MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmsubcrngclem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmsubcrngclem2 20604
Description: Lemma 2 for rhmsubcrngc 20605. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rhmsubcrngc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rhmsubcrngc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rhmsubcrngc.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcrngclem2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)
Proof of Theorem rhmsubcrngclem2
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
21ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ πœ‘)
3 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))
43adantr 479 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))
5 simprr 771 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
6 rhmsubcrngc.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
76rhmresel 20586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
82, 4, 5, 7syl3anc 1368 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
9 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
10 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
119, 10anim12i 611 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1211adantr 479 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
13 simprl 769 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
146rhmresel 20586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))
152, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))
16 rhmco 20444 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
178, 15, 16syl2anc 582 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
18 rhmsubcrngc.c . . . . 5 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
19 rhmsubcrngc.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2019adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2120ad2antrr 724 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
22 eqid 2725 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
23 rhmsubcrngc.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
2423eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
25 elinel2 4195 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2624, 25biimtrdi 252 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
2726imp 405 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2827ad2antrr 724 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2923eleq2d 2811 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
30 elinel2 4195 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3129, 30biimtrdi 252 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3231adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3332com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3433adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3534impcom 406 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3635adantr 479 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3723eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
38 elinel2 4195 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
3937, 38biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4039adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4140adantld 489 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4241imp 405 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4342adantr 479 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
44 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ πœ‘)
469anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
4746ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
4847adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
49 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
5045, 48, 49, 14syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))
51 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
52 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘¦) = (Baseβ€˜π‘¦)
5351, 52rhmf 20428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5554exp31 418 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
5655adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
5756impcom 406 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5857com12 32 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5958adantr 479 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6059impcom 406 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
6173expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
62 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘§) = (Baseβ€˜π‘§)
6352, 62rhmf 20428 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6564ex 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6665adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6766adantld 489 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6867imp 405 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6918, 21, 22, 28, 36, 43, 60, 68rngcco 20564 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
706adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
7170oveqdr 7445 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧))
72 ovres 7585 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
7372ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
7471, 73eqtrd 2765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
7574adantr 479 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
7617, 69, 753eltr4d 2840 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
7776ralrimivva 3191 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
7877ralrimivva 3191 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   ∩ cin 3944  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  Basecbs 17179  compcco 17244  Ringcrg 20177   RingHom crh 20412  RngCatcrngc 20553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-resc 17793  df-estrc 18112  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-ghm 19172  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-rnghm 20379  df-rhm 20415  df-rngc 20554
This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  20605
  Copyright terms: Public domain W3C validator