MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem2a 27648
Description: Lemma for pntibndlem2 27649. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
pntibndlem2a ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑎,𝑥,𝐸   𝑢,𝐿,𝑥   𝑁,𝑎,𝑢,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥   𝑢,𝐶,𝑥   𝑢,𝑅,𝑥   𝑢,𝑍,𝑥   𝜑,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem2a
StepHypRef Expression
1 pntibndlem2.10 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 12278 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3 1red 11259 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4 ioossre 13444 . . . . . . 7 (0(,)1) ⊆ ℝ
5 pntibnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6 pntibndlem1.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 pntibndlem1.l . . . . . . . 8 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
85, 6, 7pntibndlem1 27647 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
94, 8sselid 3992 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
10 pntibndlem3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
114, 10sselid 3992 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
129, 11remulcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
133, 12readdcld 11287 . . . 4 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
1413, 2remulcld 11288 . . 3 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
15 elicc2 13448 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
162, 14, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
1716biimpa 476 1 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁𝑢𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  abscabs 15269  expce 16093  logclog 26610  ψcchp 27150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-icc 13390
This theorem is referenced by:  pntibndlem2  27649
  Copyright terms: Public domain W3C validator