Theorem seqdistr 13774

Description: The distributive property for series. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqdistr.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqdistr.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
seqdistr.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqdistr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqdistr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
seqdistr	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem seqdistr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqdistr.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		seqdistr.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
3		seqdistr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		seqdistr.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
5		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))
7		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
10		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑥))
11		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶𝑇𝑥) ∈ V
12	10, 6, 11	fvmpt 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
13	12	ad2antrl 725	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
14		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑦))
15		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶𝑇𝑦) ∈ V
16	14, 6, 15	fvmpt 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
17	16	ad2antll 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
18	13, 17	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
19	4, 9, 18	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)))
20		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑥) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
21		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)) ∈ V
22	20, 6, 21	fvmpt 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
23	2, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
24		seqdistr.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
25	23, 24	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
26	1, 2, 3, 19, 25	seqhomo 13770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
27	3, 2, 1	seqcl 13743	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆)
28		oveq2 7283	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
29		ovex 7308	. . . 4 ⊢ (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ V
30	28, 6, 29	fvmpt 6875	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
31	27, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
32	26, 31	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  seqcseq 13721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722

This theorem is referenced by:  isermulc2  15369  fsummulc2  15496  stirlinglem7  43621