MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremnn0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremnn0ALT 13220
Description: Alternate proof of quoremnn0 13219 not using quoremz 13218. TODO - Keep either quoremnn0ALT 13220 (if we don't keep quoremz 13218) or quoremnn0 13219? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
Assertion
Ref Expression
quoremnn0ALT ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2 fldivnn0 13187 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
31, 2eqeltrid 2920 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4 quorem.2 . . 3 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
5 nnnn0 11892 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
65adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
76, 3nn0mulcld 11948 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0)
8 simpl 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
93nn0cnd 11945 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
10 nncn 11633 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
1110adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 nnne0 11659 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
1312adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
149, 11, 13divcan3d 11408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
15 nn0nndivcl 11954 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
16 flle 13164 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
181, 17eqbrtrid 5084 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1914, 18eqbrtrd 5071 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
207nn0red 11944 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
21 nn0re 11894 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23 nnre 11632 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2423adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 nngt0 11656 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
2625adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
27 lediv1 11492 . . . . . 6 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2820, 22, 24, 26, 27syl112anc 1371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2919, 28mpbird 260 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
30 nn0sub2 12031 . . . 4 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
317, 8, 29, 30syl3anc 1368 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
324, 31eqeltrid 2920 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
331oveq2i 7151 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
34 fraclt1 13167 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3633, 35eqbrtrid 5084 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
374oveq1i 7150 . . . . . 6 (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
38 nn0cn 11895 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
3938adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
407nn0cnd 11945 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
4110, 12jca 515 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4241adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43 divsubdir 11321 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4514oveq2d 7156 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4644, 45eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4737, 46syl5eq 2871 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4810, 12dividd 11401 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
4948adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5036, 47, 493brtr4d 5081 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
5132nn0red 11944 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
52 ltdiv1 11491 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5351, 24, 24, 26, 52syl112anc 1371 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5450, 53mpbird 260 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
554oveq2i 7151 . . . 4 ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
5640, 39pncan3d 10987 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
5755, 56syl5req 2872 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
5854, 57jca 515 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
593, 32, 58jca31 518 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013   class class class wbr 5049  cfv 6338  (class class class)co 7140  cc 10522  cr 10523  0cc0 10524  1c1 10525   + caddc 10527   · cmul 10529   < clt 10662  cle 10663  cmin 10857   / cdiv 11284  cn 11625  0cn0 11885  cfl 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13157
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator