Theorem seqcl 13933

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seqcl	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem seqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6830	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
2	1	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
3		seqcl.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
4	3	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5		seqcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzfz1 13435	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
8	2, 4, 7	rspcdva 3574	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
9		seqcl.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10		eluzel2 12745	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	5, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		fzp1ss 13479	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
14	13	sselda 3930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
15	14, 3	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	8, 9, 5, 15	seqcl2 13931	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  1c1 11016   + caddc 11018  ℤcz 12477  ℤ_≥cuz 12740  ...cfz 13411  seqcseq 13912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-seq 13913

This theorem is referenced by:  sermono  13945  seqsplit  13946  seqcaopr2  13949  seqf1olem2a  13951  seqf1olem2  13953  seqid3  13957  seqhomo  13960  seqz  13961  seqdistr  13964  serge0  13967  serle  13968  seqof  13970  seqcoll  14375  seqcoll2  14376  fsumcl2lem  15642  prodfn0  15805  prodfrec  15806  prodfdiv  15807  fprodcl2lem  15861  eulerthlem2  16697  gsumwsubmcl  18749  mulgnnsubcl  19003  gsumzcl2  19826  gsumzaddlem  19837  gsummptfzcl  19885  lgscllem  27245  lgsval4a  27260  lgsneg  27262  lgsdir  27273  lgsdilem2  27274  lgsdi  27275  lgsne0  27276  gsumncl  34576  faclim  35813  knoppcnlem8  36567  mblfinlem2  37721  fmul01  45707  fmulcl  45708  fmuldfeq  45710  fmul01lt1lem1  45711  fmul01lt1lem2  45712  stoweidlem3  46128  stoweidlem42  46167  stoweidlem48  46173  wallispilem4  46193  wallispi  46195  wallispi2lem1  46196  wallispi2  46198  stirlinglem5  46203  stirlinglem7  46205  stirlinglem10  46208  sge0isum  46552