Theorem vr1nz 33566

Description: A univariate polynomial variable cannot be the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1nz.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
vr1nz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
vr1nz.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
vr1nz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
vr1nz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
vr1nz.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
vr1nz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
vr1nz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Proof of Theorem vr1nz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1nz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	2, 3	nzrnz 20431	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
6		vr1nz.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	6	crnggrpd 20163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
8	7	grpmndd 18885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
9		vr1nz.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		subrgsubg 20493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆))
11	3	subg0cl 19073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
13		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
16		vr1nz.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
17	16, 13, 3	ress0g 18696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
18	8, 12, 15, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
19	18	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)))
20	19	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
22	16	subrgring 20490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
23		vr1nz.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
24		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
25		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
26		vr1nz.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
27	23, 24, 25, 26	ply1scl0 22183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
28	9, 22, 27	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → 𝑋 = 𝑍)
31	29, 30	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑋)
32	31	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋))
33		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝑅) = (𝑆 evalSub1 𝑅)
34		vr1nz.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
35	33, 34, 16, 13, 6, 9	evls1var 22232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
37	21, 32, 36	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
38	37	fveq1d 6863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)))
39	6	crngringd 20162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40	13, 2, 39	ringidcld 20182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
41	33, 23, 16, 13, 24, 6, 9, 12, 40	evls1scafv 22260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
43		fvresi 7150	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
44	40, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
45	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
46	38, 42, 45	3eqtr3rd 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (1r‘𝑆) = (0g‘𝑆))
47	5, 46	mteqand 3017	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917   I cid 5535   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  SubGrpcsubg 19059  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  NzRingcnzr 20428  SubRingcsubrg 20485  algSccascl 21768  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068   evalSub₁ ces1 22207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-nzr 20429  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-evls 21988  df-evl 21989  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-evls1 22209  df-evl1 22210

This theorem is referenced by:  cos9thpiminply  33785