MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremz 13860
Description: Quotient and remainder of an integer divided by a positive integer. TODO - is this really needed for anything? Should we use mod to simplify it? Remark (AV): This is a special case of divalg 16387. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 ๐‘„ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))
quorem.2 ๐‘… = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))
Assertion
Ref Expression
quoremz ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))))

Proof of Theorem quoremz
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 ๐‘„ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))
2 zre 12600 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32adantr 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 nnre 12257 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
54adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6 nnne0 12284 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
76adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โ‰  0)
83, 5, 7redivcld 12080 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
98flcld 13803 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
101, 9eqeltrid 2833 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
11 quorem.2 . . 3 ๐‘… = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))
1210zcnd 12705 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
13 nncn 12258 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1413adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1512, 14, 7divcan3d 12033 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) = ๐‘„)
16 flle 13804 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
178, 16syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
181, 17eqbrtrid 5187 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1915, 18eqbrtrd 5174 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
20 nnz 12617 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2120adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2221, 10zmulcld 12710 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ค)
2322zred 12704 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
24 nngt0 12281 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
2524adantl 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ต)
26 lediv1 12117 . . . . . 6 (((๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
2723, 3, 5, 25, 26syl112anc 1371 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
2819, 27mpbird 256 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด)
29 simpl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
30 znn0sub 12647 . . . . 5 (((๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0))
3122, 29, 30syl2anc 582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0))
3228, 31mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0)
3311, 32eqeltrid 2833 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
341oveq2i 7437 . . . . . 6 ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
35 fraclt1 13807 . . . . . . 7 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) < 1)
368, 35syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) < 1)
3734, 36eqbrtrid 5187 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„) < 1)
3811oveq1i 7436 . . . . . 6 (๐‘… / ๐ต) = ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต)
39 zcn 12601 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4039adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4122zcnd 12705 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
4213, 6jca 510 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
4342adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
44 divsubdir 11946 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)))
4615oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4745, 46eqtrd 2768 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4838, 47eqtrid 2780 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4913, 6dividd 12026 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
5049adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
5137, 48, 503brtr4d 5184 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต))
5233nn0red 12571 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
53 ltdiv1 12116 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐‘… < ๐ต โ†” (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต)))
5452, 5, 5, 25, 53syl112anc 1371 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… < ๐ต โ†” (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต)))
5551, 54mpbird 256 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… < ๐ต)
5611oveq2i 7437 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…) = ((๐ต ยท ๐‘„) + (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)))
5741, 40pncan3d 11612 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) + (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))) = ๐ด)
5856, 57eqtr2id 2781 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))
5955, 58jca 510 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…)))
6010, 33, 59jca31 513 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โŒŠcfl 13795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fl 13797
This theorem is referenced by:  quoremnn0  13861
  Copyright terms: Public domain W3C validator