Theorem nn0ge0d 12482

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12443	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  0cc0 11044   ≤ cle 11185  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13765  zmodfz  13831  modaddmodlo  13876  modsumfzodifsn  13885  addmodlteq  13887  expmulnbnd  14176  facwordi  14230  faclbnd  14231  faclbnd4lem3  14236  faclbnd6  14240  facavg  14242  hashdom  14320  climcnds  15793  geomulcvg  15818  mertenslem1  15826  eftabs  16017  efcllem  16019  efaddlem  16035  eftlub  16053  oexpneg  16291  divalg2  16351  bitsfzolem  16380  bitsmod  16382  sadcaddlem  16403  sadaddlem  16412  sadasslem  16416  sadeq  16418  smueqlem  16436  dfgcd2  16492  dvdssqlem  16512  nn0seqcvgd  16516  mulgcddvds  16601  isprm5  16653  zsqrtelqelz  16704  phibndlem  16716  dfphi2  16720  pythagtriplem3  16765  pythagtriplem10  16767  pythagtriplem6  16768  pythagtriplem7  16769  pythagtriplem12  16773  pythagtriplem14  16775  iserodd  16782  pcge0  16809  pcprmpw2  16829  pcmptdvds  16841  fldivp1  16844  pcbc  16847  qexpz  16848  pockthlem  16852  pockthg  16853  prmreclem3  16865  mul4sqlem  16900  4sqlem12  16903  4sqlem14  16905  4sqlem16  16907  0ram  16967  ram0  16969  ramcl  16976  prmolefac  16993  2expltfac  17039  odmodnn0  19446  pgpfi  19511  ablfac1c  19979  prmirred  21360  psrbaglesupp  21807  psrbagcon  21810  psrlidm  21847  psdmul  22029  coe1tmmul2  22138  lebnumii  24841  mbfi1fseqlem1  25592  mbfi1fseqlem3  25594  mbfi1fseqlem4  25595  mbfi1fseqlem5  25596  itg2cnlem2  25639  fta1g  26051  coemulhi  26135  dgradd2  26150  dgrco  26157  aareccl  26210  aaliou3lem8  26229  radcnvlem1  26298  dvradcnv  26306  dmlogdmgm  26910  wilthlem1  26954  sgmmul  27088  chtublem  27098  fsumvma2  27101  chpchtsum  27106  perfectlem2  27117  bcmono  27164  bposlem5  27175  lgsval2lem  27194  lgsval4a  27206  lgsqrlem2  27234  gausslemma2dlem0c  27245  gausslemma2dlem0d  27246  lgseisenlem1  27262  lgseisenlem2  27263  lgsquadlem1  27267  2lgslem1a1  27276  2sqlem3  27307  2sqlem7  27311  2sqlem8  27313  2sqblem  27318  2sqmod  27323  2sqreunnlem1  27336  dchrisum0re  27400  pntrlog2bndlem4  27467  pntpbnd1a  27472  ostth2lem2  27521  ostth2lem3  27522  ostth2  27524  crctcshwlkn0lem4  29716  wwlksubclwwlk  29960  nnmulge  32635  nndiffz1  32682  fzo0opth  32701  nexple  32742  pfxlsw2ccat  32845  wrdt2ind  32848  gsumwrd2dccatlem  32979  ply1unit  33517  constrdircl  33728  iconstr  33729  submateqlem1  33770  oddpwdc  34318  eulerpartlems  34324  eulerpartlemgc  34326  eulerpartlemb  34332  fsum2dsub  34571  breprexplemc  34596  circlemeth  34604  tgoldbachgtde  34624  usgrgt2cycl  35090  subfaclim  35148  cvmliftlem2  35246  cvmliftlem10  35254  snmlff  35289  dfgcd3  37285  poimirlem10  37597  poimirlem23  37610  poimirlem24  37611  itg2addnclem2  37639  rrnequiv  37802  bccl2d  41952  lcmineqlem18  42007  lcmineqlem19  42008  lcmineqlem20  42009  aks4d1p1p2  42031  aks4d1p1p7  42035  aks4d1p7d1  42043  posbezout  42061  aks6d1c1  42077  aks6d1c2lem4  42088  aks6d1c2  42091  deg1gprod  42101  2np3bcnp1  42105  sticksstones6  42112  sticksstones7  42113  sticksstones22  42129  aks6d1c6lem3  42133  aks6d1c6lem4  42134  bcled  42139  bcle2d  42140  aks6d1c7lem1  42141  aks6d1c7lem2  42142  unitscyglem4  42159  fltnlta  42624  irrapxlem2  42784  irrapxlem5  42787  pellexlem1  42790  pellexlem2  42791  pellexlem5  42794  pellexlem6  42795  pell14qrgt0  42820  pell1qrge1  42831  pellfundgt1  42844  rmspecnonsq  42868  rmspecfund  42870  rmspecpos  42878  rmxypos  42909  ltrmxnn0  42911  jm2.24  42925  acongeq  42945  jm2.22  42957  jm2.23  42958  jm2.27a  42967  jm2.27c  42969  nzprmdif  44281  bccbc  44307  binomcxplemnn0  44311  fsumnncl  45543  mccllem  45568  ioodvbdlimc1lem2  45903  ioodvbdlimc2lem  45905  dvnxpaek  45913  dvnmul  45914  dvnprodlem1  45917  stoweidlem24  45995  wallispilem4  46039  wallispilem5  46040  wallispi2lem1  46042  stirlinglem4  46048  stirlinglem5  46049  stirlinglem10  46054  stirlinglem15  46059  stirlingr  46061  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem92  46169  sqwvfoura  46199  elaa2lem  46204  etransclem19  46224  etransclem23  46228  etransclem27  46232  etransclem44  46249  rrndistlt  46261  modlt0b  47337  oexpnegALTV  47651  perfectALTVlem2  47696  gpgedgvtx0  48025  gpgedgvtx1  48026  blennn  48537  dignn0ldlem  48564  dig2nn1st  48567  digexp  48569  dignn0flhalf  48580  itcovalt2lem2lem1  48635