Theorem quoremz 13920

Description: Quotient and remainder of an integer divided by a positive integer. TODO - is this really needed for anything? Should we use mod to simplify it? Remark (AV): This is a special case of divalg 16499. (Contributed by NM, 14-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
quorem.1	⊢ 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
quorem.2	⊢ 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
quoremz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

Proof of Theorem quoremz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quorem.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (⌊‘(𝐴 / 𝐵))
2		zre 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nnre 12268	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		nnne0 12298	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
8	3, 5, 7	redivcld 12071	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
9	8	flcld 13863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
10	1, 9	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℤ)
11		quorem.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))
12	10	zcnd 12730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℂ)
13		nncn 12269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	12, 14, 7	divcan3d 12024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) = 𝑄)
16		flle 13864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
17	8, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (𝐴 / 𝐵))
18	1, 17	eqbrtrid 5144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑄 ≤ (𝐴 / 𝐵))
19	15, 18	eqbrtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
20		nnz 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
21	20	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
22	21, 10	zmulcld 12735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℤ)
23	22	zred 12729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ)
24		nngt0 12295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
25	24	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
26		lediv1 12108	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
27	23, 3, 5, 25, 26	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
28	19, 27	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴)
29		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30		znn0sub 12669	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0))
31	22, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0))
32	28, 31	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) ∈ ℕ0)
33	11, 32	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
34	1	oveq2i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) = ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
35		fraclt1 13867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
36	8, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
37	34, 36	eqbrtrid 5144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄) < 1)
38	11	oveq1i 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵)
39		zcn 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	22	zcnd 12730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
42	13, 6	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
43	42	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
44		divsubdir 11936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
45	40, 41, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)))
46	15	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) − ((𝐵 · 𝑄) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
47	45, 46	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑄)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
48	38, 47	eqtrid 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) − 𝑄))
49	13, 6	dividd 12017	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
50	49	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
51	37, 48, 50	3brtr4d 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵))
52	33	nn0red 12594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
53		ltdiv1 12107	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
54	52, 5, 5, 25, 53	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ↔ (𝑅 / 𝐵) < (𝐵 / 𝐵)))
55	51, 54	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑅 < 𝐵)
56	11	oveq2i 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅) = ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄)))
57	41, 40	pncan3d 11600	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 · 𝑄) + (𝐴 − (𝐵 · 𝑄))) = 𝐴)
58	56, 57	eqtr2id 2810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))
59	55, 58	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅)))
60	10, 33, 59	jca31 524	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 < 𝐵 ∧ 𝐴 = ((𝐵 · 𝑄) + 𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469   / cdiv 11899  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ⌊cfl 13855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fl 13857

This theorem is used by:  quoremnn0  13921