Theorem nn0ge0d 12535

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12497	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  0cc0 11110   ≤ cle 11249  ℕ₀cn0 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13792  zmodfz  13858  modaddmodlo  13900  modsumfzodifsn  13909  addmodlteq  13911  expmulnbnd  14198  facwordi  14249  faclbnd  14250  faclbnd4lem3  14255  faclbnd6  14259  facavg  14261  hashdom  14339  climcnds  15797  geomulcvg  15822  mertenslem1  15830  eftabs  16019  efcllem  16021  efaddlem  16036  eftlub  16052  oexpneg  16288  divalg2  16348  bitsfzolem  16375  bitsmod  16377  sadcaddlem  16398  sadaddlem  16407  sadasslem  16411  sadeq  16413  smueqlem  16431  dfgcd2  16488  dvdssqlem  16503  nn0seqcvgd  16507  mulgcddvds  16592  isprm5  16644  zsqrtelqelz  16694  phibndlem  16703  dfphi2  16707  pythagtriplem3  16751  pythagtriplem10  16753  pythagtriplem6  16754  pythagtriplem7  16755  pythagtriplem12  16759  pythagtriplem14  16761  iserodd  16768  pcge0  16795  pcprmpw2  16815  pcmptdvds  16827  fldivp1  16830  pcbc  16833  qexpz  16834  pockthlem  16838  pockthg  16839  prmreclem3  16851  mul4sqlem  16886  4sqlem12  16889  4sqlem14  16891  4sqlem16  16893  0ram  16953  ram0  16955  ramcl  16962  prmolefac  16979  2expltfac  17026  odmodnn0  19408  pgpfi  19473  ablfac1c  19941  prmirred  21044  psrbaglesupp  21477  psrbaglesuppOLD  21478  psrbagcon  21483  psrbagconOLD  21484  psrlidm  21523  coe1tmmul2  21798  lebnumii  24482  mbfi1fseqlem1  25233  mbfi1fseqlem3  25235  mbfi1fseqlem4  25236  mbfi1fseqlem5  25237  itg2cnlem2  25280  fta1g  25685  coemulhi  25768  dgradd2  25782  dgrco  25789  aareccl  25839  aaliou3lem8  25858  radcnvlem1  25925  dvradcnv  25933  dmlogdmgm  26528  wilthlem1  26572  sgmmul  26704  chtublem  26714  fsumvma2  26717  chpchtsum  26722  perfectlem2  26733  bcmono  26780  bposlem5  26791  lgsval2lem  26810  lgsval4a  26822  lgsqrlem2  26850  gausslemma2dlem0c  26861  gausslemma2dlem0d  26862  lgseisenlem1  26878  lgseisenlem2  26879  lgsquadlem1  26883  2lgslem1a1  26892  2sqlem3  26923  2sqlem7  26927  2sqlem8  26929  2sqblem  26934  2sqmod  26939  2sqreunnlem1  26952  dchrisum0re  27016  pntrlog2bndlem4  27083  pntpbnd1a  27088  ostth2lem2  27137  ostth2lem3  27138  ostth2  27140  crctcshwlkn0lem4  29067  wwlksubclwwlk  29311  nnmulge  31963  nndiffz1  31997  pfxlsw2ccat  32116  wrdt2ind  32117  submateqlem1  32787  nexple  33007  oddpwdc  33353  eulerpartlems  33359  eulerpartlemgc  33361  eulerpartlemb  33367  fsum2dsub  33619  breprexplemc  33644  circlemeth  33652  tgoldbachgtde  33672  usgrgt2cycl  34121  subfaclim  34179  cvmliftlem2  34277  cvmliftlem10  34285  snmlff  34320  dfgcd3  36205  poimirlem10  36498  poimirlem23  36511  poimirlem24  36512  itg2addnclem2  36540  rrnequiv  36703  bccl2d  40857  lcmineqlem18  40911  lcmineqlem19  40912  lcmineqlem20  40913  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p7d1  40947  2np3bcnp1  40960  sticksstones6  40967  sticksstones7  40968  sticksstones22  40984  metakunt2  40986  fltnlta  41405  irrapxlem2  41561  irrapxlem5  41564  pellexlem1  41567  pellexlem2  41568  pellexlem5  41571  pellexlem6  41572  pell14qrgt0  41597  pell1qrge1  41608  pellfundgt1  41621  rmspecnonsq  41645  rmspecfund  41647  rmspecpos  41655  rmxypos  41686  ltrmxnn0  41688  jm2.24  41702  acongeq  41722  jm2.22  41734  jm2.23  41735  jm2.27a  41744  jm2.27c  41746  nzprmdif  43078  bccbc  43104  binomcxplemnn0  43108  fsumnncl  44288  mccllem  44313  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  dvnxpaek  44658  dvnmul  44659  dvnprodlem1  44662  stoweidlem24  44740  wallispilem4  44784  wallispilem5  44785  wallispi2lem1  44787  stirlinglem4  44793  stirlinglem5  44794  stirlinglem10  44799  stirlinglem15  44804  stirlingr  44806  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem92  44914  sqwvfoura  44944  elaa2lem  44949  etransclem19  44969  etransclem23  44973  etransclem27  44977  etransclem44  44994  rrndistlt  45006  oexpnegALTV  46345  perfectALTVlem2  46390  blennn  47261  dignn0ldlem  47288  dig2nn1st  47291  digexp  47293  dignn0flhalf  47304  itcovalt2lem2lem1  47359