Theorem vr1nz 33552

Description: A univariate polynomial variable cannot be the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1nz.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
vr1nz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
vr1nz.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
vr1nz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
vr1nz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
vr1nz.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
vr1nz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
vr1nz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Proof of Theorem vr1nz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1nz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	2, 3	nzrnz 20435	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
6		vr1nz.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	6	crnggrpd 20167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
8	7	grpmndd 18860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
9		vr1nz.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		subrgsubg 20497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆))
11	3	subg0cl 19048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
13		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
16		vr1nz.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
17	16, 13, 3	ress0g 18671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
18	8, 12, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
19	18	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)))
20	19	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
22	16	subrgring 20494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
23		vr1nz.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
24		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
25		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
26		vr1nz.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
27	23, 24, 25, 26	ply1scl0 22209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
28	9, 22, 27	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → 𝑋 = 𝑍)
31	29, 30	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑋)
32	31	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋))
33		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝑅) = (𝑆 evalSub1 𝑅)
34		vr1nz.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
35	33, 34, 16, 13, 6, 9	evls1var 22258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
37	21, 32, 36	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
38	37	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)))
39	6	crngringd 20166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40	13, 2, 39	ringidcld 20186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
41	33, 23, 16, 13, 24, 6, 9, 12, 40	evls1scafv 22286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
43		fvresi 7129	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
44	40, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
45	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
46	38, 42, 45	3eqtr3rd 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (1r‘𝑆) = (0g‘𝑆))
47	5, 46	mteqand 3016	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3911   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  0_gc0g 17378  Mndcmnd 18643  SubGrpcsubg 19034  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  NzRingcnzr 20432  SubRingcsubrg 20489  algSccascl 21794  var₁cv1 22093  Poly₁cpl1 22094   evalSub₁ ces1 22233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-rhm 20392  df-nzr 20433  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-assa 21795  df-asp 21796  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-evls 22014  df-evl 22015  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-evls1 22235  df-evl1 22236

This theorem is referenced by:  cos9thpiminply  33771