Theorem seqdistr 13052

Description: The distributive property for series. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqdistr.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqdistr.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
seqdistr.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqdistr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqdistr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
seqdistr	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem seqdistr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqdistr.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		seqdistr.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
3		seqdistr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		seqdistr.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
5		oveq2 6799	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
6		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))
7		ovex 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6422	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐶𝑇(𝑥 + 𝑦)))
10		oveq2 6799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑥))
11		ovex 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶𝑇𝑥) ∈ V
12	10, 6, 11	fvmpt 6422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
13	12	ad2antrl 707	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) = (𝐶𝑇𝑥))
14		oveq2 6799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇𝑦))
15		ovex 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶𝑇𝑦) ∈ V
16	14, 6, 15	fvmpt 6422	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
17	16	ad2antll 708	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦) = (𝐶𝑇𝑦))
18	13, 17	oveq12d 6809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)) = ((𝐶𝑇𝑥) + (𝐶𝑇𝑦)))
19	4, 9, 18	3eqtr4d 2815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝑥 + 𝑦)) = (((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑥) + ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘𝑦)))
20		oveq2 6799	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑥) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
21		ovex 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)) ∈ V
22	20, 6, 21	fvmpt 6422	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
23	2, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
24		seqdistr.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐶𝑇(𝐺‘𝑥)))
25	23, 24	eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(𝐺‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
26	1, 2, 3, 19, 25	seqhomo 13048	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
27	3, 2, 1	seqcl 13021	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆)
28		oveq2 6799	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) → (𝐶𝑇𝑧) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
29		ovex 6821	. . . 4 ⊢ (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) ∈ V
30	28, 6, 29	fvmpt 6422	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
31	27, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶𝑇𝑧))‘(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
32	26, 31	eqtr3d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐶𝑇(seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791  ℤ_≥cuz 11886  ...cfz 12526  seqcseq 13001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-seq 13002

This theorem is referenced by:  isermulc2  14589  fsummulc2  14716  stirlinglem7  40807