Theorem redivcli 11976

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
redivcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
redivcl.3	⊢ 𝐵 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
redivcli	⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ

Proof of Theorem redivcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl.3	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
2		redivcl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		redivcl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	redivclzi 11975	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7403  ℝcr 11104  0cc0 11105   / cdiv 11866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867

This theorem is referenced by:  0.999...  15822  cos2bnd  16126  cos01gt0  16129  flodddiv4  16351  sincos4thpi  26004  sincos6thpi  26006  pige3ALT  26010  log2le1  26434  basellem8  26571  basellem9  26572  ppiub  26686  bposlem7  26772  bposlem8  26773  bposlem9  26774  chebbnd1lem3  26953  dp2lt10  32027  dp2ltsuc  32029  dp2ltc  32030  dplti  32048  threehalves  32058  hgt750lem  33600  acos1half  40967  isosctrlem1ALT  43627  stoweidlem26  44676  fourierswlem  44880