Theorem re0cj 32719

Description: The conjugate of a pure imaginary number is its negative. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
re0cj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
re0cj.2	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
re0cj	⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem re0cj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		re0cj.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 0)
2	1	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = (0 − (i · (ℑ‘𝐴))))
3		df-neg 11342	. . 3 ⊢ -(i · (ℑ‘𝐴)) = (0 − (i · (ℑ‘𝐴)))
4	2, 3	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
5		re0cj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	remimd 15100	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
7	5	replimd 15099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
8	1	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (0 + (i · (ℑ‘𝐴))))
9		ax-icn 11060	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
11	5	imcld 15097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 + (i · (ℑ‘𝐴))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
15	7, 8, 14	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (i · (ℑ‘𝐴)))
16	15	negeqd 11349	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = -(i · (ℑ‘𝐴)))
17	4, 6, 16	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  ici 11003   + caddc 11004   · cmul 11006   − cmin 11339  -cneg 11340  ∗ccj 14998  ℜcre 14999  ℑcim 15000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003

This theorem is referenced by: (None)