Theorem nn0ge0d 12531

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12493	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  0cc0 11106   ≤ cle 11245  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13788  zmodfz  13854  modaddmodlo  13896  modsumfzodifsn  13905  addmodlteq  13907  expmulnbnd  14194  facwordi  14245  faclbnd  14246  faclbnd4lem3  14251  faclbnd6  14255  facavg  14257  hashdom  14335  climcnds  15793  geomulcvg  15818  mertenslem1  15826  eftabs  16015  efcllem  16017  efaddlem  16032  eftlub  16048  oexpneg  16284  divalg2  16344  bitsfzolem  16371  bitsmod  16373  sadcaddlem  16394  sadaddlem  16403  sadasslem  16407  sadeq  16409  smueqlem  16427  dfgcd2  16484  dvdssqlem  16499  nn0seqcvgd  16503  mulgcddvds  16588  isprm5  16640  zsqrtelqelz  16690  phibndlem  16699  dfphi2  16703  pythagtriplem3  16747  pythagtriplem10  16749  pythagtriplem6  16750  pythagtriplem7  16751  pythagtriplem12  16755  pythagtriplem14  16757  iserodd  16764  pcge0  16791  pcprmpw2  16811  pcmptdvds  16823  fldivp1  16826  pcbc  16829  qexpz  16830  pockthlem  16834  pockthg  16835  prmreclem3  16847  mul4sqlem  16882  4sqlem12  16885  4sqlem14  16887  4sqlem16  16889  0ram  16949  ram0  16951  ramcl  16958  prmolefac  16975  2expltfac  17022  odmodnn0  19402  pgpfi  19467  ablfac1c  19935  prmirred  21035  psrbaglesupp  21468  psrbaglesuppOLD  21469  psrbagcon  21474  psrbagconOLD  21475  psrlidm  21514  coe1tmmul2  21789  lebnumii  24473  mbfi1fseqlem1  25224  mbfi1fseqlem3  25226  mbfi1fseqlem4  25227  mbfi1fseqlem5  25228  itg2cnlem2  25271  fta1g  25676  coemulhi  25759  dgradd2  25773  dgrco  25780  aareccl  25830  aaliou3lem8  25849  radcnvlem1  25916  dvradcnv  25924  dmlogdmgm  26517  wilthlem1  26561  sgmmul  26693  chtublem  26703  fsumvma2  26706  chpchtsum  26711  perfectlem2  26722  bcmono  26769  bposlem5  26780  lgsval2lem  26799  lgsval4a  26811  lgsqrlem2  26839  gausslemma2dlem0c  26850  gausslemma2dlem0d  26851  lgseisenlem1  26867  lgseisenlem2  26868  lgsquadlem1  26872  2lgslem1a1  26881  2sqlem3  26912  2sqlem7  26916  2sqlem8  26918  2sqblem  26923  2sqmod  26928  2sqreunnlem1  26941  dchrisum0re  27005  pntrlog2bndlem4  27072  pntpbnd1a  27077  ostth2lem2  27126  ostth2lem3  27127  ostth2  27129  crctcshwlkn0lem4  29056  wwlksubclwwlk  29300  nnmulge  31950  nndiffz1  31984  pfxlsw2ccat  32103  wrdt2ind  32104  submateqlem1  32775  nexple  32995  oddpwdc  33341  eulerpartlems  33347  eulerpartlemgc  33349  eulerpartlemb  33355  fsum2dsub  33607  breprexplemc  33632  circlemeth  33640  tgoldbachgtde  33660  usgrgt2cycl  34109  subfaclim  34167  cvmliftlem2  34265  cvmliftlem10  34273  snmlff  34308  dfgcd3  36193  poimirlem10  36486  poimirlem23  36499  poimirlem24  36500  itg2addnclem2  36528  rrnequiv  36691  bccl2d  40845  lcmineqlem18  40899  lcmineqlem19  40900  lcmineqlem20  40901  aks4d1p1p2  40923  aks4d1p1p7  40927  aks4d1p7d1  40935  2np3bcnp1  40948  sticksstones6  40955  sticksstones7  40956  sticksstones22  40972  metakunt2  40974  fltnlta  41401  irrapxlem2  41546  irrapxlem5  41549  pellexlem1  41552  pellexlem2  41553  pellexlem5  41556  pellexlem6  41557  pell14qrgt0  41582  pell1qrge1  41593  pellfundgt1  41606  rmspecnonsq  41630  rmspecfund  41632  rmspecpos  41640  rmxypos  41671  ltrmxnn0  41673  jm2.24  41687  acongeq  41707  jm2.22  41719  jm2.23  41720  jm2.27a  41729  jm2.27c  41731  nzprmdif  43063  bccbc  43089  binomcxplemnn0  43093  fsumnncl  44274  mccllem  44299  ioodvbdlimc1lem2  44634  ioodvbdlimc2lem  44636  dvnxpaek  44644  dvnmul  44645  dvnprodlem1  44648  stoweidlem24  44726  wallispilem4  44770  wallispilem5  44771  wallispi2lem1  44773  stirlinglem4  44779  stirlinglem5  44780  stirlinglem10  44785  stirlinglem15  44790  stirlingr  44792  fourierdlem48  44856  fourierdlem49  44857  fourierdlem92  44900  sqwvfoura  44930  elaa2lem  44935  etransclem19  44955  etransclem23  44959  etransclem27  44963  etransclem44  44980  rrndistlt  44992  oexpnegALTV  46331  perfectALTVlem2  46376  blennn  47214  dignn0ldlem  47241  dig2nn1st  47244  digexp  47246  dignn0flhalf  47257  itcovalt2lem2lem1  47312