MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcifuestrc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcifuestrc 20535
Description: The "inclusion functor" from the category of non-unital rings into the category of extensible structures. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcifuestrc.r 𝑅 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcifuestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
rngcifuestrc.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rngcifuestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcifuestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
rngcifuestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
rngcifuestrc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem rngcifuestrc
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
2 rngcifuestrc.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 rngcifuestrc.r . . . . . . 7 𝑅 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
4 rngcifuestrc.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
53, 4, 2rngcbas 20517 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
6 incom 4196 . . . . . 6 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
75, 6eqtrdi 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
8 eqid 2726 . . . . . 6 (Hom β€˜π‘…) = (Hom β€˜π‘…)
93, 4, 2, 8rngchomfval 20518 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) = ( RngHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
101, 2, 7, 9rnghmsubcsetc 20529 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
1110idi 1 . . 3 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜π‘…) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
12 eqid 2726 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))
13 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))
14 rngcifuestrc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
153, 2, 5, 9rngcval 20514 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))
1615fveq2d 6889 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
174, 16eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
1817reseq2d 5975 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))))
1914, 18eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)))))
20 rngcifuestrc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHom 𝑦))))
2117adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))))
229oveqdr 7433 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯( RngHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦))
23 ovres 7570 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RngHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ RngHom 𝑦))
2423adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( RngHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ RngHom 𝑦))
2522, 24eqtr2d 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ RngHom 𝑦) = (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))
2625reseq2d 5975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHom 𝑦)) = ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦)))
2717, 21, 26mpoeq123dva 7479 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RngHom 𝑦))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))))
2820, 27eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…))) ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘…)𝑦))))
2911, 12, 13, 19, 28inclfusubc 17903 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝐺)
30 rngcifuestrc.e . . . . 5 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
3130a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
3215, 31oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Func 𝐸) = (((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
3332breqd 5152 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺 ↔ 𝐹(((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat (Hom β€˜π‘…)) Func (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝐺))
3429, 33mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑅 Func 𝐸)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   class class class wbr 5141   I cid 5566   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  Hom chom 17217   β†Ύcat cresc 17764  Subcatcsubc 17765   Func cfunc 17813  ExtStrCatcestrc 18085  Rngcrng 20057   RngHom crnghm 20336  RngCatcrngc 20512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-cat 17621  df-cid 17622  df-homf 17623  df-ssc 17766  df-resc 17767  df-subc 17768  df-func 17817  df-idfu 17818  df-full 17866  df-fth 17867  df-estrc 18086  df-mgm 18573  df-mgmhm 18625  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-rnghm 20338  df-rngc 20513
This theorem is referenced by:  funcrngcsetcALT  20537
  Copyright terms: Public domain W3C validator