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Theorem fsummulc2 15762
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsummulc2.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
fsummulc2.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsummulc2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐢,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
21mul01d 11443 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· 0) = 0)
3 sumeq1 15667 . . . . . 6 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
4 sum0 15699 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
53, 4eqtrdi 2781 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = 0)
65oveq2d 7432 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (𝐢 Β· 0))
7 sumeq1 15667 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐢 Β· 𝐡))
8 sum0 15699 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐢 Β· 𝐡) = 0
97, 8eqtrdi 2781 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) = 0)
106, 9eqeq12d 2741 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ ((𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) ↔ (𝐢 Β· 0) = 0))
112, 10syl5ibrcom 246 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
12 addcl 11220 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (𝑛 + π‘š) ∈ β„‚)
1312adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (𝑛 + π‘š) ∈ β„‚)
141adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
15 adddi 11227 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (𝐢 Β· (𝑛 + π‘š)) = ((𝐢 Β· 𝑛) + (𝐢 Β· π‘š)))
16153expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 Β· (𝑛 + π‘š)) = ((𝐢 Β· 𝑛) + (𝐢 Β· π‘š)))
1714, 16sylan 578 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 Β· (𝑛 + π‘š)) = ((𝐢 Β· 𝑛) + (𝐢 Β· π‘š)))
18 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
19 nnuz 12895 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2018, 19eleqtrdi 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
21 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2221fmpttd 7120 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
24 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
26 f1of 6834 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
28 fco 6742 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2923, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
30 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)))
3129, 30ffvelcdmd 7090 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
3227, 30ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
33 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
341adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3534, 21mulcld 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
36 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))
3736fvmpt2 7011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· 𝐡))
3833, 35, 37syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· 𝐡))
39 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4039fvmpt2 7011 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
4133, 21, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
4241oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (𝐢 Β· 𝐡))
4338, 42eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
4443ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
46 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›))
47 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜πΆ
48 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜ Β·
49 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
5047, 48, 49nfov 7446 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5146, 50nfeq 2906 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
52 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
53 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5453oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5552, 54eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
5651, 55rspc 3589 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
5732, 45, 56sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5826ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
59 fvco3 6992 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6058, 59sylan 578 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
61 fvco3 6992 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6258, 61sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6362oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (𝐢 Β· (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
6457, 60, 633eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (𝐢 Β· (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
6513, 17, 20, 31, 64seqdistr 14050 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) = (𝐢 Β· (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
66 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6735fmpttd 7120 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)):π΄βŸΆβ„‚)
6867adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)):π΄βŸΆβ„‚)
6968ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7066, 18, 24, 69, 60fsum 15698 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
71 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7222adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
7372ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7471, 18, 24, 73, 62fsum 15698 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
7574oveq2d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = (𝐢 Β· (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
7665, 70, 753eqtr4rd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š))
77 sumfc 15687 . . . . . . 7 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
7877oveq2i 7427 . . . . . 6 (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
79 sumfc 15687 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)
8076, 78, 793eqtr3g 2788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
8180expr 455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
8281exlimdv 1928 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
8382expimpd 452 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
84 fsummulc2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
85 fz1f1o 15688 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
8684, 85syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
8711, 83, 86mpjaod 858 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆ…c0 4318   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„•cn 12242  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998  β™―chash 14321  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  fsummulc1  15763  fsumneg  15765  fsum2mul  15767  incexc2  15816  pwdif  15846  mertens  15864  binomrisefac  16018  fsumkthpow  16032  eirrlem  16180  pwp1fsum  16367  csbren  25345  trirn  25346  itg1addlem4  25646  itg1addlem4OLD  25647  itg1addlem5  25648  itg1mulc  25652  elqaalem3  26274  advlogexp  26607  fsumharmonic  26962  basellem8  27038  muinv  27143  fsumdvdsmul  27145  fsumdvdsmulOLD  27147  logfaclbnd  27173  dchrsum2  27219  sumdchr2  27221  rplogsumlem2  27436  rpvmasumlem  27438  dchrmusum2  27445  dchrvmasumlem1  27446  dchrvmasum2lem  27447  dchrvmasumlem2  27449  dchrvmasumiflem1  27452  rpvmasum2  27463  dchrisum0lem2  27469  mudivsum  27481  mulogsum  27483  mulog2sumlem1  27485  mulog2sumlem2  27486  mulog2sumlem3  27487  vmalogdivsum2  27489  logsqvma  27493  selberglem1  27496  selberglem2  27497  selberg  27499  selberg3lem1  27508  selberg4lem1  27511  selberg4  27512  selbergr  27519  selberg3r  27520  selberg34r  27522  pntsval2  27527  pntrlog2bndlem2  27529  pntrlog2bndlem3  27530  pntrlog2bndlem4  27531  pntrlog2bndlem6  27534  pntpbnd2  27538  pntlemk  27557  axsegconlem9  28780  ax5seglem1  28783  ax5seglem2  28784  ax5seglem9  28792  hgt750lemf  34342  hgt750lemb  34345  knoppndvlem11  36054  3factsumint4  41551  lcmineqlem6  41561  oddnumth  41936  jm2.22  42481  dvnprodlem2  45398  stoweidlem26  45477  stirlinglem12  45536  fourierdlem83  45640  etransclem46  45731  altgsumbcALT  47529  aacllem  48346
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