Theorem nn0ge0d 12616

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12578	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  0cc0 11184   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13878  zmodfz  13944  modaddmodlo  13986  modsumfzodifsn  13995  addmodlteq  13997  expmulnbnd  14284  facwordi  14338  faclbnd  14339  faclbnd4lem3  14344  faclbnd6  14348  facavg  14350  hashdom  14428  climcnds  15899  geomulcvg  15924  mertenslem1  15932  eftabs  16123  efcllem  16125  efaddlem  16141  eftlub  16157  oexpneg  16393  divalg2  16453  bitsfzolem  16480  bitsmod  16482  sadcaddlem  16503  sadaddlem  16512  sadasslem  16516  sadeq  16518  smueqlem  16536  dfgcd2  16593  dvdssqlem  16613  nn0seqcvgd  16617  mulgcddvds  16702  isprm5  16754  zsqrtelqelz  16805  phibndlem  16817  dfphi2  16821  pythagtriplem3  16865  pythagtriplem10  16867  pythagtriplem6  16868  pythagtriplem7  16869  pythagtriplem12  16873  pythagtriplem14  16875  iserodd  16882  pcge0  16909  pcprmpw2  16929  pcmptdvds  16941  fldivp1  16944  pcbc  16947  qexpz  16948  pockthlem  16952  pockthg  16953  prmreclem3  16965  mul4sqlem  17000  4sqlem12  17003  4sqlem14  17005  4sqlem16  17007  0ram  17067  ram0  17069  ramcl  17076  prmolefac  17093  2expltfac  17140  odmodnn0  19582  pgpfi  19647  ablfac1c  20115  prmirred  21508  psrbaglesupp  21965  psrbagcon  21968  psrlidm  22005  psdmul  22193  coe1tmmul2  22300  lebnumii  25017  mbfi1fseqlem1  25770  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  itg2cnlem2  25817  fta1g  26229  coemulhi  26313  dgradd2  26328  dgrco  26335  aareccl  26386  aaliou3lem8  26405  radcnvlem1  26474  dvradcnv  26482  dmlogdmgm  27085  wilthlem1  27129  sgmmul  27263  chtublem  27273  fsumvma2  27276  chpchtsum  27281  perfectlem2  27292  bcmono  27339  bposlem5  27350  lgsval2lem  27369  lgsval4a  27381  lgsqrlem2  27409  gausslemma2dlem0c  27420  gausslemma2dlem0d  27421  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem2  27438  lgsquadlem1  27442  2lgslem1a1  27451  2sqlem3  27482  2sqlem7  27486  2sqlem8  27488  2sqblem  27493  2sqmod  27498  2sqreunnlem1  27511  dchrisum0re  27575  pntrlog2bndlem4  27642  pntpbnd1a  27647  ostth2lem2  27696  ostth2lem3  27697  ostth2  27699  crctcshwlkn0lem4  29846  wwlksubclwwlk  30090  nnmulge  32752  nndiffz1  32791  fzo0opth  32810  pfxlsw2ccat  32917  wrdt2ind  32920  ply1unit  33565  submateqlem1  33753  nexple  33973  oddpwdc  34319  eulerpartlems  34325  eulerpartlemgc  34327  eulerpartlemb  34333  fsum2dsub  34584  breprexplemc  34609  circlemeth  34617  tgoldbachgtde  34637  usgrgt2cycl  35098  subfaclim  35156  cvmliftlem2  35254  cvmliftlem10  35262  snmlff  35297  dfgcd3  37290  poimirlem10  37590  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  itg2addnclem2  37632  rrnequiv  37795  bccl2d  41948  lcmineqlem18  42003  lcmineqlem19  42004  lcmineqlem20  42005  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p7d1  42039  posbezout  42057  aks6d1c1  42073  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c2  42087  deg1gprod  42097  2np3bcnp1  42101  sticksstones6  42108  sticksstones7  42109  sticksstones22  42125  aks6d1c6lem3  42129  aks6d1c6lem4  42130  bcled  42135  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  aks6d1c7lem2  42138  unitscyglem4  42155  metakunt2  42163  fltnlta  42618  irrapxlem2  42779  irrapxlem5  42782  pellexlem1  42785  pellexlem2  42786  pellexlem5  42789  pellexlem6  42790  pell14qrgt0  42815  pell1qrge1  42826  pellfundgt1  42839  rmspecnonsq  42863  rmspecfund  42865  rmspecpos  42873  rmxypos  42904  ltrmxnn0  42906  jm2.24  42920  acongeq  42940  jm2.22  42952  jm2.23  42953  jm2.27a  42962  jm2.27c  42964  nzprmdif  44288  bccbc  44314  binomcxplemnn0  44318  fsumnncl  45493  mccllem  45518  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  dvnxpaek  45863  dvnmul  45864  dvnprodlem1  45867  stoweidlem24  45945  wallispilem4  45989  wallispilem5  45990  wallispi2lem1  45992  stirlinglem4  45998  stirlinglem5  45999  stirlinglem10  46004  stirlinglem15  46009  stirlingr  46011  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem92  46119  sqwvfoura  46149  elaa2lem  46154  etransclem19  46174  etransclem23  46178  etransclem27  46182  etransclem44  46199  rrndistlt  46211  oexpnegALTV  47551  perfectALTVlem2  47596  blennn  48309  dignn0ldlem  48336  dig2nn1st  48339  digexp  48341  dignn0flhalf  48352  itcovalt2lem2lem1  48407