Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcsetclem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmsubcsetclem2 46873
Description: Lemma 2 for rhmsubcsetc 46874. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcsetc.c 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
rhmsubcsetc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rhmsubcsetc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rhmsubcsetc.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcsetclem2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)
Proof of Theorem rhmsubcsetclem2
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
21adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
32adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ πœ‘)
4 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))
54adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
76adantl 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
8 rhmsubcsetc.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
98rhmresel 46861 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
103, 5, 7, 9syl3anc 1371 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
11 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
12 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1311, 12anim12i 613 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
1413adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
15 simprl 769 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
168rhmresel 46861 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))
173, 14, 15, 16syl3anc 1371 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))
18 rhmco 20268 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
1910, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
20 rhmsubcsetc.c . . . . 5 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
21 rhmsubcsetc.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2221ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
23 eqid 2732 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
24 rhmsubcsetc.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
2524eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
26 elinel2 4195 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2725, 26syl6bi 252 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
2827imp 407 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
2928adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3029adantr 481 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3124eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑦 ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
32 elinel2 4195 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3331, 32syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3736impcom 408 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3837adantr 481 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3924eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
40 elinel2 4195 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4139, 40syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4241adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4342adantld 491 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4443imp 407 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4544adantr 481 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
47 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘¦) = (Baseβ€˜π‘¦)
48 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘§) = (Baseβ€˜π‘§)
49 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ πœ‘)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ πœ‘)
5111anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5251ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
5550, 53, 54, 16syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))
5646, 47rhmf 20255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5857ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5958ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
6160impcom 408 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6261com12 32 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6362adantr 481 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
6463impcom 408 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
6593expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
6647, 48rhmf 20255 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6867ex 413 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6968adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
7069adantld 491 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
7170imp 407 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
7220, 22, 23, 30, 38, 45, 46, 47, 48, 64, 71estrcco 18077 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
738adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
7473oveqdr 7433 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧))
75 ovres 7569 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
7675ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
7774, 76eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
7877adantr 481 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
7919, 72, 783eltr4d 2848 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
8079ralrimivva 3200 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
8180ralrimivva 3200 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3946  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  compcco 17205  ExtStrCatcestrc 18069  Ringcrg 20049   RingHom crh 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-estrc 18070  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-rnghom 20243
This theorem is referenced by:  rhmsubcsetc  46874
  Copyright terms: Public domain W3C validator