Theorem rnghmsubcsetclem2 20890

Description: Lemma 2 for rnghmsubcsetc 20891. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnghmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rnghmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
rnghmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rnghmsubcsetclem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem rnghmsubcsetclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝜑)
2	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝜑)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
6		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
8		rnghmsubcsetc.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
9	8	rnghmresel 20878	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
10	3, 5, 7, 9	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
13	11, 12	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
15		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
16	8	rnghmresel 20878	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
17	3, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
18		rnghmco 20693	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RngHom 𝑧))
19	10, 17, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RngHom 𝑧))
20		rnghmsubcsetc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
21		rnghmsubcsetc.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
22	21	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
24		rnghmsubcsetc.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
25	24	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
26		elinel2 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
27	25, 26	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))
28	27	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31	24	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
32		elinel2 4099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
33	31, 32	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
35	34	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑈))
36	35	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑈))
37	36	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
39	24	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
40		elinel2 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
41	39, 40	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝑈))
42	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝑈))
43	42	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝑈))
44	43	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
45	44	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑈)
46		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
47		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
48		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
49		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝜑)
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝜑)
51	11	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
52	51	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
54		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
55	50, 53, 54, 16	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦))
56	46, 47	rnghmf 20684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥 RngHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
58	57	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
59	58	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
61	60	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
62	61	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
63	62	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
64	63	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
65	9	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧))
66	47, 48	rnghmf 20684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦 RngHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
67	65, 66	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
68	67	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
69	68	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
70	69	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
71	70	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
72	20, 22, 23, 30, 38, 45, 46, 47, 48, 64, 71	estrcco 18310	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
73	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
74	73	oveqdr 7449	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧))
75		ovres 7587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RngHom 𝑧))
76	75	ad2ant2l 759	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RngHom 𝑧))
77	74, 76	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RngHom 𝑧))
78	77	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RngHom 𝑧))
79	19, 72, 78	3eltr4d 2875	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
80	79	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
81	80	ralrimivva 3205	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ∩ cin 4089  ⟨cop 4834   × cxp 5648   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  compcco 17446  ExtStrCatcestrc 18302  Rngcrng 20380   RngHom crnghm 20670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-estrc 18303  df-mgm 18822  df-mgmhm 18887  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-grp 19153  df-ghm 19434  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-rnghm 20672

This theorem is used by:  rnghmsubcsetc  20891