MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcifuestrc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcifuestrc 20576
Description: The "inclusion functor" from the category of non-unital rings into the category of extensible structures. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcifuestrc.r 𝑅 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcifuestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
rngcifuestrc.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rngcifuestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcifuestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
rngcifuestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
rngcifuestrc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rngcifuestrc
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . 5 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
2 rngcifuestrc.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 rngcifuestrc.r . . . . . . 7 𝑅 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
4 rngcifuestrc.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
53, 4, 2rngcbas 20558 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
6 incom 4195 . . . . . 6 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
75, 6eqtrdi 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
8 eqid 2725 . . . . . 6 (Hom β€˜π‘…) = (Hom β€˜π‘…)
93, 4, 2, 8rngchomfval 20559 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) = ( RngHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
101, 2, 7, 9rnghmsubcsetc 20570 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
1110idi 1 . . 3 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
12 eqid 2725 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))
13 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))
14 rngcifuestrc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
153, 2, 5, 9rngcval 20555 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))
1615fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
174, 16eqtrid 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
1817reseq2d 5979 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))))
1914, 18eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))))
20 rngcifuestrc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHom 𝑦))))
2117adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
229oveqdr 7444 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯( RngHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦))
23 ovres 7584 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RngHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ RngHom 𝑦))
2423adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( RngHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ RngHom 𝑦))
2522, 24eqtr2d 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ RngHom 𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))
2625reseq2d 5979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHom 𝑦)) = ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦)))
2717, 21, 26mpoeq123dva 7491 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHom 𝑦))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))))
2820, 27eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))))
2911, 12, 13, 19, 28inclfusubc 17929 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝐺)
30 rngcifuestrc.e . . . . 5 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
3130a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
3215, 31oveq12d 7434 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Func 𝐸) = (((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
3332breqd 5154 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺 ↔ 𝐹(((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝐺))
3429, 33mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3938   class class class wbr 5143   I cid 5569   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Basecbs 17179  Hom chom 17243   β†Ύcat cresc 17790  Subcatcsubc 17791   Func cfunc 17839  ExtStrCatcestrc 18111  Rngcrng 20096   RngHom crnghm 20377  RngCatcrngc 20553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-cat 17647  df-cid 17648  df-homf 17649  df-ssc 17792  df-resc 17793  df-subc 17794  df-func 17843  df-idfu 17844  df-full 17892  df-fth 17893  df-estrc 18112  df-mgm 18599  df-mgmhm 18651  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-ghm 19172  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-rnghm 20379  df-rngc 20554
This theorem is referenced by:  funcrngcsetcALT  20578
  Copyright terms: Public domain W3C validator