Theorem prodfc 16025

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodfc	⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodfc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fvmpt2i 7007	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
3	2	prodeq2i 15998	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 ( I ‘𝐵)
4		nffvmpt1 6899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗)
5		nfcv 2928	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)
6		fveq2 6888	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘))
7	4, 5, 6	cbvprodi 15995	. 2 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)
8		prod2id 16008	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 ( I ‘𝐵)
9	3, 7, 8	3eqtr4i 2799	1 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ↦ cmpt 5197   I cid 5560  ‘cfv 6543  ∏cprod 15983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-prod 15984

This theorem is used by:  fprodf1o  16026  prodss  16027  fprodss  16028  fprodser  16029  fprodcl2lem  16030  fprodmul  16040  fproddiv  16041  fprodn0  16059  iprodclim3  16080  fprodefsum  16174