Theorem nn0ge0d 12587

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12548	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  0cc0 11152   ≤ cle 11293  ℕ₀cn0 12523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13863  zmodfz  13929  modaddmodlo  13972  modsumfzodifsn  13981  addmodlteq  13983  expmulnbnd  14270  facwordi  14324  faclbnd  14325  faclbnd4lem3  14330  faclbnd6  14334  facavg  14336  hashdom  14414  climcnds  15883  geomulcvg  15908  mertenslem1  15916  eftabs  16107  efcllem  16109  efaddlem  16125  eftlub  16141  oexpneg  16378  divalg2  16438  bitsfzolem  16467  bitsmod  16469  sadcaddlem  16490  sadaddlem  16499  sadasslem  16503  sadeq  16505  smueqlem  16523  dfgcd2  16579  dvdssqlem  16599  nn0seqcvgd  16603  mulgcddvds  16688  isprm5  16740  zsqrtelqelz  16791  phibndlem  16803  dfphi2  16807  pythagtriplem3  16851  pythagtriplem10  16853  pythagtriplem6  16854  pythagtriplem7  16855  pythagtriplem12  16859  pythagtriplem14  16861  iserodd  16868  pcge0  16895  pcprmpw2  16915  pcmptdvds  16927  fldivp1  16930  pcbc  16933  qexpz  16934  pockthlem  16938  pockthg  16939  prmreclem3  16951  mul4sqlem  16986  4sqlem12  16989  4sqlem14  16991  4sqlem16  16993  0ram  17053  ram0  17055  ramcl  17062  prmolefac  17079  2expltfac  17126  odmodnn0  19572  pgpfi  19637  ablfac1c  20105  prmirred  21502  psrbaglesupp  21959  psrbagcon  21962  psrlidm  21999  psdmul  22187  coe1tmmul2  22294  lebnumii  25011  mbfi1fseqlem1  25764  mbfi1fseqlem3  25766  mbfi1fseqlem4  25767  mbfi1fseqlem5  25768  itg2cnlem2  25811  fta1g  26223  coemulhi  26307  dgradd2  26322  dgrco  26329  aareccl  26382  aaliou3lem8  26401  radcnvlem1  26470  dvradcnv  26478  dmlogdmgm  27081  wilthlem1  27125  sgmmul  27259  chtublem  27269  fsumvma2  27272  chpchtsum  27277  perfectlem2  27288  bcmono  27335  bposlem5  27346  lgsval2lem  27365  lgsval4a  27377  lgsqrlem2  27405  gausslemma2dlem0c  27416  gausslemma2dlem0d  27417  lgseisenlem1  27433  lgseisenlem2  27434  lgsquadlem1  27438  2lgslem1a1  27447  2sqlem3  27478  2sqlem7  27482  2sqlem8  27484  2sqblem  27489  2sqmod  27494  2sqreunnlem1  27507  dchrisum0re  27571  pntrlog2bndlem4  27638  pntpbnd1a  27643  ostth2lem2  27692  ostth2lem3  27693  ostth2  27695  crctcshwlkn0lem4  29842  wwlksubclwwlk  30086  nnmulge  32755  nndiffz1  32794  fzo0opth  32812  pfxlsw2ccat  32919  wrdt2ind  32922  gsumwrd2dccatlem  33051  ply1unit  33579  submateqlem1  33767  nexple  33989  oddpwdc  34335  eulerpartlems  34341  eulerpartlemgc  34343  eulerpartlemb  34349  fsum2dsub  34600  breprexplemc  34625  circlemeth  34633  tgoldbachgtde  34653  usgrgt2cycl  35114  subfaclim  35172  cvmliftlem2  35270  cvmliftlem10  35278  snmlff  35313  dfgcd3  37306  poimirlem10  37616  poimirlem23  37629  poimirlem24  37630  itg2addnclem2  37658  rrnequiv  37821  bccl2d  41972  lcmineqlem18  42027  lcmineqlem19  42028  lcmineqlem20  42029  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p7d1  42063  posbezout  42081  aks6d1c1  42097  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c2  42111  deg1gprod  42121  2np3bcnp1  42125  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones22  42149  aks6d1c6lem3  42153  aks6d1c6lem4  42154  bcled  42159  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  aks6d1c7lem2  42162  unitscyglem4  42179  metakunt2  42187  fltnlta  42649  irrapxlem2  42810  irrapxlem5  42813  pellexlem1  42816  pellexlem2  42817  pellexlem5  42820  pellexlem6  42821  pell14qrgt0  42846  pell1qrge1  42857  pellfundgt1  42870  rmspecnonsq  42894  rmspecfund  42896  rmspecpos  42904  rmxypos  42935  ltrmxnn0  42937  jm2.24  42951  acongeq  42971  jm2.22  42983  jm2.23  42984  jm2.27a  42993  jm2.27c  42995  nzprmdif  44314  bccbc  44340  binomcxplemnn0  44344  fsumnncl  45527  mccllem  45552  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  dvnxpaek  45897  dvnmul  45898  dvnprodlem1  45901  stoweidlem24  45979  wallispilem4  46023  wallispilem5  46024  wallispi2lem1  46026  stirlinglem4  46032  stirlinglem5  46033  stirlinglem10  46038  stirlinglem15  46043  stirlingr  46045  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem92  46153  sqwvfoura  46183  elaa2lem  46188  etransclem19  46208  etransclem23  46212  etransclem27  46216  etransclem44  46233  rrndistlt  46245  oexpnegALTV  47601  perfectALTVlem2  47646  gpgedgvtx0  47953  gpgedgvtx1  47954  blennn  48424  dignn0ldlem  48451  dig2nn1st  48454  digexp  48456  dignn0flhalf  48467  itcovalt2lem2lem1  48522