Theorem rhmsubcrngclem2 20830

Description: Lemma 2 for rhmsubcrngc 20831. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngclem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcrngclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝜑)
2	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
3		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
5		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
6		rhmsubcrngc.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	6	rhmresel 20812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
9		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
11	9, 10	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
13		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
14	6	rhmresel 20812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
15	2, 12, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
16		rhmco 20651	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
17	8, 15, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
18		rhmsubcrngc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
19		rhmsubcrngc.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
21	20	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
23		rhmsubcrngc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
24	23	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
25		elinel2 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
26	24, 25	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))
27	26	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
28	27	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
29	23	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
30		elinel2 4151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31	29, 30	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
33	32	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑈))
34	33	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑈))
35	34	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
36	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	23	eleq2d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
38		elinel2 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
39	37, 38	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝑈))
40	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝑈))
41	40	adantld 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝑈))
42	41	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑈)
44		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝜑)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝜑)
46	9	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
47	46	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
50	45, 48, 49, 14	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
51		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
52		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
53	51, 52	rhmf 20627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
54	50, 53	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
55	54	exp31 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
57	56	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
58	57	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
59	58	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
60	59	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
61	7	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
62		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
63	52, 62	rhmf 20627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
64	61, 63	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
65	64	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
66	65	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
67	66	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
68	67	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
69	18, 21, 22, 28, 36, 43, 60, 68	rngcco 20790	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
70	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
71	70	oveqdr 7444	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧))
72		ovres 7582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
73	72	ad2ant2l 759	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
74	71, 73	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
75	74	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
76	17, 69, 75	3eltr4d 2877	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
77	76	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
78	77	ralrimivva 3207	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∩ cin 3901  ⟨cop 4593   × cxp 5657   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  compcco 17358  Ringcrg 20373   RingHom crh 20611  RngCatcrngc 20779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-resc 17904  df-estrc 18215  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-ghm 19342  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-rnghm 20578  df-rhm 20614  df-rngc 20780

This theorem is used by:  rhmsubcrngc  20831