Theorem redivcli 11922

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
redivcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
redivcl.3	⊢ 𝐵 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
redivcli	⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ

Proof of Theorem redivcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl.3	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 0
2		redivcl.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		redivcl.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	redivclzi 11921	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040   / cdiv 11808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809

This theorem is referenced by:  0.999...  15818  cos2bnd  16127  cos01gt0  16130  flodddiv4  16356  sincos4thpi  26495  sincos6thpi  26498  pige3ALT  26502  log2le1  26933  basellem8  27071  basellem9  27072  ppiub  27188  bposlem7  27274  bposlem8  27275  bposlem9  27276  chebbnd1lem3  27455  dp2lt10  32982  dp2ltsuc  32984  dp2ltc  32985  dplti  33003  threehalves  33013  hgt750lem  34835  asin1half  42756  acos1half  42757  isosctrlem1ALT  45318  stoweidlem26  46413  fourierswlem  46617