MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremnn0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremnn0ALT 13894
Description: Alternate proof of quoremnn0 13893 not using quoremz 13892. TODO - Keep either quoremnn0ALT 13894 (if we don't keep quoremz 13892) or quoremnn0 13893? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
Assertion
Ref Expression
quoremnn0ALT ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2 fldivnn0 13859 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
31, 2eqeltrid 2843 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4 quorem.2 . . 3 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
5 nnnn0 12531 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
76, 3nn0mulcld 12590 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0)
8 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
93nn0cnd 12587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
10 nncn 12272 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 nnne0 12298 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
149, 11, 13divcan3d 12046 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
15 nn0nndivcl 12596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
16 flle 13836 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
181, 17eqbrtrid 5183 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1914, 18eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
207nn0red 12586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
21 nn0re 12533 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23 nnre 12271 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 nngt0 12295 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
27 lediv1 12131 . . . . . 6 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2820, 22, 24, 26, 27syl112anc 1373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2919, 28mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
30 nn0sub2 12677 . . . 4 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
317, 8, 29, 30syl3anc 1370 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
324, 31eqeltrid 2843 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
331oveq2i 7442 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
34 fraclt1 13839 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3633, 35eqbrtrid 5183 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
374oveq1i 7441 . . . . . 6 (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
38 nn0cn 12534 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
3938adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
407nn0cnd 12587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
4110, 12jca 511 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4241adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43 divsubdir 11959 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4514oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4644, 45eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4737, 46eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4810, 12dividd 12039 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
4948adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5036, 47, 493brtr4d 5180 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
5132nn0red 12586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
52 ltdiv1 12130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5351, 24, 24, 26, 52syl112anc 1373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5450, 53mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
554oveq2i 7442 . . . 4 ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
5640, 39pncan3d 11621 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
5755, 56eqtr2id 2788 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
5854, 57jca 511 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
593, 32, 58jca31 514 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cfl 13827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fl 13829
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator