Theorem vr1nz 33743

Description: A univariate polynomial variable cannot be the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1nz.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
vr1nz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
vr1nz.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
vr1nz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
vr1nz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
vr1nz.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
vr1nz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
vr1nz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Proof of Theorem vr1nz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1nz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
2		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
3		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	2, 3	nzrnz 20537	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
6		vr1nz.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	6	crnggrpd 20269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
8	7	grpmndd 18964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
9		vr1nz.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		subrgsubg 20599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆))
11	3	subg0cl 19152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
13		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
16		vr1nz.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
17	16, 13, 3	ress0g 18772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
18	8, 12, 15, 17	syl3anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
19	18	fveq2d 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)))
20	19	fveq2d 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
21	20	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
22	16	subrgring 20596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
23		vr1nz.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
24		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
25		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
26		vr1nz.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
27	23, 24, 25, 26	ply1scl0 22326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
28	9, 22, 27	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
29	28	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
30		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → 𝑋 = 𝑍)
31	29, 30	eqtr4d 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑋)
32	31	fveq2d 6860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋))
33		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝑅) = (𝑆 evalSub1 𝑅)
34		vr1nz.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
35	33, 34, 16, 13, 6, 9	evls1var 22374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
36	35	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
37	21, 32, 36	3eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
38	37	fveq1d 6858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)))
39	6	crngringd 20268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40	13, 2, 39	ringidcld 20288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
41	33, 23, 16, 13, 24, 6, 9, 12, 40	evls1scafv 22402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
42	41	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
43		fvresi 7146	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
44	40, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
45	44	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
46	38, 42, 45	3eqtr3rd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (1r‘𝑆) = (0g‘𝑆))
47	5, 46	mteqand 3042	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3899   I cid 5534   ↾ cres 5642  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221   ↾_s cress 17242  0_gc0g 17444  Mndcmnd 18744  SubGrpcsubg 19138  1_rcur 20203  Ringcrg 20255  CRingccrg 20256  NzRingcnzr 20534  SubRingcsubrg 20591  algSccascl 21877  var₁cv1 22211  Poly₁cpl1 22212   evalSub₁ ces1 22349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-ofr 7650  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-sup 9378  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-hash 14334  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-hom 17286  df-cco 17287  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-prds 17452  df-pws 17454  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19230  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-srg 20209  df-ring 20257  df-cring 20258  df-rhm 20493  df-nzr 20535  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-lsp 21012  df-assa 21878  df-asp 21879  df-ascl 21880  df-psr 21934  df-mvr 21935  df-mpl 21936  df-opsr 21938  df-evls 22100  df-evl 22101  df-psr1 22215  df-vr1 22216  df-ply1 22217  df-evls1 22351  df-evl1 22352

This theorem is referenced by:  cos9thpiminply  34039