Theorem quoremnn0ALT 14037

Description: Alternate proof of quoremnn0 14036 not using quoremz 14035. TODO - Keep either quoremnn0ALT 14037 (if we don't keep quoremz 14035) or quoremnn0 14036? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
quorem.1	⊢ 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2	⊢ 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
quoremnn0ALT	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quorem.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2		fldivnn0 14002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
3	1, 2	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4		quorem.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
5		nnnn0 12653	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6, 3	nn0mulcld 12712	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0)
8		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
9	3	nn0cnd 12709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
10		nncn 12383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		nnne0 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
14	9, 11, 13	divcan3d 12138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
15		nn0nndivcl 12718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
16		flle 13979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
18	1, 17	eqbrtrid 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
19	14, 18	eqbrtrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
20	7	nn0red 12708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
21		nn0re 12655	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23		nnre 12382	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		nngt0 12409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
26	25	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
27		lediv1 12222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
28	20, 22, 24, 26, 27	syl112anc 1402	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
29	19, 28	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
30		nn0sub2 12800	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
31	7, 8, 29, 30	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
32	4, 31	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
33	1	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
34		fraclt1 13982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
35	15, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
36	33, 35	eqbrtrid 5146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
37	4	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
38		nn0cn 12656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	7	nn0cnd 12709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
41	10, 12	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
42	41	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43		divsubdir 12050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
45	14	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
46	44, 45	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
47	37, 46	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
48	10, 12	dividd 12131	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
49	48	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
50	36, 47, 49	3brtr4d 5143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
51	32	nn0red 12708	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
52		ltdiv1 12221	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
53	51, 24, 24, 26, 52	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
54	50, 53	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
55	4	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
56	40, 39	pncan3d 11711	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
57	55, 56	eqtr2id 2811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
58	54, 57	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
59	3, 32, 58	jca31 524	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ⌊cfl 13970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fl 13972

This theorem is used by: (None)