Theorem receqid 33389

Description: Real numbers equal to their own reciprocal have absolute value 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
receqid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
receqid.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
receqid	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem receqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		receqid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	absred 15596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴↑2)))
3		sqrt1 15450	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘1) = 1)
5	4	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (√‘1))
6	2, 5	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 1 ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
7	1	resqcld 14278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
8	1	sqge0d 14290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
9		1red 11319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		0le1 11849	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
12		sqrt11 15441	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
13	7, 8, 9, 11, 12	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
14	7	recnd 11347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15		1cnd 11312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16	1	recnd 11347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		receqid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
18		div11 12012	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
19	14, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
20		sqdivid 14275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
21	16, 17, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
22	21	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 / 𝐴)))
23	13, 19, 22	3bitr2rd 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
24		eqcom 2770	. . 3 ⊢ (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴)
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴))
26	6, 23, 25	3bitr2rd 311	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   ≤ cle 11354   / cdiv 11983  2c2 12407  ↑cexp 14214  √csqrt 15412  abscabs 15413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415

This theorem is used by:  cos9thpiminplylem2  34468