Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | quorem.1 |
. . 3
โข ๐ = (โโ(๐ด / ๐ต)) |
2 | | zre 12508 |
. . . . . 6
โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ
โ) |
3 | 2 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ด โ
โ) |
4 | | nnre 12165 |
. . . . . 6
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ
โ) |
5 | 4 | adantl 483 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ
โ) |
6 | | nnne0 12192 |
. . . . . 6
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ 0) |
7 | 6 | adantl 483 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ 0) |
8 | 3, 5, 7 | redivcld 11988 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
9 | 8 | flcld 13709 |
. . 3
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ
(โโ(๐ด / ๐ต)) โ
โค) |
10 | 1, 9 | eqeltrid 2838 |
. 2
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ โ
โค) |
11 | | quorem.2 |
. . 3
โข ๐
= (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) |
12 | 10 | zcnd 12613 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ โ
โ) |
13 | | nncn 12166 |
. . . . . . . 8
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ
โ) |
14 | 13 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ
โ) |
15 | 12, 14, 7 | divcan3d 11941 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต) = ๐) |
16 | | flle 13710 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด / ๐ต) โ โ โ
(โโ(๐ด / ๐ต)) โค (๐ด / ๐ต)) |
17 | 8, 16 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ
(โโ(๐ด / ๐ต)) โค (๐ด / ๐ต)) |
18 | 1, 17 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ โค (๐ด / ๐ต)) |
19 | 15, 18 | eqbrtrd 5128 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต) โค (๐ด / ๐ต)) |
20 | | nnz 12525 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ
โค) |
21 | 20 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ต โ
โค) |
22 | 21, 10 | zmulcld 12618 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท ๐) โ โค) |
23 | 22 | zred 12612 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท ๐) โ โ) |
24 | | nngt0 12189 |
. . . . . . 7
โข (๐ต โ โ โ 0 <
๐ต) |
25 | 24 | adantl 483 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ 0 <
๐ต) |
26 | | lediv1 12025 |
. . . . . 6
โข (((๐ต ยท ๐) โ โ โง ๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ((๐ต ยท ๐) โค ๐ด โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต) โค (๐ด / ๐ต))) |
27 | 23, 3, 5, 25, 26 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ต ยท ๐) โค ๐ด โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต) โค (๐ด / ๐ต))) |
28 | 19, 27 | mpbird 257 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท ๐) โค ๐ด) |
29 | | simpl 484 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ด โ
โค) |
30 | | znn0sub 12555 |
. . . . 5
โข (((๐ต ยท ๐) โ โค โง ๐ด โ โค) โ ((๐ต ยท ๐) โค ๐ด โ (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) โ
โ0)) |
31 | 22, 29, 30 | syl2anc 585 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ต ยท ๐) โค ๐ด โ (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) โ
โ0)) |
32 | 28, 31 | mpbid 231 |
. . 3
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ (๐ต ยท ๐)) โ
โ0) |
33 | 11, 32 | eqeltrid 2838 |
. 2
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐
โ
โ0) |
34 | 1 | oveq2i 7369 |
. . . . . 6
โข ((๐ด / ๐ต) โ ๐) = ((๐ด / ๐ต) โ (โโ(๐ด / ๐ต))) |
35 | | fraclt1 13713 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด / ๐ต) โ โ โ ((๐ด / ๐ต) โ (โโ(๐ด / ๐ต))) < 1) |
36 | 8, 35 | syl 17 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด / ๐ต) โ (โโ(๐ด / ๐ต))) < 1) |
37 | 34, 36 | eqbrtrid 5141 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด / ๐ต) โ ๐) < 1) |
38 | 11 | oveq1i 7368 |
. . . . . 6
โข (๐
/ ๐ต) = ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) / ๐ต) |
39 | | zcn 12509 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ
โ) |
40 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ด โ
โ) |
41 | 22 | zcnd 12613 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ต ยท ๐) โ โ) |
42 | 13, 6 | jca 513 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ต โ โ โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) |
43 | 42 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) |
44 | | divsubdir 11854 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต ยท ๐) โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต))) |
45 | 40, 41, 43, 44 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต))) |
46 | 15 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด / ๐ต) โ ((๐ต ยท ๐) / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) โ ๐)) |
47 | 45, 46 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด โ (๐ต ยท ๐)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โ ๐)) |
48 | 38, 47 | eqtrid 2785 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐
/ ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) โ ๐)) |
49 | 13, 6 | dividd 11934 |
. . . . . 6
โข (๐ต โ โ โ (๐ต / ๐ต) = 1) |
50 | 49 | adantl 483 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ต / ๐ต) = 1) |
51 | 37, 48, 50 | 3brtr4d 5138 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐
/ ๐ต) < (๐ต / ๐ต)) |
52 | 33 | nn0red 12479 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐
โ
โ) |
53 | | ltdiv1 12024 |
. . . . 5
โข ((๐
โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 <
๐ต)) โ (๐
< ๐ต โ (๐
/ ๐ต) < (๐ต / ๐ต))) |
54 | 52, 5, 5, 25, 53 | syl112anc 1375 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐
< ๐ต โ (๐
/ ๐ต) < (๐ต / ๐ต))) |
55 | 51, 54 | mpbird 257 |
. . 3
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐
< ๐ต) |
56 | 11 | oveq2i 7369 |
. . . 4
โข ((๐ต ยท ๐) + ๐
) = ((๐ต ยท ๐) + (๐ด โ (๐ต ยท ๐))) |
57 | 41, 40 | pncan3d 11520 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ต ยท ๐) + (๐ด โ (๐ต ยท ๐))) = ๐ด) |
58 | 56, 57 | eqtr2id 2786 |
. . 3
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐
)) |
59 | 55, 58 | jca 513 |
. 2
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐
< ๐ต โง ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐
))) |
60 | 10, 33, 59 | jca31 516 |
1
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((๐ โ โค โง ๐
โ โ0)
โง (๐
< ๐ต โง ๐ด = ((๐ต ยท ๐) + ๐
)))) |