Theorem receqid 33089

Description: Real numbers equal to their own reciprocal have absolute value 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
receqid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
receqid.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
receqid	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem receqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		receqid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	absred 15464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴↑2)))
3		sqrt1 15318	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘1) = 1)
5	4	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (√‘1))
6	2, 5	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 1 ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
7	1	resqcld 14157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
8	1	sqge0d 14169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
9		1red 11204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		0le1 11732	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
12		sqrt11 15309	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
13	7, 8, 9, 11, 12	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
14	7	recnd 11232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15		1cnd 11197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16	1	recnd 11232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		receqid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
18		div11 11895	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
19	14, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
20		sqdivid 14154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
21	16, 17, 20	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
22	21	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 / 𝐴)))
23	13, 19, 22	3bitr2rd 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
24		eqcom 2770	. . 3 ⊢ (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴)
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴))
26	6, 23, 25	3bitr2rd 311	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   ≤ cle 11239   / cdiv 11866  2c2 12290  ↑cexp 14093  √csqrt 15280  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem2  34173