Theorem re0cj 33335

Description: The conjugate of a pure imaginary number is its negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
re0cj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
re0cj.2	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
re0cj	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem re0cj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		re0cj.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 0)
2	1	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = (0 − (i · (ℑ‘𝐴))))
3		df-neg 11544	. . 3 ⊢ -(i · (ℑ‘𝐴)) = (0 − (i · (ℑ‘𝐴)))
4	2, 3	eqtr4di 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
5		re0cj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	remimd 15365	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
7	5	replimd 15364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
8	1	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (0 + (i · (ℑ‘𝐴))))
9		ax-icn 11259	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
11	5	imcld 15362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11329	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 + (i · (ℑ‘𝐴))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
15	7, 8, 14	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (i · (ℑ‘𝐴)))
16	15	negeqd 11551	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = -(i · (ℑ‘𝐴)))
17	4, 6, 16	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = -𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541  -cneg 11542  ∗ccj 15263  ℜcre 15264  ℑcim 15265

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268

This theorem is used by: (None)