Theorem pntibndlem2a 26174

Description: Lemma for pntibndlem2 26175. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c	⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem2.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem2a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑎,𝑥,𝐸   𝑢,𝐿,𝑥   𝑁,𝑎,𝑢,𝑥   𝑢,𝐴,𝑥   𝑢,𝐶,𝑥   𝑢,𝑅,𝑥   𝑢,𝑍,𝑥   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibndlem2.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 11640	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		1red 10631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		ioossre 12786	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
5		pntibnd.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntibndlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntibndlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
8	5, 6, 7	pntibndlem1 26173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9	4, 8	sseldi 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
10		pntibndlem3.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
11	4, 10	sseldi 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ)
13	3, 12	readdcld 10659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ)
14	13, 2	remulcld 10660	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ)
15		elicc2 12790	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
16	2, 14, 15	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))))
17	16	biimpa 480	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (𝑁[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁))) → (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 𝑢 ∧ 𝑢 ≤ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  abscabs 14585  expce 15407  logclog 25146  ψcchp 25678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  pntibndlem2  26175