MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringadd2 19593
Description: A ring element plus itself is two times the element. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringadd2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringadd2.p + = (+g𝑅)
ringadd2.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringadd2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑥𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·
Allowed substitution hint:   + (𝑥)

Proof of Theorem ringadd2
StepHypRef Expression
1 ringadd2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ringadd2.t . . 3 · = (.r𝑅)
31, 2ringid 19592 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑥𝐵 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋))
4 oveq12 7222 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑥 · 𝑋) = 𝑋) → ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
54anidms 570 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
65eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
7 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
9 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑋𝐵)
10 ringadd2.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑅)
111, 10, 2ringdir 19585 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
127, 8, 8, 9, 11syl13anc 1374 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
1312eqeq2d 2748 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) ↔ (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋))))
146, 13syl5ibr 249 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
1514adantrd 495 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋) → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
1615reximdva 3193 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑥𝐵 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋) → ∃𝑥𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
173, 16mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑥𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  Ringcrg 19562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator