Theorem pntibndlem2a 27950

Description: Lemma for pntibndlem2 27951. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c	⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem2a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑎,𝑥,𝐸   𝑢,𝐿,𝑥   𝑁,𝑎,𝑢,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥   𝑢,𝐶,𝑥   𝑢,𝑅,𝑥   𝑢,𝑍,𝑥   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑥, 𝑢, 𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥, 𝑢, 𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem2.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12380	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1red 11339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		ioossre 13568	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		pntibnd.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntibndlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntibndlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
8	5, 6, 7	pntibndlem1 27949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9	4, 8	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10		pntibndlem3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
11	4, 10	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
13	3, 12	readdcld 11368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
14	13, 2	remulcld 11369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
15		elicc2 13572	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
16	2, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
17	16	biimpa 482	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   ≤ cle 11374   − cmin 11571   / cdiv 12003  ℕcn 12365  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  ℝ⁺crp 13150  (,)cioo 13506  [,]cicc 13509  abscabs 15433  expce 16259  logclog 26915  ψcchp 27453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-rp 13151  df-ioo 13510  df-icc 13513

This theorem is used by:  pntibndlem2  27951