Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcsetclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcsetclem2 44438
Description: Lemma 2 for rhmsubcsetc 44439. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcsetc.c 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rhmsubcsetc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcsetc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcsetc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcsetclem2 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcsetclem2
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝜑)
21adantr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝜑)
32adantr 483 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
4 simpr 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
54adantr 483 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
6 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
76adantl 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
8 rhmsubcsetc.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
98rhmresel 44426 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
103, 5, 7, 9syl3anc 1367 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
11 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
12 simpl 485 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → 𝑦𝐵)
1311, 12anim12i 614 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1413adantr 483 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
15 simprl 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
168rhmresel 44426 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
173, 14, 15, 16syl3anc 1367 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
18 rhmco 19468 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
1910, 17, 18syl2anc 586 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
20 rhmsubcsetc.c . . . . 5 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
21 rhmsubcsetc.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
2221ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈𝑉)
23 eqid 2820 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
24 rhmsubcsetc.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2524eleq2d 2896 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
26 elinel2 4151 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥𝑈)
2725, 26syl6bi 255 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥𝑈))
2827imp 409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
2928adantr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝑈)
3029adantr 483 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥𝑈)
3124eleq2d 2896 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
32 elinel2 4151 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑦𝑈)
3331, 32syl6bi 255 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3433adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑦𝑈))
3635adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑦𝑈))
3736impcom 410 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝑈)
3837adantr 483 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦𝑈)
3924eleq2d 2896 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
40 elinel2 4151 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑧𝑈)
4139, 40syl6bi 255 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧𝑈))
4241adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑧𝐵𝑧𝑈))
4342adantld 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → 𝑧𝑈))
4443imp 409 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝑈)
4544adantr 483 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧𝑈)
46 eqid 2820 . . . . 5 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
47 eqid 2820 . . . . 5 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
48 eqid 2820 . . . . 5 (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
49 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → 𝜑)
5049adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝜑)
5111anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
5251ancoms 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
5352adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
54 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
5550, 53, 54, 16syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
5646, 47rhmf 19457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5857ex 415 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5958ex 415 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
6059adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
6160impcom 410 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
6261com12 32 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
6362adantr 483 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
6463impcom 410 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
6593expa 1114 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
6647, 48rhmf 19457 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6867ex 415 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6968adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
7069adantld 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
7170imp 409 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
7220, 22, 23, 30, 38, 45, 46, 47, 48, 64, 71estrcco 17359 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔𝑓))
738adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7473oveqdr 7161 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧))
75 ovres 7292 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑧𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7675ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7774, 76eqtrd 2855 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7877adantr 483 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7919, 72, 783eltr4d 2926 . . 3 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
8079ralrimivva 3178 . 2 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
8180ralrimivva 3178 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  cin 3912  cop 4549   × cxp 5529  cres 5533  ccom 5535  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  compcco 16556  ExtStrCatcestrc 17351  Ringcrg 19276   RingHom crh 19443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-estrc 17352  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-grp 18085  df-ghm 18335  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-rnghom 19446
This theorem is referenced by:  rhmsubcsetc  44439
  Copyright terms: Public domain W3C validator