Theorem nn0ge0d 12501

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 12462	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  0cc0 11038   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13786  zmodfz  13852  modaddmodlo  13897  modsumfzodifsn  13906  addmodlteq  13908  expmulnbnd  14197  facwordi  14251  faclbnd  14252  faclbnd4lem3  14257  faclbnd6  14261  facavg  14263  hashdom  14341  climcnds  15816  geomulcvg  15841  mertenslem1  15849  eftabs  16040  efcllem  16042  efaddlem  16058  eftlub  16076  oexpneg  16314  divalg2  16374  bitsfzolem  16403  bitsmod  16405  sadcaddlem  16426  sadaddlem  16435  sadasslem  16439  sadeq  16441  smueqlem  16459  dfgcd2  16515  dvdssqlem  16535  nn0seqcvgd  16539  mulgcddvds  16624  isprm5  16677  zsqrtelqelz  16728  phibndlem  16740  dfphi2  16744  pythagtriplem3  16789  pythagtriplem10  16791  pythagtriplem6  16792  pythagtriplem7  16793  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem14  16799  iserodd  16806  pcge0  16833  pcprmpw2  16853  pcmptdvds  16865  fldivp1  16868  pcbc  16871  qexpz  16872  pockthlem  16876  pockthg  16877  prmreclem3  16889  mul4sqlem  16924  4sqlem12  16927  4sqlem14  16929  4sqlem16  16931  0ram  16991  ram0  16993  ramcl  17000  prmolefac  17017  2expltfac  17063  odmodnn0  19515  pgpfi  19580  ablfac1c  20048  prmirred  21454  psrbaglesupp  21902  psrbagcon  21905  psrlidm  21940  psdmul  22132  coe1tmmul2  22241  lebnumii  24933  mbfi1fseqlem1  25682  mbfi1fseqlem3  25684  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  itg2cnlem2  25729  fta1g  26135  coemulhi  26219  dgradd2  26233  dgrco  26240  aareccl  26292  aaliou3lem8  26311  radcnvlem1  26378  dvradcnv  26386  dmlogdmgm  26987  wilthlem1  27031  sgmmul  27164  chtublem  27174  fsumvma2  27177  chpchtsum  27182  perfectlem2  27193  bcmono  27240  bposlem5  27251  lgsval2lem  27270  lgsval4a  27282  lgsqrlem2  27310  gausslemma2dlem0c  27321  gausslemma2dlem0d  27322  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgsquadlem1  27343  2lgslem1a1  27352  2sqlem3  27383  2sqlem7  27387  2sqlem8  27389  2sqblem  27394  2sqmod  27399  2sqreunnlem1  27412  dchrisum0re  27476  pntrlog2bndlem4  27543  pntpbnd1a  27548  ostth2lem2  27597  ostth2lem3  27598  ostth2  27600  crctcshwlkn0lem4  29881  wwlksubclwwlk  30128  nnmulge  32812  nndiffz1  32859  fzo0opth  32876  nexple  32917  pfxlsw2ccat  33010  wrdt2ind  33013  gsumwrd2dccatlem  33138  ply1unit  33635  mplmulmvr  33683  esplyind  33719  constrdircl  33909  iconstr  33910  submateqlem1  33951  oddpwdc  34498  eulerpartlems  34504  eulerpartlemgc  34506  eulerpartlemb  34512  fsum2dsub  34751  breprexplemc  34776  circlemeth  34784  tgoldbachgtde  34804  usgrgt2cycl  35312  subfaclim  35370  cvmliftlem2  35468  cvmliftlem10  35476  snmlff  35511  dfgcd3  37638  poimirlem10  37951  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  itg2addnclem2  37993  rrnequiv  38156  bccl2d  42430  lcmineqlem18  42485  lcmineqlem19  42486  lcmineqlem20  42487  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p7d1  42521  posbezout  42539  aks6d1c1  42555  aks6d1c2lem4  42566  aks6d1c2  42569  deg1gprod  42579  2np3bcnp1  42583  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones22  42607  aks6d1c6lem3  42611  aks6d1c6lem4  42612  bcled  42617  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  unitscyglem4  42637  fltnlta  43096  irrapxlem2  43251  irrapxlem5  43254  pellexlem1  43257  pellexlem2  43258  pellexlem5  43261  pellexlem6  43262  pell14qrgt0  43287  pell1qrge1  43298  pellfundgt1  43311  rmspecnonsq  43335  rmspecfund  43337  rmspecpos  43344  rmxypos  43375  ltrmxnn0  43377  jm2.24  43391  acongeq  43411  jm2.22  43423  jm2.23  43424  jm2.27a  43433  jm2.27c  43435  nzprmdif  44746  bccbc  44772  binomcxplemnn0  44776  fsumnncl  46002  mccllem  46027  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnxpaek  46370  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  stoweidlem24  46452  wallispilem4  46496  wallispilem5  46497  wallispi2lem1  46499  stirlinglem4  46505  stirlinglem5  46506  stirlinglem10  46511  stirlinglem15  46516  stirlingr  46518  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem92  46626  sqwvfoura  46656  elaa2lem  46661  etransclem19  46681  etransclem23  46685  etransclem27  46689  etransclem44  46706  rrndistlt  46718  chnsubseqwl  47309  modlt0b  47817  oexpnegALTV  48153  perfectALTVlem2  48198  gpgedgvtx0  48537  gpgedgvtx1  48538  blennn  49051  dignn0ldlem  49078  dig2nn1st  49081  digexp  49083  dignn0flhalf  49094  itcovalt2lem2lem1  49149