Theorem fsummulc2 15740

Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsummulc2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fsummulc2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsummulc2	⊢ (𝜑 → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc2

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsummulc2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	mul01d 11339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
3		sumeq1 15645	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
4		sum0 15677	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
5	3, 4	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
6	5	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝐶 · 0))
7		sumeq1 15645	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐶 · 𝐵))
8		sum0 15677	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝐶 · 𝐵) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵) = 0)
10	6, 9	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 0) = 0))
11	2, 10	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵)))
12		addcl 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
14	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		adddi 11121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝑛 + 𝑚)) = ((𝐶 · 𝑛) + (𝐶 · 𝑚)))
16	15	3expb 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑛 + 𝑚)) = ((𝐶 · 𝑛) + (𝐶 · 𝑚)))
17	14, 16	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑛 + 𝑚)) = ((𝐶 · 𝑛) + (𝐶 · 𝑚)))
18		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
19		nnuz 12821	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
20	18, 19	eleqtrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
21		fsummulc2.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
23	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
24		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
26		f1of 6775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
28		fco 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
29	23, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
30		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
31	29, 30	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) ∈ ℂ)
32	27, 30	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
34	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
35	34, 21	mulcld 11159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))
37	36	fvmpt2 6954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑘) = (𝐶 · 𝐵))
38	33, 35, 37	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑘) = (𝐶 · 𝐵))
39		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
40	39	fvmpt2 6954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
41	33, 21, 40	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
42	41	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (𝐶 · 𝐵))
43	38, 42	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑘) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
44	43	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑘) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
45	44	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑘) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)))
46		nffvmpt1 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛))
47		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
48		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
49		nffvmpt1 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛))
50	47, 48, 49	nfov 7391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
51	46, 50	nfeq 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛)) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
52		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛)))
53		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
54	53	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛))))
55	52, 54	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑘) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛)) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))))
56	51, 55	rspc 3553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑘) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛)) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))))
57	32, 45, 56	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛)) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛))))
58	26	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
59		fvco3 6934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛)))
60	58, 59	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛)))
61		fvco3 6934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
62	58, 61	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
63	62	oveq2d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐶 · (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛)) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛))))
64	57, 60, 63	3eqtr4d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝐶 · (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛)))
65	13, 17, 20, 31, 64	seqdistr 14009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) = (𝐶 · (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴))))
66		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘(𝑓‘𝑛)))
67	35	fmpttd 7062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)):𝐴⟶ℂ)
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)):𝐴⟶ℂ)
69	68	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑚) ∈ ℂ)
70	66, 18, 24, 69, 60	fsum 15676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑚) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
71		fveq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
72	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
73	72	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
74	71, 18, 24, 73, 62	fsum 15676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
75	74	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝐶 · Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚)) = (𝐶 · (seq1( + , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴))))
76	65, 70, 75	3eqtr4rd 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝐶 · Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚)) = Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑚))
77		sumfc 15665	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
78	77	oveq2i 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 · Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
79		sumfc 15665	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵)
80	76, 78, 79	3eqtr3g 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵))
81	80	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵)))
82	81	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵)))
83	82	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵)))
84		fsummulc2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
85		fz1f1o 15666	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
86	84, 85	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
87	11, 83, 86	mpjaod 861	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∅c0 4274   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  ℕcn 12168  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455  seqcseq 13957  ♯chash 14286  Σcsu 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643

This theorem is referenced by:  fsummulc1  15741  fsumneg  15743  fsum2mul  15745  incexc2  15797  pwdif  15827  mertens  15845  binomrisefac  16001  fsumkthpow  16015  eirrlem  16165  pwp1fsum  16354  csbren  25379  trirn  25380  itg1addlem4  25679  itg1addlem5  25680  itg1mulc  25684  elqaalem3  26301  advlogexp  26635  fsumharmonic  26992  basellem8  27068  muinv  27173  fsumdvdsmul  27175  logfaclbnd  27202  dchrsum2  27248  sumdchr2  27250  rplogsumlem2  27465  rpvmasumlem  27467  dchrmusum2  27474  dchrvmasumlem1  27475  dchrvmasum2lem  27476  dchrvmasumlem2  27478  dchrvmasumiflem1  27481  rpvmasum2  27492  dchrisum0lem2  27498  mudivsum  27510  mulogsum  27512  mulog2sumlem1  27514  mulog2sumlem2  27515  mulog2sumlem3  27516  vmalogdivsum2  27518  logsqvma  27522  selberglem1  27525  selberglem2  27526  selberg  27528  selberg3lem1  27537  selberg4lem1  27540  selberg4  27541  selbergr  27548  selberg3r  27549  selberg34r  27551  pntsval2  27556  pntrlog2bndlem2  27558  pntrlog2bndlem3  27559  pntrlog2bndlem4  27560  pntrlog2bndlem6  27563  pntpbnd2  27567  pntlemk  27586  axsegconlem9  29011  ax5seglem1  29014  ax5seglem2  29015  ax5seglem9  29023  hgt750lemf  34816  hgt750lemb  34819  knoppndvlem11  36801  3factsumint4  42480  lcmineqlem6  42490  oddnumth  42760  jm2.22  43444  dvnprodlem2  46396  stoweidlem26  46475  stirlinglem12  46534  fourierdlem83  46638  etransclem46  46729  altgsumbcALT  48844  aacllem  50291