Theorem rhmsubcrngclem2 20627

Description: Lemma 2 for rhmsubcrngc 20628. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngclem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcrngclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝜑)
2	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
5		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
6		rhmsubcrngc.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7	6	rhmresel 20609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
11	9, 10	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
13		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
14	6	rhmresel 20609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
15	2, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
16		rhmco 20461	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
17	8, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
18		rhmsubcrngc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
19		rhmsubcrngc.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
21	20	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
22		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
23		rhmsubcrngc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
24	23	eleq2d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
25		elinel2 4177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
26	24, 25	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))
27	26	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
28	27	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
29	23	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
30		elinel2 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31	29, 30	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑈))
33	32	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑈))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑈))
35	34	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	23	eleq2d 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
38		elinel2 4177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
39	37, 38	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝑈))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝑈))
41	40	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝑈))
42	41	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑈)
44		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝜑)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝜑)
46	9	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
47	46	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
50	45, 48, 49, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
51		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
52		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
53	51, 52	rhmf 20445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
54	50, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
55	54	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
57	56	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
58	57	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
60	59	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
61	7	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
62		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
63	52, 62	rhmf 20445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
64	61, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
65	64	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
66	65	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
67	66	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
68	67	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
69	18, 21, 22, 28, 36, 43, 60, 68	rngcco 20587	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
70	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
71	70	oveqdr 7433	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧))
72		ovres 7573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
73	72	ad2ant2l 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
74	71, 73	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
75	74	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
76	17, 69, 75	3eltr4d 2849	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
77	76	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
78	77	ralrimivva 3187	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∩ cin 3925  ⟨cop 4607   × cxp 5652   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  compcco 17283  Ringcrg 20193   RingHom crh 20429  RngCatcrngc 20576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-resc 17824  df-estrc 18135  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-ghm 19196  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-rnghm 20396  df-rhm 20432  df-rngc 20577

This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  20628