Theorem padicfval 26191

Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
padicval.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicfval	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑞,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → 𝑞 = 𝑃)
2		oveq1 7162	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑞 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑥))
3	2	negeqd 10879	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → -(𝑞 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑥))
4	1, 3	oveq12d 7173	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))
5	4	ifeq2d 4485	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥))) = if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))
6	5	mpteq2dv 5161	. 2 ⊢ (𝑞 = 𝑃 → (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))
7		padicval.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
8		qex 12359	. . 3 ⊢ ℚ ∈ V
9	8	mptex 6985	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 6767	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ifcif 4466   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  -cneg 10870  ℚcq 12347  ↑cexp 13428  ℙcprime 16014   pCnt cpc 16172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-z 11981  df-q 12348

This theorem is referenced by:  padicval  26192  padicabvf  26206