Theorem nn0ge0d 12592

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12553	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  0cc0 11124   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529

This theorem is used by:  flmulnn0  13888  zmodfz  13954  modaddmodlo  13999  modsumfzodifsn  14008  addmodlteq  14010  expmulnbnd  14299  facwordi  14353  faclbnd  14354  faclbnd4lem3  14359  faclbnd6  14363  facavg  14365  hashdom  14443  climcnds  15940  geomulcvg  15965  mertenslem1  15973  eftabs  16161  efcllem  16163  efaddlem  16179  eftlub  16197  oexpneg  16435  divalg2  16495  bitsfzolem  16524  bitsmod  16526  sadcaddlem  16547  sadaddlem  16556  sadasslem  16560  sadeq  16562  smueqlem  16580  dfgcd2  16636  dvdssqlem  16656  nn0seqcvgd  16660  mulgcddvds  16745  isprm5  16798  zsqrtelqelz  16849  phibndlem  16861  dfphi2  16865  pythagtriplem3  16910  pythagtriplem10  16912  pythagtriplem6  16913  pythagtriplem7  16914  pythagtriplem12  16918  pythagtriplem14  16920  iserodd  16927  pcge0  16954  pcprmpw2  16974  pcmptdvds  16986  fldivp1  16989  pcbc  16992  qexpz  16993  pockthlem  16997  pockthg  16998  prmreclem3  17010  mul4sqlem  17045  4sqlem12  17048  4sqlem14  17050  4sqlem16  17052  0ram  17112  ram0  17114  ramcl  17121  prmolefac  17138  2expltfac  17184  odmodnn0  19667  pgpfi  19732  ablfac1c  20200  prmirred  21687  psrbaglesupp  22137  psrbagcon  22140  psrlidm  22176  psdmul  22394  coe1tmmul2  22502  lebnumii  25194  mbfi1fseqlem1  25943  mbfi1fseqlem3  25945  mbfi1fseqlem4  25946  mbfi1fseqlem5  25947  itg2cnlem2  25990  fta1g  26395  coemulhi  26480  dgradd2  26494  dgrco  26501  aareccl  26562  aaliou3lem8  26581  radcnvlem1  26649  dvradcnv  26657  dmlogdmgm  27260  wilthlem1  27304  sgmmul  27437  chtublem  27447  fsumvma2  27450  chpchtsum  27455  perfectlem2  27466  bcmono  27513  bposlem5  27524  lgsval2lem  27543  lgsval4a  27555  lgsqrlem2  27583  gausslemma2dlem0c  27594  gausslemma2dlem0d  27595  lgseisenlem1  27611  lgseisenlem2  27612  lgsquadlem1  27616  2lgslem1a1  27625  2sqlem3  27656  2sqlem7  27660  2sqlem8  27662  2sqblem  27667  2sqmod  27672  2sqreunnlem1  27685  dchrisum0re  27749  pntrlog2bndlem4  27816  pntpbnd1a  27821  ostth2lem2  27870  ostth2lem3  27871  ostth2  27873  crctcshwlkn0lem4  30281  wwlksubclwwlk  30528  nnmulge  33210  nndiffz1  33257  fzo0opth  33274  nexple  33303  pfxlsw2ccat  33392  wrdt2ind  33395  gsumwrd2dccatlem  33517  ply1unit  33985  selvply1rhmlemb  34029  mplmulmvr  34049  esplyind  34085  constrdircl  34275  iconstr  34276  submateqlem1  34317  oddpwdc  34865  eulerpartlems  34871  eulerpartlemgc  34873  eulerpartlemb  34879  fsum2dsub  35115  breprexplemc  35140  circlemeth  35148  tgoldbachgtde  35168  usgrgt2cycl  35723  subfaclim  35767  cvmliftlem2  35865  cvmliftlem10  35873  snmlff  35908  dfgcd3  38076  poimirlem10  38379  poimirlem23  38392  poimirlem24  38393  itg2addnclem2  38421  rrnequiv  38585  bccl2d  42857  lcmineqlem18  42912  lcmineqlem19  42913  lcmineqlem20  42914  aks4d1p1p2  42936  aks4d1p1p7  42940  aks4d1p7d1  42948  posbezout  42966  aks6d1c1  42982  aks6d1c2lem4  42993  aks6d1c2  42996  deg1gprod  43006  2np3bcnp1  43010  sticksstones6  43017  sticksstones7  43018  sticksstones22  43034  aks6d1c6lem3  43038  aks6d1c6lem4  43039  bcled  43044  bcle2d  43045  aks6d1c7lem1  43046  aks6d1c7lem2  43047  unitscyglem4  43064  fltnlta  43509  irrapxlem2  43664  irrapxlem5  43667  pellexlem1  43670  pellexlem2  43671  pellexlem5  43674  pellexlem6  43675  pell14qrgt0  43700  pell1qrge1  43711  pellfundgt1  43724  rmspecnonsq  43748  rmspecfund  43750  rmspecpos  43757  rmxypos  43788  ltrmxnn0  43790  jm2.24  43804  acongeq  43824  jm2.22  43836  jm2.23  43837  jm2.27a  43846  jm2.27c  43848  nzprmdif  45143  bccbc  45169  binomcxplemnn0  45173  fsumnncl  46402  mccllem  46427  ioodvbdlimc1lem2  46760  ioodvbdlimc2lem  46762  dvnxpaek  46770  dvnmul  46771  dvnprodlem1  46774  stoweidlem24  46852  wallispilem4  46896  wallispilem5  46897  wallispi2lem1  46899  stirlinglem4  46905  stirlinglem5  46906  stirlinglem10  46911  stirlinglem15  46916  stirlingr  46918  fourierdlem48  46982  fourierdlem49  46983  fourierdlem92  47026  sqwvfoura  47056  elaa2lem  47061  etransclem19  47081  etransclem23  47085  etransclem27  47089  etransclem44  47106  rrndistlt  47118  chnsubseqwl  47707  modlt0b  48257  oexpnegALTV  48593  perfectALTVlem2  48638  gpgedgvtx0  48977  gpgedgvtx1  48978  blennn  49505  dignn0ldlem  49532  dig2nn1st  49535  digexp  49537  dignn0flhalf  49548  itcovalt2lem2lem1  49603