Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isermulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isermulc2 15009
 Description: Multiplication of an infinite series by a constant. (Contributed by Paul Chapman, 14-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isermulc2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isermulc2.4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
isermulc2.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
isermulc2.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
isermulc2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
isermulc2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ (𝐶 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem isermulc2
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isermulc2.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isermulc2.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 isermulc2.4 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 seqex 13369 . . 3 seq𝑀( + , 𝐺) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ V)
7 isermulc2.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
81, 2, 7serf 13397 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
98ffvelrnda 6829 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
10 addcl 10611 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
1110adantl 485 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
124adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 adddi 10618 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
14133expb 1117 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
1512, 14sylan 583 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
16 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1716, 1eleqtrdi 2900 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
18 elfzuz 12901 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1918, 1eleqtrrdi 2901 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
2019, 7sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2120adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
22 isermulc2.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2319, 22sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2423adantlr 714 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2511, 15, 17, 21, 24seqdistr 13420 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) = (𝐶 · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
261, 2, 3, 4, 6, 9, 25climmulc2 14988 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ (𝐶 · 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527   + caddc 10532   · cmul 10534  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ...cfz 12888  seqcseq 13367   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840 This theorem is referenced by:  isummulc2  15112  cvgcmpce  15168  mertens  15237  ege2le3  15438  eftlub  15457  geolim3  24945  abelthlem6  25041  abelthlem7  25043  logtayl2  25263  atantayl  25533  log2cnv  25540  log2tlbnd  25541  lgamgulmlem4  25627  geomcau  35216  binomcxplemnotnn0  41103  fouriersw  42916
 Copyright terms: Public domain W3C validator