Theorem padicval 25762

Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
padicval.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicval	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑃   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem padicval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		padicval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
2	1	padicfval 25761	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))
3	2	fveq1d 6450	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋))
4		eqeq1 2782	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
5		oveq2 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑋))
6	5	negeqd 10618	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -(𝑃 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑋))
7	6	oveq2d 6940	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)))
8	4, 7	ifbieq2d 4332	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
9		eqid 2778	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))
10		c0ex 10372	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
11		ovex 6956	. . . 4 ⊢ (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)) ∈ V
12	10, 11	ifex 4355	. . 3 ⊢ if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))) ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt 6544	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
14	3, 13	sylan9eq 2834	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ifcif 4307   ↦ cmpt 4967  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  -cneg 10609  ℚcq 12099  ↑cexp 13182  ℙcprime 15794   pCnt cpc 15949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-z 11733  df-q 12100

This theorem is referenced by:  padicabvcxp  25777  ostth3  25783