Theorem seqcl 13987

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seqcl	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem seqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
2	1	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
3		seqcl.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
4	3	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5		seqcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzfz1 13507	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8	2, 4, 7	rspcdva 3613	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
9		seqcl.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10		eluzel2 12826	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	5, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		fzp1ss 13551	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
14	13	sselda 3982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
15	14, 3	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	8, 9, 5, 15	seqcl2 13985	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ...cfz 13483  seqcseq 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966

This theorem is referenced by:  sermono  13999  seqsplit  14000  seqcaopr2  14003  seqf1olem2a  14005  seqf1olem2  14007  seqid3  14011  seqhomo  14014  seqz  14015  seqdistr  14018  serge0  14021  serle  14022  seqof  14024  seqcoll  14424  seqcoll2  14425  fsumcl2lem  15676  prodfn0  15839  prodfrec  15840  prodfdiv  15841  fprodcl2lem  15893  eulerthlem2  16714  gsumwsubmcl  18717  mulgnnsubcl  18965  gsumzcl2  19777  gsumzaddlem  19788  gsummptfzcl  19836  lgscllem  26804  lgsval4a  26819  lgsneg  26821  lgsdir  26832  lgsdilem2  26833  lgsdi  26834  lgsne0  26835  gsumncl  33546  faclim  34711  knoppcnlem8  35371  mblfinlem2  36521  fmul01  44286  fmulcl  44287  fmuldfeq  44289  fmul01lt1lem1  44290  fmul01lt1lem2  44291  stoweidlem3  44709  stoweidlem42  44748  stoweidlem48  44754  wallispilem4  44774  wallispi  44776  wallispi2lem1  44777  wallispi2  44779  stirlinglem5  44784  stirlinglem7  44786  stirlinglem10  44789  sge0isum  45133