Theorem nn0ge0d 12663

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12624	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  0cc0 11193   ≤ cle 11337  ℕ₀cn0 12599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600

This theorem is used by:  flmulnn0  13960  zmodfz  14026  modaddmodlo  14071  modsumfzodifsn  14080  addmodlteq  14082  expmulnbnd  14372  facwordi  14426  faclbnd  14427  faclbnd4lem3  14432  faclbnd6  14436  facavg  14438  hashdom  14516  climcnds  16013  geomulcvg  16038  mertenslem1  16046  eftabs  16234  efcllem  16236  efaddlem  16252  eftlub  16270  oexpneg  16508  divalg2  16568  bitsfzolem  16597  bitsmod  16599  sadcaddlem  16620  sadaddlem  16629  sadasslem  16633  sadeq  16635  smueqlem  16653  dfgcd2  16712  nn0seqcvgd  16738  mulgcddvds  16823  isprm5  16876  zsqrtelqelz  16927  phibndlem  16940  dfphi2  16944  pythagtriplem3  16989  pythagtriplem10  16991  pythagtriplem6  16992  pythagtriplem7  16993  pythagtriplem12  16997  pythagtriplem14  16999  iserodd  17006  pcge0  17033  pcprmpw2  17053  pcmptdvds  17065  fldivp1  17068  pcbc  17071  qexpz  17072  pockthlem  17076  pockthg  17077  prmreclem3  17089  mul4sqlem  17124  4sqlem12  17127  4sqlem14  17129  4sqlem16  17131  0ram  17191  ram0  17193  ramcl  17200  prmolefac  17217  2expltfac  17263  odmodnn0  19747  pgpfi  19812  ablfac1c  20280  prmirred  21773  psrbaglesupp  22223  psrbagcon  22226  psrlidm  22262  psdmul  22480  coe1tmmul2  22588  lebnumii  25280  mbfi1fseqlem1  26029  mbfi1fseqlem3  26031  mbfi1fseqlem4  26032  mbfi1fseqlem5  26033  itg2cnlem2  26076  fta1g  26481  coemulhi  26566  dgradd2  26580  dgrco  26587  aareccl  26646  aaliou3lem8  26665  radcnvlem1  26733  dvradcnv  26741  dmlogdmgm  27344  wilthlem1  27388  sgmmul  27521  chtublem  27531  fsumvma2  27534  chpchtsum  27539  perfectlem2  27550  bcmono  27597  bposlem5  27608  lgsval2lem  27627  lgsval4a  27639  lgsqrlem2  27667  gausslemma2dlem0c  27678  gausslemma2dlem0d  27679  lgseisenlem1  27695  lgseisenlem2  27696  lgsquadlem1  27700  2lgslem1a1  27709  2sqlem3  27740  2sqlem7  27744  2sqlem8  27746  2sqblem  27751  2sqmod  27756  2sqreunnlem1  27769  dchrisum0re  27833  pntrlog2bndlem4  27900  pntpbnd1a  27905  ostth2lem2  27954  ostth2lem3  27955  ostth2  27957  crctcshwlkn0lem4  30395  wwlksubclwwlk  30642  nnmulge  33324  nndiffz1  33371  fzo0opth  33388  nexple  33417  pfxlsw2ccat  33506  wrdt2ind  33509  gsumwrd2dccatlem  33631  ply1unit  34100  selvply1rhmlemb  34144  mplmulmvr  34164  esplyind  34200  constrdircl  34390  iconstr  34391  submateqlem1  34432  oddpwdc  34979  eulerpartlems  34985  eulerpartlemgc  34987  eulerpartlemb  34993  fsum2dsub  35229  breprexplemc  35254  circlemeth  35262  tgoldbachgtde  35282  usgrgt2cycl  35888  subfaclim  35932  cvmliftlem2  36030  cvmliftlem10  36038  snmlff  36073  dfgcd3  38225  poimirlem10  38528  poimirlem23  38541  poimirlem24  38542  itg2addnclem2  38570  rrnequiv  38749  bccl2d  43021  lcmineqlem18  43076  lcmineqlem19  43077  lcmineqlem20  43078  aks4d1p1p2  43100  aks4d1p1p7  43104  aks4d1p7d1  43112  posbezout  43130  aks6d1c1  43146  aks6d1c2lem4  43157  aks6d1c2  43160  deg1gprod  43170  2np3bcnp1  43174  sticksstones6  43181  sticksstones7  43182  sticksstones22  43198  aks6d1c6lem3  43202  aks6d1c6lem4  43203  bcled  43208  bcle2d  43209  aks6d1c7lem1  43210  aks6d1c7lem2  43211  unitscyglem4  43228  fltnlta  43654  irrapxlem2  43809  irrapxlem5  43812  pellexlem1  43815  pellexlem2  43816  pellexlem5  43819  pellexlem6  43820  pell14qrgt0  43845  pell1qrge1  43856  pellfundgt1  43869  rmspecnonsq  43893  rmspecfund  43895  rmspecpos  43902  rmxypos  43933  ltrmxnn0  43935  jm2.24  43949  acongeq  43969  jm2.22  43981  jm2.23  43982  jm2.27a  43991  jm2.27c  43993  nzprmdif  45288  bccbc  45314  binomcxplemnn0  45318  fsumnncl  46553  mccllem  46578  ioodvbdlimc1lem2  46911  ioodvbdlimc2lem  46913  dvnxpaek  46921  dvnmul  46922  dvnprodlem1  46925  stoweidlem24  47003  wallispilem4  47047  wallispilem5  47048  wallispi2lem1  47050  stirlinglem4  47056  stirlinglem5  47057  stirlinglem10  47062  stirlinglem15  47067  stirlingr  47069  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem92  47177  sqwvfoura  47207  elaa2lem  47212  etransclem19  47232  etransclem23  47236  etransclem27  47240  etransclem44  47257  rrndistlt  47269  chnsubseqwl  47858  modlt0b  48408  oexpnegALTV  48744  perfectALTVlem2  48789  gpgedgvtx0  49128  gpgedgvtx1  49129  blennn  49656  dignn0ldlem  49683  dig2nn1st  49686  digexp  49688  dignn0flhalf  49699  itcovalt2lem2lem1  49754