Theorem nn0ge0d 11946

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 11910	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  0cc0 10526   ≤ cle 10665  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13192  zmodfz  13256  modaddmodlo  13298  modsumfzodifsn  13307  addmodlteq  13309  expmulnbnd  13592  facwordi  13645  faclbnd  13646  faclbnd4lem3  13651  faclbnd6  13655  facavg  13657  hashdom  13736  climcnds  15198  geomulcvg  15224  mertenslem1  15232  eftabs  15421  efcllem  15423  efaddlem  15438  eftlub  15454  oexpneg  15686  divalg2  15746  bitsfzolem  15773  bitsmod  15775  sadcaddlem  15796  sadaddlem  15805  sadasslem  15809  sadeq  15811  smueqlem  15829  dfgcd2  15884  gcdmultipleOLD  15890  gcdmultiplezOLD  15891  dvdssqlem  15900  nn0seqcvgd  15904  mulgcddvds  15989  isprm5  16041  zsqrtelqelz  16088  phibndlem  16097  dfphi2  16101  pythagtriplem3  16145  pythagtriplem10  16147  pythagtriplem6  16148  pythagtriplem7  16149  pythagtriplem12  16153  pythagtriplem14  16155  iserodd  16162  pcge0  16188  pcprmpw2  16208  pcmptdvds  16220  fldivp1  16223  pcbc  16226  qexpz  16227  pockthlem  16231  pockthg  16232  prmreclem3  16244  mul4sqlem  16279  4sqlem12  16282  4sqlem14  16284  4sqlem16  16286  0ram  16346  ram0  16348  ramcl  16355  prmolefac  16372  2expltfac  16418  odmodnn0  18660  pgpfi  18722  ablfac1c  19186  prmirred  20188  psrbaglesupp  20606  psrbagcon  20609  psrlidm  20641  coe1tmmul2  20905  lebnumii  23571  mbfi1fseqlem1  24319  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  mbfi1fseqlem5  24323  itg2cnlem2  24366  fta1g  24768  coemulhi  24851  dgradd2  24865  dgrco  24872  aareccl  24922  aaliou3lem8  24941  radcnvlem1  25008  dvradcnv  25016  dmlogdmgm  25609  wilthlem1  25653  sgmmul  25785  chtublem  25795  fsumvma2  25798  chpchtsum  25803  perfectlem2  25814  bcmono  25861  bposlem5  25872  lgsval2lem  25891  lgsval4a  25903  lgsqrlem2  25931  gausslemma2dlem0c  25942  gausslemma2dlem0d  25943  lgseisenlem1  25959  lgseisenlem2  25960  lgsquadlem1  25964  2lgslem1a1  25973  2sqlem3  26004  2sqlem7  26008  2sqlem8  26010  2sqblem  26015  2sqmod  26020  2sqreunnlem1  26033  dchrisum0re  26097  pntrlog2bndlem4  26164  pntpbnd1a  26169  ostth2lem2  26218  ostth2lem3  26219  ostth2  26221  crctcshwlkn0lem4  27599  wwlksubclwwlk  27843  nnmulge  30500  nndiffz1  30535  pfxlsw2ccat  30652  wrdt2ind  30653  submateqlem1  31160  nexple  31378  oddpwdc  31722  eulerpartlems  31728  eulerpartlemgc  31730  eulerpartlemb  31736  fsum2dsub  31988  breprexplemc  32013  circlemeth  32021  tgoldbachgtde  32041  usgrgt2cycl  32490  subfaclim  32548  cvmliftlem2  32646  cvmliftlem10  32654  snmlff  32689  dfgcd3  34738  poimirlem10  35067  poimirlem23  35080  poimirlem24  35081  itg2addnclem2  35109  rrnequiv  35273  bccl2d  39279  lcmineqlem18  39334  lcmineqlem19  39335  lcmineqlem20  39336  3lexlogpow5ineq2  39342  2np3bcnp1  39348  metakunt2  39351  fltnlta  39619  irrapxlem2  39764  irrapxlem5  39767  pellexlem1  39770  pellexlem2  39771  pellexlem5  39774  pellexlem6  39775  pell14qrgt0  39800  pell1qrge1  39811  pellfundgt1  39824  rmspecnonsq  39848  rmspecfund  39850  rmspecpos  39857  rmxypos  39888  ltrmxnn0  39890  jm2.24  39904  acongeq  39924  jm2.22  39936  jm2.23  39937  jm2.27a  39946  jm2.27c  39948  nzprmdif  41023  bccbc  41049  binomcxplemnn0  41053  fsumnncl  42213  mccllem  42239  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnxpaek  42584  dvnmul  42585  dvnprodlem1  42588  stoweidlem24  42666  wallispilem4  42710  wallispilem5  42711  wallispi2lem1  42713  stirlinglem4  42719  stirlinglem5  42720  stirlinglem10  42725  stirlinglem15  42730  stirlingr  42732  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem92  42840  sqwvfoura  42870  elaa2lem  42875  etransclem19  42895  etransclem23  42899  etransclem27  42903  etransclem44  42920  rrndistlt  42932  oexpnegALTV  44195  perfectALTVlem2  44240  blennn  44989  dignn0ldlem  45016  dig2nn1st  45019  digexp  45021  dignn0flhalf  45032  itcovalt2lem2lem1  45087