Theorem padicval 27584

Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
padicval.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
padicval	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑃   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem padicval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		padicval.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
2	1	padicfval 27583	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽‘𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))
3	2	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋))
4		eqeq1 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
5		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑋))
6	5	negeqd 11374	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → -(𝑃 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑋))
7	6	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)))
8	4, 7	ifbieq2d 4506	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))
10		c0ex 11126	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
11		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)) ∈ V
12	10, 11	ifex 4530	. . 3 ⊢ if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))) ∈ V
13	8, 9, 12	fvmpt 6941	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
14	3, 13	sylan9eq 2791	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  -cneg 11365  ℚcq 12861  ↑cexp 13984  ℙcprime 16598   pCnt cpc 16764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-z 12489  df-q 12862

This theorem is referenced by:  padicabvcxp  27599  ostth3  27605