MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqcl 13937
Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqcl.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seqcl (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem seqcl
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
21eleq1d 2819 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
3 seqcl.2 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
43ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
5 seqcl.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzfz1 13457 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
82, 4, 7rspcdva 3584 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
9 seqcl.3 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10 eluzel2 12776 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
115, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 fzp1ss 13501 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1413sselda 3948 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
1514, 3syldan 592 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
168, 9, 5, 15seqcl2 13935 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3914  cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060   + caddc 11062  cz 12507  cuz 12771  ...cfz 13433  seqcseq 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916
This theorem is referenced by:  sermono  13949  seqsplit  13950  seqcaopr2  13953  seqf1olem2a  13955  seqf1olem2  13957  seqid3  13961  seqhomo  13964  seqz  13965  seqdistr  13968  serge0  13971  serle  13972  seqof  13974  seqcoll  14372  seqcoll2  14373  fsumcl2lem  15624  prodfn0  15787  prodfrec  15788  prodfdiv  15789  fprodcl2lem  15841  eulerthlem2  16662  gsumwsubmcl  18655  mulgnnsubcl  18896  gsumzcl2  19695  gsumzaddlem  19706  gsummptfzcl  19754  lgscllem  26675  lgsval4a  26690  lgsneg  26692  lgsdir  26703  lgsdilem2  26704  lgsdi  26705  lgsne0  26706  gsumncl  33216  faclim  34382  knoppcnlem8  35016  mblfinlem2  36166  fmul01  43911  fmulcl  43912  fmuldfeq  43914  fmul01lt1lem1  43915  fmul01lt1lem2  43916  stoweidlem3  44334  stoweidlem42  44373  stoweidlem48  44379  wallispilem4  44399  wallispi  44401  wallispi2lem1  44402  wallispi2  44404  stirlinglem5  44409  stirlinglem7  44411  stirlinglem10  44414  sge0isum  44758
  Copyright terms: Public domain W3C validator