Theorem vr1nz 33544

Description: A univariate polynomial variable cannot be the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1nz.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
vr1nz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
vr1nz.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
vr1nz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
vr1nz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
vr1nz.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
vr1nz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
vr1nz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Proof of Theorem vr1nz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1nz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	2, 3	nzrnz 20423	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
6		vr1nz.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	6	crnggrpd 20158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
8	7	grpmndd 18851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
9		vr1nz.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		subrgsubg 20485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆))
11	3	subg0cl 19039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
13		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
16		vr1nz.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
17	16, 13, 3	ress0g 18662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
18	8, 12, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
19	18	fveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)))
20	19	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
22	16	subrgring 20482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
23		vr1nz.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
24		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
25		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
26		vr1nz.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
27	23, 24, 25, 26	ply1scl0 22197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
28	9, 22, 27	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → 𝑋 = 𝑍)
31	29, 30	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑋)
32	31	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋))
33		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝑅) = (𝑆 evalSub1 𝑅)
34		vr1nz.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
35	33, 34, 16, 13, 6, 9	evls1var 22246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
37	21, 32, 36	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
38	37	fveq1d 6819	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)))
39	6	crngringd 20157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40	13, 2, 39	ringidcld 20177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
41	33, 23, 16, 13, 24, 6, 9, 12, 40	evls1scafv 22274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
43		fvresi 7102	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
44	40, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
45	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
46	38, 42, 45	3eqtr3rd 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (1r‘𝑆) = (0g‘𝑆))
47	5, 46	mteqand 3017	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3900   I cid 5508   ↾ cres 5616  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133  0_gc0g 17335  Mndcmnd 18634  SubGrpcsubg 19025  1_rcur 20092  Ringcrg 20144  CRingccrg 20145  NzRingcnzr 20420  SubRingcsubrg 20477  algSccascl 21782  var₁cv1 22081  Poly₁cpl1 22082   evalSub₁ ces1 22221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-hom 17177  df-cco 17178  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-srg 20098  df-ring 20146  df-cring 20147  df-rhm 20383  df-nzr 20421  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-assa 21783  df-asp 21784  df-ascl 21785  df-psr 21839  df-mvr 21840  df-mpl 21841  df-opsr 21843  df-evls 22002  df-evl 22003  df-psr1 22085  df-vr1 22086  df-ply1 22087  df-evls1 22223  df-evl1 22224

This theorem is referenced by:  cos9thpiminply  33791