Theorem seqfeq3 14021

Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfeq3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqfeq3.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq3.cl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq3.id	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))

Assertion

Ref	Expression
seqfeq3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀(𝑄, 𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfeq3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seqfn 13981	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		seqfn 13981	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀(𝑄, 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀(𝑄, 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → 𝜑)
8		elfzuz 13500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑎) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		seqfeq3.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
11	7, 9, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
12		seqfeq3.cl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
13	12	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14		seqfeq3.id	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
15	14	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
16	6, 11, 13, 15	seqfeq4 14020	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑎) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑎))
17	3, 5, 16	eqfnfvd 7028	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀(𝑄, 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  seqcseq 13969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970

This theorem is referenced by:  mulgpropd  19041  esumfsupre  33599