MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq3 13888
Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfeq3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seqfeq3.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq3.cl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq3.id ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
Assertion
Ref Expression
seqfeq3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀(𝑄, 𝐹))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfeq3.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 seqfn 13848 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
4 seqfn 13848 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀(𝑄, 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → seq𝑀(𝑄, 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
6 simpr 486 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑎 ∈ (ℤ𝑀))
7 simpll 766 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → 𝜑)
8 elfzuz 13367 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑎) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
98adantl 483 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
10 seqfeq3.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
117, 9, 10syl2anc 585 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑎)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
12 seqfeq3.cl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1312adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14 seqfeq3.id . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
1514adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
166, 11, 13, 15seqfeq4 13887 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑎) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑎))
173, 5, 16eqfnfvd 6981 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀(𝑄, 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   Fn wfn 6487  cfv 6492  (class class class)co 7350  cz 12433  cuz 12697  ...cfz 13354  seqcseq 13836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-fz 13355  df-seq 13837
This theorem is referenced by:  mulgpropd  18853  esumfsupre  32450
  Copyright terms: Public domain W3C validator