Theorem padicfval 27525

Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
padicval.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicfval	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → 𝑞 = 𝑃)
2		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑞 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
3	2	negeqd 11357	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → -(𝑞 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑥))
4	1, 3	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))
5	4	ifeq2d 4497	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))
6	5	mpteq2dv 5186	. 2 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))
7		padicval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
8		qex 12862	. . 3 ⊢ ℚ ∈ V
9	8	mptex 7159	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 6930	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4476   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  -cneg 11348  ℚcq 12849  ↑cexp 13968  ℙcprime 16582   pCnt cpc 16748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-z 12472  df-q 12850

This theorem is referenced by:  padicval  27526  padicabvf  27540