Theorem pntibndlem2a 27899

Description: Lemma for pntibndlem2 27900. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c	⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem2a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑎,𝑥,𝐸   𝑢,𝐿,𝑥   𝑁,𝑎,𝑢,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥   𝑢,𝐶,𝑥   𝑢,𝑅,𝑥   𝑢,𝑍,𝑥   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑥, 𝑢, 𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥, 𝑢, 𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem2.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12331	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1red 11290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		ioossre 13519	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		pntibnd.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntibndlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntibndlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
8	5, 6, 7	pntibndlem1 27898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9	4, 8	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10		pntibndlem3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
11	4, 10	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
13	3, 12	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
14	13, 2	remulcld 11320	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
15		elicc2 13523	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
16	2, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
17	16	biimpa 482	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   ≤ cle 11325   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  ℝ⁺crp 13101  (,)cioo 13457  [,]cicc 13460  abscabs 15381  expce 16207  logclog 26864  ψcchp 27402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-rp 13102  df-ioo 13461  df-icc 13464

This theorem is used by:  pntibndlem2  27900