Theorem relexpind 15021

Description: Principle of transitive induction, finite version. The first three hypotheses give various existences, the next four give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpind.1	⊢ (𝜂 → Rel 𝑅)
relexpind.2	⊢ (𝜂 → 𝑆 ∈ 𝑉)
relexpind.3	⊢ (𝜂 → 𝑋 ∈ 𝑊)
relexpind.4	⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 ↔ 𝜒))
relexpind.5	⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
relexpind.6	⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝜑 ↔ 𝜃))
relexpind.7	⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝜓 ↔ 𝜏))
relexpind.8	⊢ (𝜂 → 𝜒)
relexpind.9	⊢ (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
relexpind	⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑥,𝑅   𝑆,𝑖,𝑗,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑛   𝜑,𝑗,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜒,𝑖   𝜃,𝑖   𝜏,𝑥   𝜂,𝑖,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜏(𝑖,𝑗,𝑛)   𝜂(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem relexpind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpind.3	. 2 ⊢ (𝜂 → 𝑋 ∈ 𝑊)
2		relexpind.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝜓 ↔ 𝜏))
3		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋))
4	3	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))
5	4	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏)) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏))))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))))
7		imbi2 348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏)))
8	7	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏))))
9	8	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏)))))
10	9	bibi1d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → (((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))) ↔ ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏))))))
11	6, 10	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → (𝑥 = 𝑋 → ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏))))))
12	2, 11	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))))
13		relexpind.1	. . . 4 ⊢ (𝜂 → Rel 𝑅)
14		relexpind.2	. . . 4 ⊢ (𝜂 → 𝑆 ∈ 𝑉)
15		relexpind.4	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 ↔ 𝜒))
16		relexpind.5	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
17		relexpind.6	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝜑 ↔ 𝜃))
18		relexpind.8	. . . 4 ⊢ (𝜂 → 𝜒)
19		relexpind.9	. . . 4 ⊢ (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))
20	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	relexpindlem 15020	. . 3 ⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
21	12, 20	vtoclg 3500	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏))))
22	1, 21	mpcom 38	1 ⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  Rel wrel 5631  (class class class)co 7362  ℕ₀cn0 12432  ↑_𝑟crelexp 14976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-relexp 14977

This theorem is referenced by:  rtrclind  15022