Theorem receqid 32835

Description: Real numbers equal to their own reciprocal have absolute value 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
receqid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
receqid.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
receqid	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem receqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		receqid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	absred 15373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴↑2)))
3		sqrt1 15227	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘1) = 1)
5	4	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (√‘1))
6	2, 5	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 1 ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
7	1	resqcld 14081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
8	1	sqge0d 14093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
9		1red 11139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		0le1 11667	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
12		sqrt11 15218	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
13	7, 8, 9, 11, 12	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
14	7	recnd 11167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15		1cnd 11133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16	1	recnd 11167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		receqid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
18		div11 11831	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
19	14, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
20		sqdivid 14078	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
21	16, 17, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
22	21	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 / 𝐴)))
23	13, 19, 22	3bitr2rd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
24		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴)
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴))
26	6, 23, 25	3bitr2rd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   ≤ cle 11174   / cdiv 11801  2c2 12230  ↑cexp 14017  √csqrt 15189  abscabs 15190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem2  33946