MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremnn0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremnn0ALT 13762
Description: Alternate proof of quoremnn0 13761 not using quoremz 13760. TODO - Keep either quoremnn0ALT 13762 (if we don't keep quoremz 13760) or quoremnn0 13761? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
Assertion
Ref Expression
quoremnn0ALT ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2 fldivnn0 13727 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
31, 2eqeltrid 2842 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4 quorem.2 . . 3 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
5 nnnn0 12420 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
76, 3nn0mulcld 12478 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0)
8 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
93nn0cnd 12475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
10 nncn 12161 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 nnne0 12187 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
149, 11, 13divcan3d 11936 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
15 nn0nndivcl 12484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
16 flle 13704 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
181, 17eqbrtrid 5140 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1914, 18eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
207nn0red 12474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
21 nn0re 12422 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23 nnre 12160 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 nngt0 12184 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
27 lediv1 12020 . . . . . 6 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2820, 22, 24, 26, 27syl112anc 1374 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2919, 28mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
30 nn0sub2 12564 . . . 4 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
317, 8, 29, 30syl3anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
324, 31eqeltrid 2842 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
331oveq2i 7368 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
34 fraclt1 13707 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3633, 35eqbrtrid 5140 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
374oveq1i 7367 . . . . . 6 (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
38 nn0cn 12423 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
407nn0cnd 12475 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
4110, 12jca 512 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4241adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43 divsubdir 11849 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4514oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4644, 45eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4737, 46eqtrid 2788 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4810, 12dividd 11929 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
4948adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5036, 47, 493brtr4d 5137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
5132nn0red 12474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
52 ltdiv1 12019 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5351, 24, 24, 26, 52syl112anc 1374 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5450, 53mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
554oveq2i 7368 . . . 4 ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
5640, 39pncan3d 11515 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
5755, 56eqtr2id 2789 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
5854, 57jca 512 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
593, 32, 58jca31 515 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cfl 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fl 13697
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator