Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmsubcsetclem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rnghmsubcsetclem2 46874
Description: Lemma 2 for rnghmsubcsetc 46875. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmsubcsetc.c 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
rnghmsubcsetc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
rnghmsubcsetc.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
rnghmsubcsetclem2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)
Proof of Theorem rnghmsubcsetclem2
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
21adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
32adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ πœ‘)
4 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))
54adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))
6 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
76adantl 483 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
8 rnghmsubcsetc.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
98rnghmresel 46862 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
103, 5, 7, 9syl3anc 1372 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
11 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
12 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1311, 12anim12i 614 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1413adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
15 simprl 770 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
168rnghmresel 46862 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
173, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
18 rnghmco 46706 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑧))
1910, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑧))
20 rnghmsubcsetc.c . . . . 5 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
21 rnghmsubcsetc.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2221ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
23 eqid 2733 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
24 rnghmsubcsetc.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
2524eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Rng ∩ π‘ˆ)))
26 elinel2 4197 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2725, 26syl6bi 253 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
2827imp 408 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2928adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3029adantr 482 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3124eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ (Rng ∩ π‘ˆ)))
32 elinel2 4197 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3331, 32syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3433adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3635adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3736impcom 409 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3837adantr 482 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3924eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ (Rng ∩ π‘ˆ)))
40 elinel2 4197 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4139, 40syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4241adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4342adantld 492 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4443imp 408 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4544adantr 482 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
47 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘¦) = (Baseβ€˜π‘¦)
48 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘§) = (Baseβ€˜π‘§)
49 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ πœ‘)
5111anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5251ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
5550, 53, 54, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
5646, 47rnghmf 46697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5857ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5958ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
6160impcom 409 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6261com12 32 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6362adantr 482 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6463impcom 409 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
6593expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
6647, 48rnghmf 46697 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6867ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6968adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
7069adantld 492 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
7170imp 408 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
7220, 22, 23, 30, 38, 45, 46, 47, 48, 64, 71estrcco 18081 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
738adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐻 = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
7473oveqdr 7437 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧))
75 ovres 7573 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧) = (π‘₯ RngHomo 𝑧))
7675ad2ant2l 745 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧) = (π‘₯ RngHomo 𝑧))
7774, 76eqtrd 2773 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RngHomo 𝑧))
7877adantr 482 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RngHomo 𝑧))
7919, 72, 783eltr4d 2849 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
8079ralrimivva 3201 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
8180ralrimivva 3201 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3948  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  compcco 17209  ExtStrCatcestrc 18073  Rngcrng 46648   RngHomo crngh 46683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-estrc 18074  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-mgmhm 46549  df-rng 46649  df-rnghomo 46685
This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  46875
  Copyright terms: Public domain W3C validator