Theorem re0cj 33028

Description: The conjugate of a pure imaginary number is its negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
re0cj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
re0cj.2	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
re0cj	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem re0cj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		re0cj.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 0)
2	1	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = (0 − (i · (ℑ‘𝐴))))
3		df-neg 11443	. . 3 ⊢ -(i · (ℑ‘𝐴)) = (0 − (i · (ℑ‘𝐴)))
4	2, 3	eqtr4di 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
5		re0cj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	remimd 15248	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
7	5	replimd 15247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
8	1	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (0 + (i · (ℑ‘𝐴))))
9		ax-icn 11158	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
11	5	imcld 15245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 + (i · (ℑ‘𝐴))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
15	7, 8, 14	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (i · (ℑ‘𝐴)))
16	15	negeqd 11450	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = -(i · (ℑ‘𝐴)))
17	4, 6, 16	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441  ∗ccj 15146  ℜcre 15147  ℑcim 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151

This theorem is referenced by: (None)