MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremnn0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremnn0ALT 13826
Description: Alternate proof of quoremnn0 13825 not using quoremz 13824. TODO - Keep either quoremnn0ALT 13826 (if we don't keep quoremz 13824) or quoremnn0 13825? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 ๐‘„ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))
quorem.2 ๐‘… = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))
Assertion
Ref Expression
quoremnn0ALT ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 ๐‘„ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))
2 fldivnn0 13791 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
31, 2eqeltrid 2835 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•0)
4 quorem.2 . . 3 ๐‘… = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))
5 nnnn0 12483 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
65adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
76, 3nn0mulcld 12541 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„•0)
8 simpl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
93nn0cnd 12538 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
10 nncn 12224 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1110adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
12 nnne0 12250 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
1312adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โ‰  0)
149, 11, 13divcan3d 11999 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) = ๐‘„)
15 nn0nndivcl 12547 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
16 flle 13768 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
181, 17eqbrtrid 5182 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1914, 18eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
207nn0red 12537 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
21 nn0re 12485 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
23 nnre 12223 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2423adantl 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
25 nngt0 12247 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
2625adantl 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ต)
27 lediv1 12083 . . . . . 6 (((๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
2820, 22, 24, 26, 27syl112anc 1372 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
2919, 28mpbird 256 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด)
30 nn0sub2 12627 . . . 4 (((๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0)
317, 8, 29, 30syl3anc 1369 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0)
324, 31eqeltrid 2835 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
331oveq2i 7422 . . . . . 6 ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
34 fraclt1 13771 . . . . . . 7 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) < 1)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) < 1)
3633, 35eqbrtrid 5182 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„) < 1)
374oveq1i 7421 . . . . . 6 (๐‘… / ๐ต) = ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต)
38 nn0cn 12486 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
407nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
4110, 12jca 510 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
4241adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
43 divsubdir 11912 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)))
4514oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4644, 45eqtrd 2770 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4737, 46eqtrid 2782 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4810, 12dividd 11992 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
4948adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
5036, 47, 493brtr4d 5179 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต))
5132nn0red 12537 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
52 ltdiv1 12082 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐‘… < ๐ต โ†” (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต)))
5351, 24, 24, 26, 52syl112anc 1372 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… < ๐ต โ†” (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต)))
5450, 53mpbird 256 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… < ๐ต)
554oveq2i 7422 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…) = ((๐ต ยท ๐‘„) + (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)))
5640, 39pncan3d 11578 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) + (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))) = ๐ด)
5755, 56eqtr2id 2783 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))
5854, 57jca 510 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…)))
593, 32, 58jca31 513 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โŒŠcfl 13759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator