Theorem relexpind 15129

Description: Principle of transitive induction, finite version. The first three hypotheses give various existences, the next four give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpind.1	⊢ (𝜂 → Rel 𝑅)
relexpind.2	⊢ (𝜂 → 𝑆 ∈ 𝑉)
relexpind.3	⊢ (𝜂 → 𝑋 ∈ 𝑊)
relexpind.4	⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 ↔ 𝜒))
relexpind.5	⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
relexpind.6	⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝜑 ↔ 𝜃))
relexpind.7	⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝜓 ↔ 𝜏))
relexpind.8	⊢ (𝜂 → 𝜒)
relexpind.9	⊢ (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
relexpind	⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑥,𝑅   𝑆,𝑖,𝑗,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑛   𝜑,𝑗,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜒,𝑖   𝜃,𝑖   𝜏,𝑥   𝜂,𝑖,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑛)   𝜓(𝑥, 𝑛)   𝜒(𝑥, 𝑗, 𝑛)   𝜃(𝑥, 𝑗, 𝑛)   𝜏(𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝜂(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑊(𝑥, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑋(𝑖, 𝑗, 𝑛)

Proof of Theorem relexpind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpind.3	. 2 ⊢ (𝜂 → 𝑋 ∈ 𝑊)
2		relexpind.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝜓 ↔ 𝜏))
3		breq2 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 ↔ 𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋))
4	3	imbi1d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))
5	4	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏)) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏))))
6	5	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))))
7		imbi2 351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → ((𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓) ↔ (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏)))
8	7	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → ((𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏))))
9	8	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏)))))
10	9	bibi1d 346	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → (((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))) ↔ ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜏))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏))))))
11	6, 10	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝜓 ↔ 𝜏) → (𝑥 = 𝑋 → ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏))))))
12	2, 11	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓))) ↔ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))))
13		relexpind.1	. . . 4 ⊢ (𝜂 → Rel 𝑅)
14		relexpind.2	. . . 4 ⊢ (𝜂 → 𝑆 ∈ 𝑉)
15		relexpind.4	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 ↔ 𝜒))
16		relexpind.5	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
17		relexpind.6	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝜑 ↔ 𝜃))
18		relexpind.8	. . . 4 ⊢ (𝜂 → 𝜒)
19		relexpind.9	. . . 4 ⊢ (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃 → 𝜓)))
20	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	relexpindlem 15128	. . 3 ⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑥 → 𝜓)))
21	12, 20	vtoclg 3524	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏))))
22	1, 21	mpcom 39	1 ⊢ (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅↑𝑟𝑛)𝑋 → 𝜏)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  Rel wrel 5668  (class class class)co 7419  ℕ₀cn0 12523  ↑_𝑟crelexp 15084

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-seq 14060  df-relexp 15085

This theorem is used by:  rtrclind  15130