550  aks6d1c7lem2  42551  unitscyglem4  42568  fltnlta  43021  irrapxlem2  43180  irrapxlem5  43183  pellexlem1  43186  pellexlem2  43187  pellexlem5  43190  pellexlem6  43191  pell14qrgt0  43216  pell1qrge1  43227  pellfundgt1  43240  rmspecnonsq  43264  rmspecfund  43266  rmspecpos  43273  rmxypos  43304  ltrmxnn0  43306  jm2.24  43320  acongeq  43340  jm2.22  43352  jm2.23  43353  jm2.27a  43362  jm2.27c  43364  nzprmdif  44675  bccbc  44701  binomcxplemnn0  44705  fsumnncl  45932  mccllem  45957  ioodvbdlimc1lem2  46290  ioodvbdlimc2lem  46292  dvnxpaek  46300  dvnmul  46301  dvnprodlem1  46304  stoweidlem24  46382  wallispilem4  46426  wallispilem5  46427  wallispi2lem1  46429  stirlinglem4  46435  stirlinglem5  46436  stirlinglem10  46441  stirlinglem15  46446  stirlingr  46448  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fourierdlem92  46556  sqwvfoura  46586  elaa2lem  46591  etransclem19  46611  etransclem23  46615  etransclem27  46619  etransclem44  46636  rrndistlt  46648  chnsubseqwl  47237  modlt0b  47723  oexpnegALTV  48037  perfectALTVlem2  48082  gpgedgvtx0  48421  gpgedgvtx1  48422  blennn  48935  dignn0ldlem  48962  dig2nn1st  48965  digexp  48967  dignn0flhalf  48978  itcovalt2lem2lem1  49033