MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremnn0 12856
Description: Quotient and remainder of a nonnegative integer divided by a positive integer. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
Assertion
Ref Expression
quoremnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2 fldivnn0 12824 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
31, 2syl5eqel 2854 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4 nn0z 11600 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
5 quorem.2 . . . 4 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
61, 5quoremz 12855 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
74, 6sylan 569 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
8 simpl 468 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℤ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
98anim1i 602 . . . . 5 (((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℤ) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0))
109anasss 452 . . . 4 ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0)) → (𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0))
1110anim1i 602 . . 3 (((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
1211anasss 452 . 2 ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
133, 7, 12syl2anc 573 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791   + caddc 10139   · cmul 10141   < clt 10274  cmin 10466   / cdiv 10884  cn 11220  0cn0 11492  cz 11577  cfl 12792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fl 12794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator