Theorem padicfval 27955

Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
padicval.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicfval	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑ -(𝑃 pCnt 𝑥)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥, 𝑞)

Proof of Theorem padicfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → 𝑞 = 𝑃)
2		oveq1 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑞 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
3	2	negeqd 11561	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → -(𝑞 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑥))
4	1, 3	oveq12d 7445	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑ -(𝑃 pCnt 𝑥)))
5	4	ifeq2d 4505	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑ -(𝑃 pCnt 𝑥))))
6	5	mpteq2dv 5201	. 2 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑ -(𝑃 pCnt 𝑥)))))
7		padicval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑ -(𝑞 pCnt 𝑥)))))
8		qex 13098	. . 3 ⊢ ℚ ∈ V
9	8	mptex 7236	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑ -(𝑃 pCnt 𝑥)))) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 7001	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑ -(𝑃 pCnt 𝑥)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ifcif 4484   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  0cc0 11210   -cneg 11552  ℚcq 13085  ↑cexp 14214  ℙcprime 16858   pCnt cpc 17026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-z 12704  df-q 13086

This theorem is used by:  padicval  27956  padicabvf  27970