MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq4 13966
Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfeq4.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqfeq4.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq4.cl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq4.id ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
Assertion
Ref Expression
seqfeq4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq4
StepHypRef Expression
1 fvex 6859 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
2 fvi 6921 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
31, 2ax-mp 5 . 2 ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)
4 seqfeq4.cl . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5 seqfeq4.f . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 seqfeq4.m . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 seqfeq4.id . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
8 ovex 7394 . . . . 5 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
9 fvi 6921 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ V → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦)
11 fvi 6921 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
1211elv 3453 . . . . 5 ( I ‘𝑥) = 𝑥
13 fvi 6921 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → ( I ‘𝑦) = 𝑦)
1413elv 3453 . . . . 5 ( I ‘𝑦) = 𝑦
1512, 14oveq12i 7373 . . . 4 (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)) = (𝑥𝑄𝑦)
167, 10, 153eqtr4g 2798 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)))
17 fvex 6859 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
18 fvi 6921 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ V → ( I ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1917, 18mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ( I ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
204, 5, 6, 16, 19seqhomo 13964 . 2 (𝜑 → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
213, 20eqtr3id 2787 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447   I cid 5534  cfv 6500  (class class class)co 7361  cuz 12771  ...cfz 13433  seqcseq 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916
This theorem is referenced by:  seqfeq3  13967  gsumpropd2lem  18542  gsumzoppg  19729
  Copyright terms: Public domain W3C validator