Theorem seqfeq3 14235

Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfeq3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqfeq3.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq3.cl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq3.id	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))

Assertion

Ref	Expression
seqfeq3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀(𝑄, 𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfeq3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seqfn 14196	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		seqfn 14196	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀(𝑄, 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀(𝑄, 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → 𝜑)
8		elfzuz 13692	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑎) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		seqfeq3.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
12		seqfeq3.cl	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
13	12	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14		seqfeq3.id	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
15	14	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
16	6, 11, 13, 15	seqfeq4 14234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑎) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑎))
17	3, 5, 16	eqfnfvd 7063	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀(𝑄, 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  seqcseq 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185

This theorem is used by:  mulgpropd  19376  esumfsupre  34814