Theorem receqid 32658

Description: Real numbers equal to their own reciprocal have absolute value 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
receqid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
receqid.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
receqid	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem receqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		receqid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	absred 15424	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴↑2)))
3		sqrt1 15279	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘1) = 1)
5	4	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (√‘1))
6	2, 5	eqeq12d 2750	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 1 ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
7	1	resqcld 14133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
8	1	sqge0d 14145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
9		1red 11229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		0le1 11753	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
12		sqrt11 15270	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
13	7, 8, 9, 11, 12	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
14	7	recnd 11256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15		1cnd 11223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16	1	recnd 11256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		receqid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
18		div11 11917	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
19	14, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
20		sqdivid 14130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
21	16, 17, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
22	21	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 / 𝐴)))
23	13, 19, 22	3bitr2rd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
24		eqcom 2741	. . 3 ⊢ (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴)
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴))
26	6, 23, 25	3bitr2rd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5117  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  ℂcc 11120  ℝcr 11121  0cc0 11122  1c1 11123   ≤ cle 11263   / cdiv 11887  2c2 12288  ↑cexp 14069  √csqrt 15241  abscabs 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-sup 9449  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-rp 13002  df-seq 14010  df-exp 14070  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem2  33752