HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlsi 31201
Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omls.1 𝐴C
omls.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
omlsi ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem omlsi
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2731 . 2 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) = 𝐵))
2 eqeq2 2739 . 2 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) = 𝐵 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)))
3 omls.1 . . . 4 𝐴C
4 h0elch 31052 . . . 4 0C
53, 4ifcli 4571 . . 3 if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ∈ C
6 omls.2 . . . 4 𝐵S
7 h0elsh 31053 . . . 4 0S
86, 7ifcli 4571 . . 3 if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∈ S
9 sseq1 4003 . . . . . 6 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (𝐴𝐵 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 𝐵))
10 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0)))
1110ineq2d 4208 . . . . . . 7 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))))
1211eqeq1d 2729 . . . . . 6 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0 ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0))
139, 12anbi12d 630 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)))
14 sseq2 4004 . . . . . 6 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)))
15 ineq1 4201 . . . . . . 7 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))))
1615eqeq1d 2729 . . . . . 6 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0 ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0))
1714, 16anbi12d 630 . . . . 5 (𝐵 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → ((if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0) ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∧ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)))
18 sseq1 4003 . . . . . 6 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (0 ⊆ 0 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 0))
19 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (⊥‘0) = (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0)))
2019ineq2d 4208 . . . . . . 7 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → (0 ∩ (⊥‘0)) = (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))))
2120eqeq1d 2729 . . . . . 6 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → ((0 ∩ (⊥‘0)) = 0 ↔ (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0))
2218, 21anbi12d 630 . . . . 5 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) → ((0 ⊆ 0 ∧ (0 ∩ (⊥‘0)) = 0) ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 0 ∧ (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)))
23 sseq2 4004 . . . . . 6 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 0 ↔ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)))
24 ineq1 4201 . . . . . . 7 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))))
2524eqeq1d 2729 . . . . . 6 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → ((0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0 ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0))
2623, 25anbi12d 630 . . . . 5 (0 = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) → ((if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ 0 ∧ (0 ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0) ↔ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∧ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)))
27 ssid 4000 . . . . . 6 0 ⊆ 0
28 ocin 31093 . . . . . . 7 (0S → (0 ∩ (⊥‘0)) = 0)
297, 28ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ∩ (⊥‘0)) = 0
3027, 29pm3.2i 470 . . . . 5 (0 ⊆ 0 ∧ (0 ∩ (⊥‘0)) = 0)
3113, 17, 22, 26, 30elimhyp2v 4590 . . . 4 (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∧ (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0)
3231simpli 483 . . 3 if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) ⊆ if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)
3331simpri 485 . . 3 (if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0) ∩ (⊥‘if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0))) = 0
345, 8, 32, 33omlsii 31200 . 2 if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐴, 0) = if((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0), 𝐵, 0)
351, 2, 34dedth2v 4586 1 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3943  wss 3944  ifcif 4524  cfv 6542   S csh 30725   C cch 30726  cort 30727  0c0h 30732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210  ax-hilex 30796  ax-hfvadd 30797  ax-hvcom 30798  ax-hvass 30799  ax-hv0cl 30800  ax-hvaddid 30801  ax-hfvmul 30802  ax-hvmulid 30803  ax-hvmulass 30804  ax-hvdistr1 30805  ax-hvdistr2 30806  ax-hvmul0 30807  ax-hfi 30876  ax-his1 30879  ax-his2 30880  ax-his3 30881  ax-his4 30882  ax-hcompl 30999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lm 23120  df-haus 23206  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-cfil 25170  df-cau 25171  df-cmet 25172  df-grpo 30290  df-gid 30291  df-ginv 30292  df-gdiv 30293  df-ablo 30342  df-vc 30356  df-nv 30389  df-va 30392  df-ba 30393  df-sm 30394  df-0v 30395  df-vs 30396  df-nmcv 30397  df-ims 30398  df-ssp 30519  df-ph 30610  df-cbn 30660  df-hnorm 30765  df-hba 30766  df-hvsub 30768  df-hlim 30769  df-hcau 30770  df-sh 31004  df-ch 31018  df-oc 31049  df-ch0 31050
This theorem is referenced by:  pjomli  31232
  Copyright terms: Public domain W3C validator