Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcsetclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcsetclem2 43030
Description: Lemma 2 for rhmsubcsetc 43031. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcsetc.c 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rhmsubcsetc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcsetc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcsetc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcsetclem2 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcsetclem2
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝜑)
21adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝜑)
32adantr 474 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
4 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
54adantr 474 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
6 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
76adantl 475 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
8 rhmsubcsetc.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
98rhmresel 43018 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
103, 5, 7, 9syl3anc 1439 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
11 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
12 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → 𝑦𝐵)
1311, 12anim12i 606 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1413adantr 474 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
15 simprl 761 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
168rhmresel 43018 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
173, 14, 15, 16syl3anc 1439 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
18 rhmco 19126 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
1910, 17, 18syl2anc 579 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
20 rhmsubcsetc.c . . . . 5 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
21 rhmsubcsetc.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
2221ad3antrrr 720 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈𝑉)
23 eqid 2777 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
24 rhmsubcsetc.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2524eleq2d 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
26 elinel2 4022 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥𝑈)
2725, 26syl6bi 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥𝑈))
2827imp 397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
2928adantr 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝑈)
3029adantr 474 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥𝑈)
3124eleq2d 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
32 elinel2 4022 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑦𝑈)
3331, 32syl6bi 245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3433adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑦𝑈))
3635adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑦𝑈))
3736impcom 398 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝑈)
3837adantr 474 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦𝑈)
3924eleq2d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
40 elinel2 4022 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑧𝑈)
4139, 40syl6bi 245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧𝑈))
4241adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑧𝐵𝑧𝑈))
4342adantld 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → 𝑧𝑈))
4443imp 397 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝑈)
4544adantr 474 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧𝑈)
46 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
47 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
48 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
49 simprl 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → 𝜑)
5049adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝜑)
5111anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
5251ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
5352adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
54 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
5550, 53, 54, 16syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
5646, 47rhmf 19115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5857ex 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5958ex 403 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
6059adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
6160impcom 398 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
6261com12 32 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
6362adantr 474 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
6463impcom 398 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
6593expa 1108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
6647, 48rhmf 19115 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6867ex 403 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6968adantlr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
7069adantld 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
7170imp 397 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
7220, 22, 23, 30, 38, 45, 46, 47, 48, 64, 71estrcco 17155 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔𝑓))
738adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7473oveqdr 6950 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧))
75 ovres 7077 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑧𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7675ad2ant2l 736 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7774, 76eqtrd 2813 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7877adantr 474 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7919, 72, 783eltr4d 2873 . . 3 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
8079ralrimivva 3152 . 2 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
8180ralrimivva 3152 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  cin 3790  cop 4403   × cxp 5353  cres 5357  ccom 5359  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  compcco 16350  ExtStrCatcestrc 17147  Ringcrg 18934   RingHom crh 19101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-estrc 17148  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-ghm 18042  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-rnghom 19104
This theorem is referenced by:  rhmsubcsetc  43031
  Copyright terms: Public domain W3C validator