Theorem quoremnn0ALT 13761

Description: Alternate proof of quoremnn0 13760 not using quoremz 13759. TODO - Keep either quoremnn0ALT 13761 (if we don't keep quoremz 13759) or quoremnn0 13760? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
quorem.1	⊢ 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2	⊢ 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
quoremnn0ALT	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quorem.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2		fldivnn0 13726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
3	1, 2	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4		quorem.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
5		nnnn0 12391	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6, 3	nn0mulcld 12450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
9	3	nn0cnd 12447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
10		nncn 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		nnne0 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
14	9, 11, 13	divcan3d 11905	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
15		nn0nndivcl 12456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
16		flle 13703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
18	1, 17	eqbrtrid 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
19	14, 18	eqbrtrd 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
20	7	nn0red 12446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
21		nn0re 12393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23		nnre 12135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		nngt0 12159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
27		lediv1 11990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
28	20, 22, 24, 26, 27	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
29	19, 28	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
30		nn0sub2 12537	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
31	7, 8, 29, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
32	4, 31	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
33	1	oveq2i 7360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
34		fraclt1 13706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
35	15, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
36	33, 35	eqbrtrid 5127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
37	4	oveq1i 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
38		nn0cn 12394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	7	nn0cnd 12447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
41	10, 12	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
42	41	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43		divsubdir 11818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
45	14	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
46	44, 45	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
47	37, 46	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
48	10, 12	dividd 11898	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
49	48	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
50	36, 47, 49	3brtr4d 5124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
51	32	nn0red 12446	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
52		ltdiv1 11989	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
53	51, 24, 24, 26, 52	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
54	50, 53	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
55	4	oveq2i 7360	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
56	40, 39	pncan3d 11478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
57	55, 56	eqtr2id 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
58	54, 57	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
59	3, 32, 58	jca31 514	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ⌊cfl 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fl 13696

This theorem is referenced by: (None)