MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremz 13823
Description: Quotient and remainder of an integer divided by a positive integer. TODO - is this really needed for anything? Should we use mod to simplify it? Remark (AV): This is a special case of divalg 16350. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 ๐‘„ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))
quorem.2 ๐‘… = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))
Assertion
Ref Expression
quoremz ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))))

Proof of Theorem quoremz
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 ๐‘„ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))
2 zre 12563 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 nnre 12220 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
54adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6 nnne0 12247 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
76adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โ‰  0)
83, 5, 7redivcld 12043 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
98flcld 13766 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
101, 9eqeltrid 2831 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
11 quorem.2 . . 3 ๐‘… = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))
1210zcnd 12668 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
13 nncn 12221 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1512, 14, 7divcan3d 11996 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) = ๐‘„)
16 flle 13767 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
178, 16syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
181, 17eqbrtrid 5176 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1915, 18eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต))
20 nnz 12580 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2120adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2221, 10zmulcld 12673 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ค)
2322zred 12667 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„)
24 nngt0 12244 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
2524adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ต)
26 lediv1 12080 . . . . . 6 (((๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
2723, 3, 5, 25, 26syl112anc 1371 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต) โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
2819, 27mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด)
29 simpl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
30 znn0sub 12610 . . . . 5 (((๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0))
3122, 29, 30syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) โ‰ค ๐ด โ†” (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0))
3228, 31mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) โˆˆ โ„•0)
3311, 32eqeltrid 2831 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
341oveq2i 7415 . . . . . 6 ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
35 fraclt1 13770 . . . . . . 7 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) < 1)
368, 35syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) < 1)
3734, 36eqbrtrid 5176 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„) < 1)
3811oveq1i 7414 . . . . . 6 (๐‘… / ๐ต) = ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต)
39 zcn 12564 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4122zcnd 12668 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
4213, 6jca 511 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
44 divsubdir 11909 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)))
4615oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ((๐ต ยท ๐‘„) / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4745, 46eqtrd 2766 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4838, 47eqtrid 2778 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โˆ’ ๐‘„))
4913, 6dividd 11989 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
5049adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
5137, 48, 503brtr4d 5173 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต))
5233nn0red 12534 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
53 ltdiv1 12079 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐‘… < ๐ต โ†” (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต)))
5452, 5, 5, 25, 53syl112anc 1371 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… < ๐ต โ†” (๐‘… / ๐ต) < (๐ต / ๐ต)))
5551, 54mpbird 257 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… < ๐ต)
5611oveq2i 7415 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…) = ((๐ต ยท ๐‘„) + (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„)))
5741, 40pncan3d 11575 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘„) + (๐ด โˆ’ (๐ต ยท ๐‘„))) = ๐ด)
5856, 57eqtr2id 2779 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))
5955, 58jca 511 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…)))
6010, 33, 59jca31 514 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… < ๐ต โˆง ๐ด = ((๐ต ยท ๐‘„) + ๐‘…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โŒŠcfl 13758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fl 13760
This theorem is referenced by:  quoremnn0  13824
  Copyright terms: Public domain W3C validator