MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isermulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isermulc2 15662
Description: Multiplication of an infinite series by a constant. (Contributed by Paul Chapman, 14-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isermulc2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isermulc2.4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
isermulc2.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
isermulc2.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
isermulc2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
isermulc2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ (𝐶 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem isermulc2
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isermulc2.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isermulc2.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 isermulc2.4 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 seqex 14023 . . 3 seq𝑀( + , 𝐺) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ V)
7 isermulc2.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
81, 2, 7serf 14050 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
98ffvelcdmda 7098 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
10 addcl 11240 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
1110adantl 480 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
124adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 adddi 11247 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
14133expb 1117 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
1512, 14sylan 578 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
16 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1716, 1eleqtrdi 2836 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
18 elfzuz 13551 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1918, 1eleqtrrdi 2837 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
2019, 7sylan2 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2120adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
22 isermulc2.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2319, 22sylan2 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2423adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2511, 15, 17, 21, 24seqdistr 14073 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) = (𝐶 · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)))
261, 2, 3, 4, 6, 9, 25climmulc2 15639 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ (𝐶 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156   + caddc 11161   · cmul 11163  cz 12610  cuz 12874  ...cfz 13538  seqcseq 14021  cli 15486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490
This theorem is referenced by:  isummulc2  15766  cvgcmpce  15822  mertens  15890  ege2le3  16092  eftlub  16111  geolim3  26367  abelthlem6  26466  abelthlem7  26468  logtayl2  26689  atantayl  26965  log2cnv  26972  log2tlbnd  26973  lgamgulmlem4  27060  geomcau  37460  binomcxplemnotnn0  44030  fouriersw  45852
  Copyright terms: Public domain W3C validator