Theorem ringidcld 20349

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring, deduction version. (Contributed by SN, 16-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringidcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ringidcld	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringidcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringidcl.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20348	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  1_rcur 20263  Ringcrg 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317

This theorem is referenced by:  psdmvr  22301  psdpw  22302  fxpsubrg  33435  ringm1expp1  33494  rlocinvunit  33536  mxidlirredi  33699  dflring2  33728  dflringlem3  33731  dflring3  33732  dflring4  33733  deg1prod  33818  vr1nz  33828  0mplrim  33849  selvply1rhmlem2  33856  mplvrpmrhm  33882  psrmonprod  33887  mplmonprod  33889  esplyfval1  33908  esplyind  33910  vietalem  33914  vieta  33915