MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqdistr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqdistr 14094
Description: The distributive property for series. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqdistr.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqdistr.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
seqdistr.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqdistr.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
seqdistr.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
Assertion
Ref Expression
seqdistr (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem seqdistr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqdistr.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2 seqdistr.4 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
3 seqdistr.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 seqdistr.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
5 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
6 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧)) = (𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))
7 ovex 7464 . . . . . 6 (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
91, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
10 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑥))
11 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐶𝑇𝑥) ∈ V
1210, 6, 11fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑥𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
1312ad2antrl 728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
14 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑦))
15 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐶𝑇𝑦) ∈ V
1614, 6, 15fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑦𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
1716ad2antll 729 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
1813, 17oveq12d 7449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
194, 9, 183eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)))
20 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐺𝑥) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
21 ovex 7464 . . . . . 6 (𝐶𝑇(𝐺𝑥)) ∈ V
2220, 6, 21fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
232, 22syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
24 seqdistr.5 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺𝑥)))
2523, 24eqtr4d 2780 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
261, 2, 3, 19, 25seqhomo 14090 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
273, 2, 1seqcl 14063 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆)
28 oveq2 7439 . . . 4 (𝑧 = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
29 ovex 7464 . . . 4 (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ V
3028, 6, 29fvmpt 7016 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
3127, 30syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
3226, 31eqtr3d 2779 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043
This theorem is referenced by:  isermulc2  15694  fsummulc2  15820  stirlinglem7  46095
  Copyright terms: Public domain W3C validator