Theorem prod2id 14992

Description: The second class argument to a product can be chosen so that it is always a set. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod2id	⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 ( I ‘𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prod2id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq2ii 14977	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ( I ‘𝐵) = ( I ‘( I ‘𝐵)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 ( I ‘𝐵))
2		fvex 6423	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝐵) ∈ V
3		fvi 6479	. . . . 5 ⊢ (( I ‘𝐵) ∈ V → ( I ‘( I ‘𝐵)) = ( I ‘𝐵))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ‘( I ‘𝐵)) = ( I ‘𝐵)
5	4	eqcomi 2807	. . 3 ⊢ ( I ‘𝐵) = ( I ‘( I ‘𝐵))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → ( I ‘𝐵) = ( I ‘( I ‘𝐵)))
7	1, 6	mprg 3106	1 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 ( I ‘𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3384   I cid 5218  ‘cfv 6100  ∏cprod 14969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-seq 13053  df-prod 14970

This theorem is referenced by:  prodfc  15009