Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcifuestrc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcifuestrc 46885
Description: The "inclusion functor" from the category of non-unital rings into the category of extensible structures. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcifuestrc.r 𝑅 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcifuestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
rngcifuestrc.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rngcifuestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcifuestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
rngcifuestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHomo 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
rngcifuestrc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rngcifuestrc
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
2 rngcifuestrc.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 rngcifuestrc.r . . . . . . 7 𝑅 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
4 rngcifuestrc.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
53, 4, 2rngcbas 46853 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
6 incom 4201 . . . . . 6 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
75, 6eqtrdi 2788 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
8 eqid 2732 . . . . . 6 (Hom β€˜π‘…) = (Hom β€˜π‘…)
93, 4, 2, 8rngchomfval 46854 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
101, 2, 7, 9rnghmsubcsetc 46865 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
1110idi 1 . . 3 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
12 eqid 2732 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))
13 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))
14 rngcifuestrc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
153, 2, 5, 9rngcval 46850 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))
1615fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
174, 16eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
1817reseq2d 5981 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))))
1914, 18eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))))
20 rngcifuestrc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHomo 𝑦))))
2117adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
229oveqdr 7436 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦))
23 ovres 7572 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ RngHomo 𝑦))
2423adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ RngHomo 𝑦))
2522, 24eqtr2d 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ RngHomo 𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))
2625reseq2d 5981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHomo 𝑦)) = ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦)))
2717, 21, 26mpoeq123dva 7482 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHomo 𝑦))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))))
2820, 27eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))))
2911, 12, 13, 19, 28inclfusubc 46631 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝐺)
30 rngcifuestrc.e . . . . 5 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
3130a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
3215, 31oveq12d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Func 𝐸) = (((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
3332breqd 5159 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺 ↔ 𝐹(((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝐺))
3429, 33mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   class class class wbr 5148   I cid 5573   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Basecbs 17143  Hom chom 17207   β†Ύcat cresc 17754  Subcatcsubc 17755   Func cfunc 17803  ExtStrCatcestrc 18072  Rngcrng 46638   RngHomo crngh 46673  RngCatcrngc 46845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-cat 17611  df-cid 17612  df-homf 17613  df-ssc 17756  df-resc 17757  df-subc 17758  df-func 17807  df-idfu 17808  df-full 17854  df-fth 17855  df-estrc 18073  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-ghm 19089  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-mgmhm 46539  df-rng 46639  df-rnghomo 46675  df-rngc 46847
This theorem is referenced by:  funcrngcsetcALT  46887
  Copyright terms: Public domain W3C validator