Theorem seqdistr 14104

Description: The distributive property for series. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqdistr.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqdistr.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
seqdistr.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqdistr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqdistr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
seqdistr	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem seqdistr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqdistr.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		seqdistr.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
3		seqdistr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		seqdistr.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
5		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))
7		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
10		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑥))
11		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶𝑇𝑥) ∈ V
12	10, 6, 11	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
13	12	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
14		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑦))
15		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶𝑇𝑦) ∈ V
16	14, 6, 15	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
17	16	ad2antll 728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
18	13, 17	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
19	4, 9, 18	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)))
20		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑥) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
21		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)) ∈ V
22	20, 6, 21	fvmpt 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
23	2, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
24		seqdistr.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
25	23, 24	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
26	1, 2, 3, 19, 25	seqhomo 14100	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
27	3, 2, 1	seqcl 14073	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆)
28		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
29		ovex 7481	. . . 4 ⊢ (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ V
30	28, 6, 29	fvmpt 7029	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
31	27, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
32	26, 31	eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  seqcseq 14052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053

This theorem is referenced by:  isermulc2  15706  fsummulc2  15832  stirlinglem7  46001