Theorem pntibndlem2a 27735

Description: Lemma for pntibndlem2 27736. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c	⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem2a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑎,𝑥,𝐸   𝑢,𝐿,𝑥   𝑁,𝑎,𝑢,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥   𝑢,𝐶,𝑥   𝑢,𝑅,𝑥   𝑢,𝑍,𝑥   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem2.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1red 11210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		ioossre 13435	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		pntibnd.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntibndlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntibndlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
8	5, 6, 7	pntibndlem1 27734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9	4, 8	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10		pntibndlem3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
11	4, 10	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
13	3, 12	readdcld 11239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
14	13, 2	remulcld 11240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
15		elicc2 13439	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
16	2, 14, 15	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
17	16	biimpa 481	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   ≤ cle 11245   − cmin 11442   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  ℝ⁺crp 13017  (,)cioo 13373  [,]cicc 13376  abscabs 15287  expce 16116  logclog 26700  ψcchp 27238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-rp 13018  df-ioo 13377  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  pntibndlem2  27736