Theorem nn0ge0d 12226

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  0cc0 10802   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13475  zmodfz  13541  modaddmodlo  13583  modsumfzodifsn  13592  addmodlteq  13594  expmulnbnd  13878  facwordi  13931  faclbnd  13932  faclbnd4lem3  13937  faclbnd6  13941  facavg  13943  hashdom  14022  climcnds  15491  geomulcvg  15516  mertenslem1  15524  eftabs  15713  efcllem  15715  efaddlem  15730  eftlub  15746  oexpneg  15982  divalg2  16042  bitsfzolem  16069  bitsmod  16071  sadcaddlem  16092  sadaddlem  16101  sadasslem  16105  sadeq  16107  smueqlem  16125  dfgcd2  16182  gcdmultipleOLD  16188  gcdmultiplezOLD  16189  dvdssqlem  16199  nn0seqcvgd  16203  mulgcddvds  16288  isprm5  16340  zsqrtelqelz  16390  phibndlem  16399  dfphi2  16403  pythagtriplem3  16447  pythagtriplem10  16449  pythagtriplem6  16450  pythagtriplem7  16451  pythagtriplem12  16455  pythagtriplem14  16457  iserodd  16464  pcge0  16491  pcprmpw2  16511  pcmptdvds  16523  fldivp1  16526  pcbc  16529  qexpz  16530  pockthlem  16534  pockthg  16535  prmreclem3  16547  mul4sqlem  16582  4sqlem12  16585  4sqlem14  16587  4sqlem16  16589  0ram  16649  ram0  16651  ramcl  16658  prmolefac  16675  2expltfac  16722  odmodnn0  19063  pgpfi  19125  ablfac1c  19589  prmirred  20608  psrbaglesupp  21037  psrbaglesuppOLD  21038  psrbagcon  21043  psrbagconOLD  21044  psrlidm  21082  coe1tmmul2  21357  lebnumii  24035  mbfi1fseqlem1  24785  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem4  24788  mbfi1fseqlem5  24789  itg2cnlem2  24832  fta1g  25237  coemulhi  25320  dgradd2  25334  dgrco  25341  aareccl  25391  aaliou3lem8  25410  radcnvlem1  25477  dvradcnv  25485  dmlogdmgm  26078  wilthlem1  26122  sgmmul  26254  chtublem  26264  fsumvma2  26267  chpchtsum  26272  perfectlem2  26283  bcmono  26330  bposlem5  26341  lgsval2lem  26360  lgsval4a  26372  lgsqrlem2  26400  gausslemma2dlem0c  26411  gausslemma2dlem0d  26412  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem2  26429  lgsquadlem1  26433  2lgslem1a1  26442  2sqlem3  26473  2sqlem7  26477  2sqlem8  26479  2sqblem  26484  2sqmod  26489  2sqreunnlem1  26502  dchrisum0re  26566  pntrlog2bndlem4  26633  pntpbnd1a  26638  ostth2lem2  26687  ostth2lem3  26688  ostth2  26690  crctcshwlkn0lem4  28079  wwlksubclwwlk  28323  nnmulge  30975  nndiffz1  31009  pfxlsw2ccat  31126  wrdt2ind  31127  submateqlem1  31659  nexple  31877  oddpwdc  32221  eulerpartlems  32227  eulerpartlemgc  32229  eulerpartlemb  32235  fsum2dsub  32487  breprexplemc  32512  circlemeth  32520  tgoldbachgtde  32540  usgrgt2cycl  32992  subfaclim  33050  cvmliftlem2  33148  cvmliftlem10  33156  snmlff  33191  dfgcd3  35422  poimirlem10  35714  poimirlem23  35727  poimirlem24  35728  itg2addnclem2  35756  rrnequiv  35920  bccl2d  39928  lcmineqlem18  39982  lcmineqlem19  39983  lcmineqlem20  39984  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p7d1  40018  2np3bcnp1  40028  sticksstones6  40035  sticksstones7  40036  sticksstones22  40052  metakunt2  40054  fltnlta  40416  irrapxlem2  40561  irrapxlem5  40564  pellexlem1  40567  pellexlem2  40568  pellexlem5  40571  pellexlem6  40572  pell14qrgt0  40597  pell1qrge1  40608  pellfundgt1  40621  rmspecnonsq  40645  rmspecfund  40647  rmspecpos  40654  rmxypos  40685  ltrmxnn0  40687  jm2.24  40701  acongeq  40721  jm2.22  40733  jm2.23  40734  jm2.27a  40743  jm2.27c  40745  nzprmdif  41826  bccbc  41852  binomcxplemnn0  41856  fsumnncl  43003  mccllem  43028  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  dvnxpaek  43373  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  stoweidlem24  43455  wallispilem4  43499  wallispilem5  43500  wallispi2lem1  43502  stirlinglem4  43508  stirlinglem5  43509  stirlinglem10  43514  stirlinglem15  43519  stirlingr  43521  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem92  43629  sqwvfoura  43659  elaa2lem  43664  etransclem19  43684  etransclem23  43688  etransclem27  43692  etransclem44  43709  rrndistlt  43721  oexpnegALTV  45017  perfectALTVlem2  45062  blennn  45809  dignn0ldlem  45836  dig2nn1st  45839  digexp  45841  dignn0flhalf  45852  itcovalt2lem2lem1  45907