Theorem vr1nz 34168

Description: A univariate polynomial variable cannot be the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1nz.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
vr1nz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
vr1nz.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
vr1nz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
vr1nz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
vr1nz.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
vr1nz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
vr1nz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

Proof of Theorem vr1nz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1nz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NzRing)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
4	2, 3	nzrnz 20766	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
6		vr1nz.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7	6	crnggrpd 20475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
8	7	grpmndd 19158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
9		vr1nz.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		subrgsubg 20830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆))
11	3	subg0cl 19345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑅)
13		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
15	9, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆))
16		vr1nz.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
17	16, 13, 3	ress0g 18955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
18	8, 12, 15, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
19	18	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)))
20	19	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))))
22	16	subrgring 20827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
23		vr1nz.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑈)
24		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
25		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
26		vr1nz.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
27	23, 24, 25, 26	ply1scl0 22610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
28	9, 22, 27	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑍)
30		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → 𝑋 = 𝑍)
31	29, 30	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈)) = 𝑋)
32	31	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑈))) = ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋))
33		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝑅) = (𝑆 evalSub1 𝑅)
34		vr1nz.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
35	33, 34, 16, 13, 6, 9	evls1var 22657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
36	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
37	21, 32, 36	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → ((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆))) = ( I ↾ (Base‘𝑆)))
38	37	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)))
39	6	crngringd 20474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40	13, 2, 39	ringidcld 20496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
41	33, 23, 16, 13, 24, 6, 9, 12, 40	evls1scafv 22685	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
42	41	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (((𝑆 evalSub1 𝑅)‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑆)))‘(1r‘𝑆)) = (0g‘𝑆))
43		fvresi 7178	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
44	40, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
45	44	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (( I ↾ (Base‘𝑆))‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
46	38, 42, 45	3eqtr3rd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑍) → (1r‘𝑆) = (0g‘𝑆))
47	5, 46	mteqand 3046	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388   ↾_s cress 17409  0_gc0g 17611  Mndcmnd 18924  SubGrpcsubg 19331  1_rcur 20408  Ringcrg 20460  CRingccrg 20461  NzRingcnzr 20763  SubRingcsubrg 20822  algSccascl 22161  var₁cv1 22495  Poly₁cpl1 22496   evalSub₁ ces1 22632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-srg 20414  df-ring 20462  df-cring 20463  df-rhm 20703  df-nzr 20764  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-assa 22162  df-asp 22163  df-ascl 22164  df-psr 22218  df-mvr 22219  df-mpl 22220  df-opsr 22222  df-evls 22384  df-evl 22385  df-psr1 22499  df-vr1 22500  df-ply1 22501  df-evls1 22634  df-evl1 22635

This theorem is used by:  cos9thpiminply  34463