MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redivcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem redivcli 11050
Description: Closure law for division of reals. (Contributed by NM, 9-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcl.1 𝐴 ∈ ℝ
redivcl.2 𝐵 ∈ ℝ
redivcl.3 𝐵 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
redivcli (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ

Proof of Theorem redivcli
StepHypRef Expression
1 redivcl.3 . 2 𝐵 ≠ 0
2 redivcl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
3 redivcl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
42, 3redivclzi 11049 . 2 (𝐵 ≠ 0 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
51, 4ax-mp 5 1 (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  wne 2937  (class class class)co 6846  cr 10192  0cc0 10193   / cdiv 10942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943
This theorem is referenced by:  0.999...  14910  cos2bnd  15214  cos01gt0  15217  flodddiv4  15432  sincos4thpi  24571  sincos6thpi  24573  pige3  24575  log2le1  24982  basellem8  25119  basellem9  25120  ppiub  25234  bposlem7  25320  bposlem8  25321  bposlem9  25322  chebbnd1lem3  25465  dp2lt10  30060  dp2ltsuc  30062  dp2ltc  30063  dplti  30081  threehalves  30091  hgt750lem  31201  isosctrlem1ALT  39846  stoweidlem26  40904  fourierswlem  41108
  Copyright terms: Public domain W3C validator