MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neg1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neg1z 11702
Description: -1 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 5-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
neg1z -1 ∈ ℤ

Proof of Theorem neg1z
StepHypRef Expression
1 1nn 11326 . 2 1 ∈ ℕ
2 nnnegz 11668 . 2 (1 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
31, 2ax-mp 5 1 -1 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157  1c1 10226  -cneg 10558  cn 11313  cz 11665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-ltxr 10369  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-z 11666
This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  12997  m1expcl  13136  risefall0lem  15092  binomfallfaclem2  15106  nthruz  15317  n2dvdsm1  15440  bitsfzo  15491  bezoutlem1  15590  pythagtriplem4  15856  odinv  18290  zrhpsgnmhm  20250  zrhpsgnelbas  20261  m2detleiblem1  20755  clmneg1  23208  plyeq0lem  24306  aaliou3lem2  24438  dvradcnv  24515  efif1olem2  24630  ang180lem3  24892  wilthimp  25149  muf  25217  ppiub  25280  lgslem2  25374  lgsfcl2  25379  lgsval2lem  25383  lgsdir2lem3  25403  lgsdir2lem4  25404  gausslemma2dlem5a  25446  gausslemma2dlem7  25449  gausslemma2d  25450  lgseisenlem2  25452  lgseisenlem4  25454  m1lgs  25464  2sqlem11  25505  2sqblem  25507  ostth3  25678  archirngz  30258  mdetpmtr1  30404  mdetpmtr12  30406  qqhval2lem  30540  bcneg1  32135  mzpsubmpt  38087  rmxm1  38279  rmym1  38280  dvradcnv2  39323  binomcxplemnotnn0  39332  cosnegpi  40817  fourierdlem24  41086  fmtnoprmfac1lem  42253  2pwp1prm  42280  lighneallem4b  42303  lighneallem4  42304  modexp2m1d  42306  41prothprmlem2  42312
  Copyright terms: Public domain W3C validator