Theorem nn0ge0d 12469

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  0cc0 11030   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13751  zmodfz  13817  modaddmodlo  13862  modsumfzodifsn  13871  addmodlteq  13873  expmulnbnd  14162  facwordi  14216  faclbnd  14217  faclbnd4lem3  14222  faclbnd6  14226  facavg  14228  hashdom  14306  climcnds  15778  geomulcvg  15803  mertenslem1  15811  eftabs  16002  efcllem  16004  efaddlem  16020  eftlub  16038  oexpneg  16276  divalg2  16336  bitsfzolem  16365  bitsmod  16367  sadcaddlem  16388  sadaddlem  16397  sadasslem  16401  sadeq  16403  smueqlem  16421  dfgcd2  16477  dvdssqlem  16497  nn0seqcvgd  16501  mulgcddvds  16586  isprm5  16638  zsqrtelqelz  16689  phibndlem  16701  dfphi2  16705  pythagtriplem3  16750  pythagtriplem10  16752  pythagtriplem6  16753  pythagtriplem7  16754  pythagtriplem12  16758  pythagtriplem14  16760  iserodd  16767  pcge0  16794  pcprmpw2  16814  pcmptdvds  16826  fldivp1  16829  pcbc  16832  qexpz  16833  pockthlem  16837  pockthg  16838  prmreclem3  16850  mul4sqlem  16885  4sqlem12  16888  4sqlem14  16890  4sqlem16  16892  0ram  16952  ram0  16954  ramcl  16961  prmolefac  16978  2expltfac  17024  odmodnn0  19473  pgpfi  19538  ablfac1c  20006  prmirred  21433  psrbaglesupp  21882  psrbagcon  21885  psrlidm  21921  psdmul  22113  coe1tmmul2  22222  lebnumii  24925  mbfi1fseqlem1  25676  mbfi1fseqlem3  25678  mbfi1fseqlem4  25679  mbfi1fseqlem5  25680  itg2cnlem2  25723  fta1g  26135  coemulhi  26219  dgradd2  26234  dgrco  26241  aareccl  26294  aaliou3lem8  26313  radcnvlem1  26382  dvradcnv  26390  dmlogdmgm  26994  wilthlem1  27038  sgmmul  27172  chtublem  27182  fsumvma2  27185  chpchtsum  27190  perfectlem2  27201  bcmono  27248  bposlem5  27259  lgsval2lem  27278  lgsval4a  27290  lgsqrlem2  27318  gausslemma2dlem0c  27329  gausslemma2dlem0d  27330  lgseisenlem1  27346  lgseisenlem2  27347  lgsquadlem1  27351  2lgslem1a1  27360  2sqlem3  27391  2sqlem7  27395  2sqlem8  27397  2sqblem  27402  2sqmod  27407  2sqreunnlem1  27420  dchrisum0re  27484  pntrlog2bndlem4  27551  pntpbnd1a  27556  ostth2lem2  27605  ostth2lem3  27606  ostth2  27608  crctcshwlkn0lem4  29869  wwlksubclwwlk  30116  nnmulge  32799  nndiffz1  32847  fzo0opth  32864  nexple  32906  pfxlsw2ccat  33013  wrdt2ind  33016  gsumwrd2dccatlem  33140  ply1unit  33637  mplmulmvr  33685  esplyind  33712  constrdircl  33903  iconstr  33904  submateqlem1  33945  oddpwdc  34492  eulerpartlems  34498  eulerpartlemgc  34500  eulerpartlemb  34506  fsum2dsub  34745  breprexplemc  34770  circlemeth  34778  tgoldbachgtde  34798  usgrgt2cycl  35305  subfaclim  35363  cvmliftlem2  35461  cvmliftlem10  35469  snmlff  35504  dfgcd3  37500  poimirlem10  37802  poimirlem23  37815  poimirlem24  37816  itg2addnclem2  37844  rrnequiv  38007  bccl2d  42282  lcmineqlem18  42337  lcmineqlem19  42338  lcmineqlem20  42339  aks4d1p1p2  42361  aks4d1p1p7  42365  aks4d1p7d1  42373  posbezout  42391  aks6d1c1  42407  aks6d1c2lem4  42418  aks6d1c2  42421  deg1gprod  42431  2np3bcnp1  42435  sticksstones6  42442  sticksstones7  42443  sticksstones22  42459  aks6d1c6lem3  42463  aks6d1c6lem4  42464  bcled  42469  bcle2d  42470  aks6d1c7lem1  42471  aks6d1c7lem2  42472  unitscyglem4  42489  fltnlta  42942  irrapxlem2  43101  irrapxlem5  43104  pellexlem1  43107  pellexlem2  43108  pellexlem5  43111  pellexlem6  43112  pell14qrgt0  43137  pell1qrge1  43148  pellfundgt1  43161  rmspecnonsq  43185  rmspecfund  43187  rmspecpos  43194  rmxypos  43225  ltrmxnn0  43227  jm2.24  43241  acongeq  43261  jm2.22  43273  jm2.23  43274  jm2.27a  43283  jm2.27c  43285  nzprmdif  44596  bccbc  44622  binomcxplemnn0  44626  fsumnncl  45854  mccllem  45879  ioodvbdlimc1lem2  46212  ioodvbdlimc2lem  46214  dvnxpaek  46222  dvnmul  46223  dvnprodlem1  46226  stoweidlem24  46304  wallispilem4  46348  wallispilem5  46349  wallispi2lem1  46351  stirlinglem4  46357  stirlinglem5  46358  stirlinglem10  46363  stirlinglem15  46368  stirlingr  46370  fourierdlem48  46434  fourierdlem49  46435  fourierdlem92  46478  sqwvfoura  46508  elaa2lem  46513  etransclem19  46533  etransclem23  46537  etransclem27  46541  etransclem44  46558  rrndistlt  46570  chnsubseqwl  47159  modlt0b  47645  oexpnegALTV  47959  perfectALTVlem2  48004  gpgedgvtx0  48343  gpgedgvtx1  48344  blennn  48857  dignn0ldlem  48884  dig2nn1st  48887  digexp  48889  dignn0flhalf  48900  itcovalt2lem2lem1  48955