Theorem padicval 27834

Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
padicval.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicval	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑃   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥, 𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem padicval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		padicval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
2	1	padicfval 27833	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))
3	2	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋))
4		eqeq1 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
5		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑋))
6	5	negeqd 11468	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -(𝑃 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑋))
7	6	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)))
8	4, 7	ifbieq2d 4516	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
9		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))
10		c0ex 11217	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
11		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)) ∈ V
12	10, 11	ifex 4540	. . 3 ⊢ if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))) ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt 6993	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
14	3, 13	sylan9eq 2820	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  -cneg 11459  ℚcq 12990  ↑cexp 14117  ℙcprime 16753   pCnt cpc 16920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-z 12609  df-q 12991

This theorem is used by:  padicabvcxp  27849  ostth3  27855