Theorem seqfeq4 14020

Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfeq4.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqfeq4.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq4.cl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq4.id	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))

Assertion

Ref	Expression
seqfeq4	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6897	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
2		fvi 6960	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)
4		seqfeq4.cl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5		seqfeq4.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seqfeq4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		seqfeq4.id	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
8		ovex 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 + 𝑦) ∈ V
9		fvi 6960	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ V → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦)
11		fvi 6960	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
12	11	elv 3474	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
13		fvi 6960	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → ( I ‘𝑦) = 𝑦)
14	13	elv 3474	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑦) = 𝑦
15	12, 14	oveq12i 7416	. . . 4 ⊢ (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)) = (𝑥𝑄𝑦)
16	7, 10, 15	3eqtr4g 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)))
17		fvex 6897	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
18		fvi 6960	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → ( I ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ( I ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
20	4, 5, 6, 16, 19	seqhomo 14018	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
21	3, 20	eqtr3id 2780	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   I cid 5566  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  seqcseq 13969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970

This theorem is referenced by:  seqfeq3  14021  gsumpropd2lem  18610  gsumzoppg  19862