Theorem omlsi 31270

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omls.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
omls.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem omlsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2729	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = 𝐵))
2		eqeq2 2737	. 2 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
3		omls.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4		h0elch 31121	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
5	3, 4	ifcli 4576	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
6		omls.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		h0elsh 31122	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
8	6, 7	ifcli 4576	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∈ Sℋ
9		sseq1 4003	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵))
10		fveq2 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ)))
11	10	ineq2d 4211	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
12	11	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
13	9, 12	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
14		sseq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
15		ineq1 4204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
16	15	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
17	14, 16	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
18		sseq1 4003	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ⊆ 0ℋ ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ))
19		fveq2 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘0ℋ) = (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ)))
20	19	ineq2d 4211	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
21	20	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ ↔ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
22	18, 21	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
23		sseq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
24		ineq1 4204	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
25	24	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
26	23, 25	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
27		ssid 4000	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ⊆ 0ℋ
28		ocin 31162	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ)
29	7, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ
30	27, 29	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ)
31	13, 17, 22, 26, 30	elimhyp2v 4595	. . . 4 ⊢ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)
32	31	simpli 482	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)
33	31	simpri 484	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ
34	5, 8, 32, 33	omlsii 31269	. 2 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)
35	1, 2, 34	dedth2v 4591	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ifcif 4529  ‘cfv 6547   S_ℋ csh 30794   C_ℋ cch 30795  ⊥cort 30796  0_ℋc0h 30801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30865  ax-hfvadd 30866  ax-hvcom 30867  ax-hvass 30868  ax-hv0cl 30869  ax-hvaddid 30870  ax-hfvmul 30871  ax-hvmulid 30872  ax-hvmulass 30873  ax-hvdistr1 30874  ax-hvdistr2 30875  ax-hvmul0 30876  ax-hfi 30945  ax-his1 30948  ax-his2 30949  ax-his3 30950  ax-his4 30951  ax-hcompl 31068

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-top 22826  df-topon 22843  df-bases 22879  df-cld 22953  df-ntr 22954  df-cls 22955  df-nei 23032  df-lm 23163  df-haus 23249  df-fil 23780  df-fm 23872  df-flim 23873  df-flf 23874  df-cfil 25213  df-cau 25214  df-cmet 25215  df-grpo 30359  df-gid 30360  df-ginv 30361  df-gdiv 30362  df-ablo 30411  df-vc 30425  df-nv 30458  df-va 30461  df-ba 30462  df-sm 30463  df-0v 30464  df-vs 30465  df-nmcv 30466  df-ims 30467  df-ssp 30588  df-ph 30679  df-cbn 30729  df-hnorm 30834  df-hba 30835  df-hvsub 30837  df-hlim 30838  df-hcau 30839  df-sh 31073  df-ch 31087  df-oc 31118  df-ch0 31119

This theorem is referenced by:  pjomli  31301