MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quoremz 13895
Description: Quotient and remainder of an integer divided by a positive integer. TODO - is this really needed for anything? Should we use mod to simplify it? Remark (AV): This is a special case of divalg 16440. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
Assertion
Ref Expression
quoremz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremz
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2 zre 12617 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 nnre 12273 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 nnne0 12300 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
76adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
83, 5, 7redivcld 12095 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
98flcld 13838 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
101, 9eqeltrid 2845 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℤ)
11 quorem.2 . . 3 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
1210zcnd 12723 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
13 nncn 12274 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1512, 14, 7divcan3d 12048 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
16 flle 13839 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
178, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
181, 17eqbrtrid 5178 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
1915, 18eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
20 nnz 12634 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
2120adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
2221, 10zmulcld 12728 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℤ)
2322zred 12722 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
24 nngt0 12297 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
2524adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
26 lediv1 12133 . . . . . 6 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2723, 3, 5, 25, 26syl112anc 1376 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2819, 27mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
29 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30 znn0sub 12664 . . . . 5 (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0))
3122, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0))
3228, 31mpbid 232 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
3311, 32eqeltrid 2845 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
341oveq2i 7442 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
35 fraclt1 13842 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
368, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
3734, 36eqbrtrid 5178 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
3811oveq1i 7441 . . . . . 6 (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
39 zcn 12618 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4122zcnd 12723 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
4213, 6jca 511 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
44 divsubdir 11961 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
4615oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4745, 46eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4838, 47eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
4913, 6dividd 12041 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5049adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5137, 48, 503brtr4d 5175 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
5233nn0red 12588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
53 ltdiv1 12132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5452, 5, 5, 25, 53syl112anc 1376 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
5551, 54mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
5611oveq2i 7442 . . . 4 ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
5741, 40pncan3d 11623 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
5856, 57eqtr2id 2790 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
5955, 58jca 511 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
6010, 33, 59jca31 514 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  quoremnn0  13896
  Copyright terms: Public domain W3C validator