Theorem padicfval 27562

Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
padicval.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicfval	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → 𝑞 = 𝑃)
2		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑞 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
3	2	negeqd 11485	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → -(𝑞 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑥))
4	1, 3	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))
5	4	ifeq2d 4549	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))
6	5	mpteq2dv 5250	. 2 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))
7		padicval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
8		qex 12976	. . 3 ⊢ ℚ ∈ V
9	8	mptex 7235	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 7005	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139  -cneg 11476  ℚcq 12963  ↑cexp 14059  ℙcprime 16642   pCnt cpc 16805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-z 12590  df-q 12964

This theorem is referenced by:  padicval  27563  padicabvf  27577