MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmsubcrngclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcrngclem2 20684
Description: Lemma 2 for rhmsubcrngc 20685. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcrngc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcrngclem2 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcrngclem2
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝜑)
21ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
3 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
43adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
5 simprr 773 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
6 rhmsubcrngc.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
76rhmresel 20666 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
82, 4, 5, 7syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
9 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
10 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → 𝑦𝐵)
119, 10anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1211adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
13 simprl 771 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
146rhmresel 20666 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
152, 12, 13, 14syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
16 rhmco 20518 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
178, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
18 rhmsubcrngc.c . . . . 5 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
19 rhmsubcrngc.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
2120ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈𝑉)
22 eqid 2735 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
23 rhmsubcrngc.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2423eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
25 elinel2 4212 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥𝑈)
2624, 25biimtrdi 253 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥𝑈))
2726imp 406 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
2827ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥𝑈)
2923eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
30 elinel2 4212 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑦𝑈)
3129, 30biimtrdi 253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3332com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑦𝑈))
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑦𝑈))
3534impcom 407 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝑈)
3635adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦𝑈)
3723eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
38 elinel2 4212 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑧𝑈)
3937, 38biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧𝑈))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑧𝐵𝑧𝑈))
4140adantld 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → 𝑧𝑈))
4241imp 406 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝑈)
4342adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧𝑈)
44 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → 𝜑)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝜑)
469anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
4746ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
5045, 48, 49, 14syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
51 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
52 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
5351, 52rhmf 20502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5554exp31 419 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
5756impcom 407 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5857com12 32 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5958adantr 480 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
6059impcom 407 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
6173expa 1117 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
62 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
6352, 62rhmf 20502 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6564ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6665adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6766adantld 490 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6867imp 406 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6918, 21, 22, 28, 36, 43, 60, 68rngcco 20644 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔𝑓))
706adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7170oveqdr 7459 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧))
72 ovres 7599 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑧𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7372ad2ant2l 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7471, 73eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7574adantr 480 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7617, 69, 753eltr4d 2854 . . 3 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
7776ralrimivva 3200 . 2 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
7877ralrimivva 3200 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cin 3962  cop 4637   × cxp 5687  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  compcco 17310  Ringcrg 20251   RingHom crh 20486  RngCatcrngc 20633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-resc 17859  df-estrc 18178  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-rnghm 20453  df-rhm 20489  df-rngc 20634
This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  20685
  Copyright terms: Public domain W3C validator