Theorem quoremnn0ALT 13827

Description: Alternate proof of quoremnn0 13826 not using quoremz 13825. TODO - Keep either quoremnn0ALT 13827 (if we don't keep quoremz 13825) or quoremnn0 13826? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
quorem.1	⊢ 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2	⊢ 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
quoremnn0ALT	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremnn0ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quorem.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2		fldivnn0 13792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℕ0)
3	1, 2	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℕ0)
4		quorem.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
5		nnnn0 12484	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6, 3	nn0mulcld 12542	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
9	3	nn0cnd 12539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
10		nncn 12225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		nnne0 12251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
14	9, 11, 13	divcan3d 12000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
15		nn0nndivcl 12548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
16		flle 13769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
18	1, 17	eqbrtrid 5184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
19	14, 18	eqbrtrd 5171	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
20	7	nn0red 12538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
21		nn0re 12486	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
23		nnre 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		nngt0 12248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
27		lediv1 12084	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
28	20, 22, 24, 26, 27	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
29	19, 28	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
30		nn0sub2 12628	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
31	7, 8, 29, 30	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
32	4, 31	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
33	1	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
34		fraclt1 13772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
35	15, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
36	33, 35	eqbrtrid 5184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
37	4	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
38		nn0cn 12487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	7	nn0cnd 12539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
41	10, 12	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
42	41	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43		divsubdir 11913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
45	14	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
46	44, 45	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
47	37, 46	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
48	10, 12	dividd 11993	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
49	48	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
50	36, 47, 49	3brtr4d 5181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
51	32	nn0red 12538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
52		ltdiv1 12083	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
53	51, 24, 24, 26, 52	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
54	50, 53	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
55	4	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
56	40, 39	pncan3d 11579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
57	55, 56	eqtr2id 2784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
58	54, 57	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
59	3, 32, 58	jca31 514	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11449   / cdiv 11876  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ⌊cfl 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fl 13762

This theorem is referenced by: (None)