Theorem omlsi 31988

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omls.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
omls.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem omlsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2765	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = 𝐵))
2		eqeq2 2773	. 2 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
3		omls.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4		h0elch 31839	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
5	3, 4	ifcli 4530	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
6		omls.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		h0elsh 31840	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
8	6, 7	ifcli 4530	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∈ Sℋ
9		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵))
10		fveq2 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ)))
11	10	ineq2d 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
12	11	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
13	9, 12	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
14		sseq2 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
15		ineq1 4159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
16	15	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
17	14, 16	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
18		sseq1 3956	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ⊆ 0ℋ ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ))
19		fveq2 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘0ℋ) = (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ)))
20	19	ineq2d 4166	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
21	20	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ ↔ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
22	18, 21	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
23		sseq2 3957	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
24		ineq1 4159	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
25	24	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
26	23, 25	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
27		ssid 3953	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ⊆ 0ℋ
28		ocin 31880	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ)
29	7, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ
30	27, 29	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ)
31	13, 17, 22, 26, 30	elimhyp2v 4549	. . . 4 ⊢ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)
32	31	simpli 489	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)
33	31	simpri 491	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ
34	5, 8, 32, 33	omlsii 31987	. 2 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)
35	1, 2, 34	dedth2v 4545	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  ‘cfv 6531   S_ℋ csh 31512   C_ℋ cch 31513  ⊥cort 31514  0_ℋc0h 31519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261  ax-hilex 31583  ax-hfvadd 31584  ax-hvcom 31585  ax-hvass 31586  ax-hv0cl 31587  ax-hvaddid 31588  ax-hfvmul 31589  ax-hvmulid 31590  ax-hvmulass 31591  ax-hvdistr1 31592  ax-hvdistr2 31593  ax-hvmul0 31594  ax-hfi 31663  ax-his1 31666  ax-his2 31667  ax-his3 31668  ax-his4 31669  ax-hcompl 31786

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-rest 17573  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lm 23527  df-haus 23613  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-cfil 25556  df-cau 25557  df-cmet 25558  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-gdiv 31080  df-ablo 31129  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-vs 31183  df-nmcv 31184  df-ims 31185  df-ssp 31306  df-ph 31397  df-cbn 31447  df-hnorm 31552  df-hba 31553  df-hvsub 31555  df-hlim 31556  df-hcau 31557  df-sh 31791  df-ch 31805  df-oc 31836  df-ch0 31837

This theorem is used by:  pjomli  32019