Theorem redivcli 11725

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
redivcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
redivcl.3	⊢ 𝐵 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
redivcli	⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ

Proof of Theorem redivcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl.3	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
2		redivcl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		redivcl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	redivclzi 11724	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855   / cdiv 11615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616

This theorem is referenced by:  0.999...  15574  cos2bnd  15878  cos01gt0  15881  flodddiv4  16103  sincos4thpi  25651  sincos6thpi  25653  pige3ALT  25657  log2le1  26081  basellem8  26218  basellem9  26219  ppiub  26333  bposlem7  26419  bposlem8  26420  bposlem9  26421  chebbnd1lem3  26600  dp2lt10  31137  dp2ltsuc  31139  dp2ltc  31140  dplti  31158  threehalves  31168  hgt750lem  32610  acos1half  40150  isosctrlem1ALT  42507  stoweidlem26  43521  fourierswlem  43725