Theorem isermulc2 15221

Description: Multiplication of an infinite series by a constant. (Contributed by Paul Chapman, 14-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isermulc2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isermulc2.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
isermulc2.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
isermulc2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
isermulc2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
isermulc2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ (𝐶 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem isermulc2

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2ser.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isermulc2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isermulc2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4		isermulc2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		seqex 13576	. . 3 ⊢ seq𝑀( + , 𝐺) ∈ V
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ V)
7		isermulc2.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
8	1, 2, 7	serf 13604	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
9	8	ffvelrnda 6904	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
10		addcl 10811	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
11	10	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
12	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		adddi 10818	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
14	13	3expb 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
15	12, 14	sylan 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
16		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
17	16, 1	eleqtrdi 2848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		elfzuz 13108	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19	18, 1	eleqtrrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20	19, 7	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
21	20	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
22		isermulc2.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
23	19, 22	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
24	23	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
25	11, 15, 17, 21, 24	seqdistr 13627	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) = (𝐶 · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
26	1, 2, 3, 4, 6, 9, 25	climmulc2 15198	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ (𝐶 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   + caddc 10732   · cmul 10734  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095  seqcseq 13574   ⇝ cli 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049

This theorem is referenced by:  isummulc2  15326  cvgcmpce  15382  mertens  15450  ege2le3  15651  eftlub  15670  geolim3  25232  abelthlem6  25328  abelthlem7  25330  logtayl2  25550  atantayl  25820  log2cnv  25827  log2tlbnd  25828  lgamgulmlem4  25914  geomcau  35654  binomcxplemnotnn0  41647  fouriersw  43447