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Theorem fsummulc2 15736
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsummulc2.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
fsummulc2.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsummulc2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐢,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
21mul01d 11417 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· 0) = 0)
3 sumeq1 15641 . . . . . 6 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
4 sum0 15673 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
53, 4eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = 0)
65oveq2d 7421 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (𝐢 Β· 0))
7 sumeq1 15641 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐢 Β· 𝐡))
8 sum0 15673 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐢 Β· 𝐡) = 0
97, 8eqtrdi 2782 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) = 0)
106, 9eqeq12d 2742 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ ((𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) ↔ (𝐢 Β· 0) = 0))
112, 10syl5ibrcom 246 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
12 addcl 11194 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (𝑛 + π‘š) ∈ β„‚)
1312adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (𝑛 + π‘š) ∈ β„‚)
141adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
15 adddi 11201 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (𝐢 Β· (𝑛 + π‘š)) = ((𝐢 Β· 𝑛) + (𝐢 Β· π‘š)))
16153expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 Β· (𝑛 + π‘š)) = ((𝐢 Β· 𝑛) + (𝐢 Β· π‘š)))
1714, 16sylan 579 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 Β· (𝑛 + π‘š)) = ((𝐢 Β· 𝑛) + (𝐢 Β· π‘š)))
18 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
19 nnuz 12869 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2018, 19eleqtrdi 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
21 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2221fmpttd 7110 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
24 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
26 f1of 6827 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
28 fco 6735 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2923, 27, 28syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
30 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)))
3129, 30ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
3227, 30ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3534, 21mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
36 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))
3736fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· 𝐡))
3833, 35, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· 𝐡))
39 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4039fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
4133, 21, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
4241oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (𝐢 Β· 𝐡))
4338, 42eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
4443ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)))
46 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›))
47 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜πΆ
48 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜ Β·
49 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
5047, 48, 49nfov 7435 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5146, 50nfeq 2910 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
52 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
53 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
5453oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5552, 54eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
5651, 55rspc 3594 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
5732, 45, 56sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
5826ad2antll 726 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
59 fvco3 6984 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6058, 59sylan 579 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
61 fvco3 6984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6258, 61sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6362oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (𝐢 Β· (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = (𝐢 Β· ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
6457, 60, 633eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (𝐢 Β· (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
6513, 17, 20, 31, 64seqdistr 14024 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) = (𝐢 Β· (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
66 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6735fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)):π΄βŸΆβ„‚)
6867adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)):π΄βŸΆβ„‚)
6968ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7066, 18, 24, 69, 60fsum 15672 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
71 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7222adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
7372ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7471, 18, 24, 73, 62fsum 15672 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
7574oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = (𝐢 Β· (seq1( + , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
7665, 70, 753eqtr4rd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š))
77 sumfc 15661 . . . . . . 7 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
7877oveq2i 7416 . . . . . 6 (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
79 sumfc 15661 . . . . . 6 Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)
8076, 78, 793eqtr3g 2789 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
8180expr 456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
8281exlimdv 1928 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
8382expimpd 453 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
84 fsummulc2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
85 fz1f1o 15662 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
8684, 85syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
8711, 83, 86mpjaod 857 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  β™―chash 14295  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  fsummulc1  15737  fsumneg  15739  fsum2mul  15741  incexc2  15790  pwdif  15820  mertens  15838  binomrisefac  15992  fsumkthpow  16006  eirrlem  16154  pwp1fsum  16341  csbren  25282  trirn  25283  itg1addlem4  25583  itg1addlem4OLD  25584  itg1addlem5  25585  itg1mulc  25589  elqaalem3  26211  advlogexp  26544  fsumharmonic  26899  basellem8  26975  muinv  27080  fsumdvdsmul  27082  fsumdvdsmulOLD  27084  logfaclbnd  27110  dchrsum2  27156  sumdchr2  27158  rplogsumlem2  27373  rpvmasumlem  27375  dchrmusum2  27382  dchrvmasumlem1  27383  dchrvmasum2lem  27384  dchrvmasumlem2  27386  dchrvmasumiflem1  27389  rpvmasum2  27400  dchrisum0lem2  27406  mudivsum  27418  mulogsum  27420  mulog2sumlem1  27422  mulog2sumlem2  27423  mulog2sumlem3  27424  vmalogdivsum2  27426  logsqvma  27430  selberglem1  27433  selberglem2  27434  selberg  27436  selberg3lem1  27445  selberg4lem1  27448  selberg4  27449  selbergr  27456  selberg3r  27457  selberg34r  27459  pntsval2  27464  pntrlog2bndlem2  27466  pntrlog2bndlem3  27467  pntrlog2bndlem4  27468  pntrlog2bndlem6  27471  pntpbnd2  27475  pntlemk  27494  axsegconlem9  28691  ax5seglem1  28694  ax5seglem2  28695  ax5seglem9  28703  hgt750lemf  34194  hgt750lemb  34197  knoppndvlem11  35906  3factsumint4  41405  lcmineqlem6  41415  oddnumth  41767  jm2.22  42312  dvnprodlem2  45235  stoweidlem26  45314  stirlinglem12  45373  fourierdlem83  45477  etransclem46  45568  altgsumbcALT  47305  aacllem  48122
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