Theorem omlsi 29898

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omls.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
omls.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem omlsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2740	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = 𝐵))
2		eqeq2 2748	. 2 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
3		omls.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4		h0elch 29749	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
5	3, 4	ifcli 4517	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
6		omls.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		h0elsh 29750	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
8	6, 7	ifcli 4517	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∈ Sℋ
9		sseq1 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵))
10		fveq2 6811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ)))
11	10	ineq2d 4156	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
12	11	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
13	9, 12	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
14		sseq2 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
15		ineq1 4149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
16	15	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
17	14, 16	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
18		sseq1 3955	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ⊆ 0ℋ ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ))
19		fveq2 6811	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘0ℋ) = (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ)))
20	19	ineq2d 4156	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
21	20	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ ↔ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
22	18, 21	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
23		sseq2 3956	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
24		ineq1 4149	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
25	24	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
26	23, 25	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
27		ssid 3952	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ⊆ 0ℋ
28		ocin 29790	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ)
29	7, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ
30	27, 29	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ)
31	13, 17, 22, 26, 30	elimhyp2v 4536	. . . 4 ⊢ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)
32	31	simpli 484	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)
33	31	simpri 486	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ
34	5, 8, 32, 33	omlsii 29897	. 2 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)
35	1, 2, 34	dedth2v 4532	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3895   ⊆ wss 3896  ifcif 4470  ‘cfv 6465   S_ℋ csh 29422   C_ℋ cch 29423  ⊥cort 29424  0_ℋc0h 29429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cc 10270  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030  ax-hilex 29493  ax-hfvadd 29494  ax-hvcom 29495  ax-hvass 29496  ax-hv0cl 29497  ax-hvaddid 29498  ax-hfvmul 29499  ax-hvmulid 29500  ax-hvmulass 29501  ax-hvdistr1 29502  ax-hvdistr2 29503  ax-hvmul0 29504  ax-hfi 29573  ax-his1 29576  ax-his2 29577  ax-his3 29578  ax-his4 29579  ax-hcompl 29696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-oadd 8349  df-omul 8350  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-card 9774  df-acn 9777  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fl 13591  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-rest 17207  df-topgen 17228  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-top 22123  df-topon 22140  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-lm 22460  df-haus 22546  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-cfil 24499  df-cau 24500  df-cmet 24501  df-grpo 28987  df-gid 28988  df-ginv 28989  df-gdiv 28990  df-ablo 29039  df-vc 29053  df-nv 29086  df-va 29089  df-ba 29090  df-sm 29091  df-0v 29092  df-vs 29093  df-nmcv 29094  df-ims 29095  df-ssp 29216  df-ph 29307  df-cbn 29357  df-hnorm 29462  df-hba 29463  df-hvsub 29465  df-hlim 29466  df-hcau 29467  df-sh 29701  df-ch 29715  df-oc 29746  df-ch0 29747

This theorem is referenced by:  pjomli  29929