Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqcl 13388
 Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqcl.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seqcl (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem seqcl
StepHypRef Expression
1 fveq2 6645 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
21eleq1d 2874 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
3 seqcl.2 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
43ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
5 seqcl.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzfz1 12911 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
82, 4, 7rspcdva 3573 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
9 seqcl.3 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10 eluzel2 12238 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
115, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 fzp1ss 12955 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1413sselda 3915 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
1514, 3syldan 594 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
168, 9, 5, 15seqcl2 13386 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10529   + caddc 10531  ℤcz 11971  ℤ≥cuz 12233  ...cfz 12887  seqcseq 13366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-seq 13367 This theorem is referenced by:  sermono  13400  seqsplit  13401  seqcaopr2  13404  seqf1olem2a  13406  seqf1olem2  13408  seqid3  13412  seqhomo  13415  seqz  13416  seqdistr  13419  serge0  13422  serle  13423  seqof  13425  seqcoll  13820  seqcoll2  13821  fsumcl2lem  15082  prodfn0  15244  prodfrec  15245  prodfdiv  15246  fprodcl2lem  15298  eulerthlem2  16111  gsumwsubmcl  17995  mulgnnsubcl  18235  gsumzcl2  19026  gsumzaddlem  19037  gsummptfzcl  19085  lgscllem  25895  lgsval4a  25910  lgsneg  25912  lgsdir  25923  lgsdilem2  25924  lgsdi  25925  lgsne0  25926  gsumncl  31932  faclim  33103  knoppcnlem8  33964  mblfinlem2  35111  fmul01  42237  fmulcl  42238  fmuldfeq  42240  fmul01lt1lem1  42241  fmul01lt1lem2  42242  stoweidlem3  42660  stoweidlem42  42699  stoweidlem48  42705  wallispilem4  42725  wallispi  42727  wallispi2lem1  42728  wallispi2  42730  stirlinglem5  42735  stirlinglem7  42737  stirlinglem10  42740  sge0isum  43081
 Copyright terms: Public domain W3C validator