Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremz 13207
 Description: Quotient and remainder of an integer divided by a positive integer. TODO - is this really needed for anything? Should we use mod to simplify it? Remark (AV): This is a special case of divalg 15732. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
Assertion
Ref Expression
quoremz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremz
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2 zre 11964 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 nnre 11623 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
54adantl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 nnne0 11650 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
76adantl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
83, 5, 7redivcld 11446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
98flcld 13152 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
101, 9eqeltrid 2915 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℤ)
11 quorem.2 . . 3 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
1210zcnd 12067 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
13 nncn 11624 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
1413adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1512, 14, 7divcan3d 11399 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
16 flle 13153 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
178, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
181, 17eqbrtrid 5077 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1915, 18eqbrtrd 5064 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
20 nnz 11983 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
2120adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
2221, 10zmulcld 12072 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℤ)
2322zred 12066 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
24 nngt0 11647 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
2524adantl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
26 lediv1 11483 . . . . . 6 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2723, 3, 5, 25, 26syl112anc 1370 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2819, 27mpbird 259 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
29 simpl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30 znn0sub 12008 . . . . 5 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0))
3122, 29, 30syl2anc 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0))
3228, 31mpbid 234 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
3311, 32eqeltrid 2915 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
341oveq2i 7144 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
35 fraclt1 13156 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
368, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3734, 36eqbrtrid 5077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
3811oveq1i 7143 . . . . . 6 (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
39 zcn 11965 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4039adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4122zcnd 12067 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
4213, 6jca 514 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4342adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
44 divsubdir 11312 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4615oveq2d 7149 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4745, 46eqtrd 2855 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4838, 47syl5eq 2867 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4913, 6dividd 11392 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5049adantl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5137, 48, 503brtr4d 5074 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
5233nn0red 11935 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
53 ltdiv1 11482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5452, 5, 5, 25, 53syl112anc 1370 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5551, 54mpbird 259 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
5611oveq2i 7144 . . . 4 ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
5741, 40pncan3d 10978 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
5856, 57syl5req 2868 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
5955, 58jca 514 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
6010, 33, 59jca31 517 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℂcc 10513  ℝcr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520   < clt 10653   ≤ cle 10654   − cmin 10848   / cdiv 11275  ℕcn 11616  ℕ0cn0 11876  ℤcz 11960  ⌊cfl 13144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fl 13146 This theorem is referenced by:  quoremnn0  13208
 Copyright terms: Public domain W3C validator