Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | quorem.1 |
. . 3
โข ๐ = (โโ(๐ด / ๐ต)) |
2 | | fldivnn0 13733 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (โโ(๐ด /
๐ต)) โ
โ0) |
3 | 1, 2 | eqeltrid 2838 |
. 2
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ โ
โ0) |
4 | | quorem.2 |
. . 3
โข ๐
= (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) |
5 | | nnnn0 12425 |
. . . . . 6
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ
โ0) |
6 | 5 | adantl 483 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ต โ
โ0) |
7 | 6, 3 | nn0mulcld 12483 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐ต ยท ๐) โ
โ0) |
8 | | simpl 484 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ด โ
โ0) |
9 | 3 | nn0cnd 12480 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ โ
โ) |
10 | | nncn 12166 |
. . . . . . . 8
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ
โ) |
11 | 10 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ต โ
โ) |
12 | | nnne0 12192 |
. . . . . . . 8
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ 0) |
13 | 12 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ต โ
0) |
14 | 9, 11, 13 | divcan3d 11941 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต) = ๐) |
15 | | nn0nndivcl 12489 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐ด / ๐ต) โ
โ) |
16 | | flle 13710 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด / ๐ต) โ โ โ
(โโ(๐ด / ๐ต)) โค (๐ด / ๐ต)) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (โโ(๐ด /
๐ต)) โค (๐ด / ๐ต)) |
18 | 1, 17 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ โค (๐ด / ๐ต)) |
19 | 14, 18 | eqbrtrd 5128 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต) โค (๐ด / ๐ต)) |
20 | 7 | nn0red 12479 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐ต ยท ๐) โ
โ) |
21 | | nn0re 12427 |
. . . . . . 7
โข (๐ด โ โ0
โ ๐ด โ
โ) |
22 | 21 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ด โ
โ) |
23 | | nnre 12165 |
. . . . . . 7
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ
โ) |
24 | 23 | adantl 483 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ต โ
โ) |
25 | | nngt0 12189 |
. . . . . . 7
โข (๐ต โ โ โ 0 <
๐ต) |
26 | 25 | adantl 483 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ 0 < ๐ต) |
27 | | lediv1 12025 |
. . . . . 6
โข (((๐ต ยท ๐) โ โ โง ๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ((๐ต ยท ๐) โค ๐ด โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต) โค (๐ด / ๐ต))) |
28 | 20, 22, 24, 26, 27 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ต ยท ๐) โค ๐ด โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต) โค (๐ด / ๐ต))) |
29 | 19, 28 | mpbird 257 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐ต ยท ๐) โค ๐ด) |
30 | | nn0sub2 12569 |
. . . 4
โข (((๐ต ยท ๐) โ โ0 โง ๐ด โ โ0
โง (๐ต ยท ๐) โค ๐ด) โ (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) โ
โ0) |
31 | 7, 8, 29, 30 | syl3anc 1372 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) โ
โ0) |
32 | 4, 31 | eqeltrid 2838 |
. 2
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐
โ
โ0) |
33 | 1 | oveq2i 7369 |
. . . . . 6
โข ((๐ด / ๐ต) โ ๐) = ((๐ด / ๐ต) โ (โโ(๐ด / ๐ต))) |
34 | | fraclt1 13713 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด / ๐ต) โ โ โ ((๐ด / ๐ต) โ (โโ(๐ด / ๐ต))) < 1) |
35 | 15, 34 | syl 17 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ด / ๐ต) โ (โโ(๐ด / ๐ต))) < 1) |
36 | 33, 35 | eqbrtrid 5141 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ด / ๐ต) โ ๐) < 1) |
37 | 4 | oveq1i 7368 |
. . . . . 6
โข (๐
/ ๐ต) = ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) / ๐ต) |
38 | | nn0cn 12428 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ด โ โ0
โ ๐ด โ
โ) |
39 | 38 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ด โ
โ) |
40 | 7 | nn0cnd 12480 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐ต ยท ๐) โ
โ) |
41 | 10, 12 | jca 513 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ต โ โ โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) |
42 | 41 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐ต โ โ
โง ๐ต โ
0)) |
43 | | divsubdir 11854 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต ยท ๐) โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต))) |
44 | 39, 40, 42, 43 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต))) |
45 | 14 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ด / ๐ต) โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) โ ๐)) |
46 | 44, 45 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โ ๐)) |
47 | 37, 46 | eqtrid 2785 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐
/ ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โ ๐)) |
48 | 10, 12 | dividd 11934 |
. . . . . 6
โข (๐ต โ โ โ (๐ต / ๐ต) = 1) |
49 | 48 | adantl 483 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐ต / ๐ต) = 1) |
50 | 36, 47, 49 | 3brtr4d 5138 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐
/ ๐ต) < (๐ต / ๐ต)) |
51 | 32 | nn0red 12479 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐
โ
โ) |
52 | | ltdiv1 12024 |
. . . . 5
โข ((๐
โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 <
๐ต)) โ (๐
< ๐ต โ (๐
/ ๐ต) < (๐ต / ๐ต))) |
53 | 51, 24, 24, 26, 52 | syl112anc 1375 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐
< ๐ต โ (๐
/ ๐ต) < (๐ต / ๐ต))) |
54 | 50, 53 | mpbird 257 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐
< ๐ต) |
55 | 4 | oveq2i 7369 |
. . . 4
โข ((๐ต ยท ๐) + ๐
) = ((๐ต ยท ๐) + (๐ด โ (๐ต ยท ๐))) |
56 | 40, 39 | pncan3d 11520 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ต ยท ๐) + (๐ด โ (๐ต ยท ๐))) = ๐ด) |
57 | 55, 56 | eqtr2id 2786 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐
)) |
58 | 54, 57 | jca 513 |
. 2
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ (๐
< ๐ต โง ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐
))) |
59 | 3, 32, 58 | jca31 516 |
1
โข ((๐ด โ โ0
โง ๐ต โ โ)
โ ((๐ โ
โ0 โง ๐
โ โ0) โง (๐
< ๐ต โง ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐
)))) |