MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremnn0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremnn0ALT 13768
Description: Alternate proof of quoremnn0 13767 not using quoremz 13766. TODO - Keep either quoremnn0ALT 13768 (if we don't keep quoremz 13766) or quoremnn0 13767? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 ๐‘„ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))
quorem.2 ๐‘… = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))
Assertion
Ref Expression
quoremnn0ALT ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 ๐‘„ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))
2 fldivnn0 13733 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
31, 2eqeltrid 2838 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•0)
4 quorem.2 . . 3 ๐‘… = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))
5 nnnn0 12425 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
65adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
76, 3nn0mulcld 12483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„•0)
8 simpl 484 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
93nn0cnd 12480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
10 nncn 12166 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1110adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
12 nnne0 12192 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โ‰  0)
149, 11, 13divcan3d 11941 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) = ๐‘„)
15 nn0nndivcl 12489 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
16 flle 13710 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
181, 17eqbrtrid 5141 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1914, 18eqbrtrd 5128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
207nn0red 12479 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
21 nn0re 12427 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
23 nnre 12165 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2423adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
25 nngt0 12189 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
2625adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ต)
27 lediv1 12025 . . . . . 6 (((๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
2820, 22, 24, 26, 27syl112anc 1375 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
2919, 28mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด)
30 nn0sub2 12569 . . . 4 (((๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0)
317, 8, 29, 30syl3anc 1372 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0)
324, 31eqeltrid 2838 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
331oveq2i 7369 . . . . . 6 ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
34 fraclt1 13713 . . . . . . 7 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) < 1)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) < 1)
3633, 35eqbrtrid 5141 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„) < 1)
374oveq1i 7368 . . . . . 6 (๐‘… / ๐ต) = ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต)
38 nn0cn 12428 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
407nn0cnd 12480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
4110, 12jca 513 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
4241adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
43 divsubdir 11854 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)))
4514oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4644, 45eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4737, 46eqtrid 2785 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4810, 12dividd 11934 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
4948adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
5036, 47, 493brtr4d 5138 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต))
5132nn0red 12479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
52 ltdiv1 12024 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐‘… < ๐ต โ†” (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต)))
5351, 24, 24, 26, 52syl112anc 1375 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… < ๐ต โ†” (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต)))
5450, 53mpbird 257 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… < ๐ต)
554oveq2i 7369 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…) = ((๐ต ยท ๐‘„) + (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)))
5640, 39pncan3d 11520 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) + (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))) = ๐ด)
5755, 56eqtr2id 2786 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))
5854, 57jca 513 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…)))
593, 32, 58jca31 516 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โŒŠcfl 13701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fl 13703
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator