Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmsubcsetclem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rnghmsubcsetclem2 46427
Description: Lemma 2 for rnghmsubcsetc 46428. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmsubcsetc.c 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
rnghmsubcsetc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
rnghmsubcsetc.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
rnghmsubcsetclem2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)
Proof of Theorem rnghmsubcsetclem2
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
21adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
32adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ πœ‘)
4 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))
54adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
76adantl 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
8 rnghmsubcsetc.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
98rnghmresel 46415 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
103, 5, 7, 9syl3anc 1371 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
11 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
12 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1311, 12anim12i 613 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1413adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
15 simprl 769 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
168rnghmresel 46415 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
173, 14, 15, 16syl3anc 1371 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
18 rnghmco 46358 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑧))
1910, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑧))
20 rnghmsubcsetc.c . . . . 5 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
21 rnghmsubcsetc.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2221ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
23 eqid 2731 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
24 rnghmsubcsetc.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
2524eleq2d 2818 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Rng ∩ π‘ˆ)))
26 elinel2 4176 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2725, 26syl6bi 252 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
2827imp 407 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2928adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3029adantr 481 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3124eleq2d 2818 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ (Rng ∩ π‘ˆ)))
32 elinel2 4176 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3331, 32syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3736impcom 408 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3837adantr 481 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3924eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ (Rng ∩ π‘ˆ)))
40 elinel2 4176 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4139, 40syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4241adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4342adantld 491 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4443imp 407 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4544adantr 481 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
47 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘¦) = (Baseβ€˜π‘¦)
48 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘§) = (Baseβ€˜π‘§)
49 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ πœ‘)
5111anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5251ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
5550, 53, 54, 16syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
5646, 47rnghmf 46350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5857ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5958ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
6160impcom 408 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6261com12 32 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6362adantr 481 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6463impcom 408 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
6593expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
6647, 48rnghmf 46350 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6867ex 413 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6968adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
7069adantld 491 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
7170imp 407 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
7220, 22, 23, 30, 38, 45, 46, 47, 48, 64, 71estrcco 18046 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
738adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐻 = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
7473oveqdr 7405 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧))
75 ovres 7540 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧) = (π‘₯ RngHomo 𝑧))
7675ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧) = (π‘₯ RngHomo 𝑧))
7774, 76eqtrd 2771 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RngHomo 𝑧))
7877adantr 481 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RngHomo 𝑧))
7919, 72, 783eltr4d 2847 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
8079ralrimivva 3199 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
8180ralrimivva 3199 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060   ∩ cin 3927  βŸ¨cop 4612   Γ— cxp 5651   β†Ύ cres 5655   ∘ ccom 5657  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  compcco 17174  ExtStrCatcestrc 18038  Rngcrng 46325   RngHomo crngh 46336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-hom 17186  df-cco 17187  df-0g 17352  df-estrc 18039  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-grp 18780  df-ghm 19035  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-mgmhm 46226  df-rng 46326  df-rnghomo 46338
This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  46428
  Copyright terms: Public domain W3C validator