Theorem receqid 32689

Description: Real numbers equal to their own reciprocal have absolute value 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
receqid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
receqid.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
receqid	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem receqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		receqid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	absred 15324	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴↑2)))
3		sqrt1 15178	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘1) = 1)
5	4	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (√‘1))
6	2, 5	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 1 ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
7	1	resqcld 14032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
8	1	sqge0d 14044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
9		1red 11116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		0le1 11643	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
12		sqrt11 15169	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
13	7, 8, 9, 11, 12	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝐴↑2)) = (√‘1) ↔ (𝐴↑2) = 1))
14	7	recnd 11143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15		1cnd 11110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16	1	recnd 11143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
17		receqid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
18		div11 11807	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
19	14, 15, 16, 17, 18	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ (𝐴↑2) = 1))
20		sqdivid 14029	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
21	16, 17, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 𝐴) = 𝐴)
22	21	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 𝐴) = (1 / 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 / 𝐴)))
23	13, 19, 22	3bitr2rd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (√‘(𝐴↑2)) = (√‘1)))
24		eqcom 2736	. . 3 ⊢ (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴)
25	24	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (1 / 𝐴) ↔ (1 / 𝐴) = 𝐴))
26	6, 23, 25	3bitr2rd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   ≤ cle 11150   / cdiv 11777  2c2 12183  ↑cexp 13968  √csqrt 15140  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem2  33756