Theorem seqdistr 14013

Description: The distributive property for series. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqdistr.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqdistr.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
seqdistr.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqdistr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqdistr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
seqdistr	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem seqdistr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqdistr.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		seqdistr.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
3		seqdistr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		seqdistr.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
5		oveq2 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))
7		ovex 7396	. . . . . 6 ⊢ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
10		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑥))
11		ovex 7396	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶𝑇𝑥) ∈ V
12	10, 6, 11	fvmpt 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
13	12	ad2antrl 734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
14		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑦))
15		ovex 7396	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶𝑇𝑦) ∈ V
16	14, 6, 15	fvmpt 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
17	16	ad2antll 735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
18	13, 17	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
19	4, 9, 18	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)))
20		oveq2 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑥) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
21		ovex 7396	. . . . . 6 ⊢ (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)) ∈ V
22	20, 6, 21	fvmpt 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
23	2, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
24		seqdistr.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
25	23, 24	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
26	1, 2, 3, 19, 25	seqhomo 14009	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
27	3, 2, 1	seqcl 13982	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆)
28		oveq2 7371	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
29		ovex 7396	. . . 4 ⊢ (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ V
30	28, 6, 29	fvmpt 6942	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
31	27, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
32	26, 31	eqtr3d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  seqcseq 13961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-seq 13962

This theorem is referenced by:  isermulc2  15618  fsummulc2  15744  stirlinglem7  46530