Theorem re0cj 32687

Description: The conjugate of a pure imaginary number is its negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
re0cj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
re0cj.2	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
re0cj	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem re0cj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		re0cj.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 0)
2	1	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = (0 − (i · (ℑ‘𝐴))))
3		df-neg 11350	. . 3 ⊢ -(i · (ℑ‘𝐴)) = (0 − (i · (ℑ‘𝐴)))
4	2, 3	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
5		re0cj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	remimd 15105	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
7	5	replimd 15104	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
8	1	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (0 + (i · (ℑ‘𝐴))))
9		ax-icn 11068	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
11	5	imcld 15102	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 + (i · (ℑ‘𝐴))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
15	7, 8, 14	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (i · (ℑ‘𝐴)))
16	15	negeqd 11357	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = -(i · (ℑ‘𝐴)))
17	4, 6, 16	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  ici 11011   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  -cneg 11348  ∗ccj 15003  ℜcre 15004  ℑcim 15005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008

This theorem is referenced by: (None)