Theorem omlsi 31423

Description: Subspace form of orthomodular law in the Hilbert lattice. Compare the orthomodular law in Theorem 2(ii) of [Kalmbach] p. 22. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omls.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
omls.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsi	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem omlsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2741	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = 𝐵))
2		eqeq2 2749	. 2 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
3		omls.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4		h0elch 31274	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
5	3, 4	ifcli 4573	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
6		omls.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		h0elsh 31275	. . . 4 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
8	6, 7	ifcli 4573	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∈ Sℋ
9		sseq1 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵))
10		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ)))
11	10	ineq2d 4220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
12	11	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
13	9, 12	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
14		sseq2 4010	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
15		ineq1 4213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
17	14, 16	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
18		sseq1 4009	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ⊆ 0ℋ ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ))
19		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (⊥‘0ℋ) = (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ)))
20	19	ineq2d 4220	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
21	20	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ ↔ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
22	18, 21	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
23		sseq2 4010	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ↔ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)))
24		ineq1 4213	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))))
25	24	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) → ((if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ) ↔ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)))
27		ssid 4006	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ⊆ 0ℋ
28		ocin 31315	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ ∈ Sℋ → (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ)
29	7, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ
30	27, 29	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (0ℋ ⊆ 0ℋ ∧ (0ℋ ∩ (⊥‘0ℋ)) = 0ℋ)
31	13, 17, 22, 26, 30	elimhyp2v 4592	. . . 4 ⊢ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∧ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ)
32	31	simpli 483	. . 3 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) ⊆ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)
33	31	simpri 485	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ) ∩ (⊥‘if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ))) = 0ℋ
34	5, 8, 32, 33	omlsii 31422	. 2 ⊢ if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐴, 0ℋ) = if((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ), 𝐵, 0ℋ)
35	1, 2, 34	dedth2v 4588	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  ‘cfv 6561   S_ℋ csh 30947   C_ℋ cch 30948  ⊥cort 30949  0_ℋc0h 30954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lm 23237  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272

This theorem is referenced by:  pjomli  31454