Theorem seqfeq4 13958

Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfeq4.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqfeq4.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq4.cl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq4.id	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))

Assertion

Ref	Expression
seqfeq4	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
2		fvi 6899	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)
4		seqfeq4.cl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5		seqfeq4.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seqfeq4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		seqfeq4.id	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
8		ovex 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑥 + 𝑦) ∈ V
9		fvi 6899	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ V → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦)
11		fvi 6899	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
12	11	elv 3441	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
13		fvi 6899	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → ( I ‘𝑦) = 𝑦)
14	13	elv 3441	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑦) = 𝑦
15	12, 14	oveq12i 7361	. . . 4 ⊢ (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)) = (𝑥𝑄𝑦)
16	7, 10, 15	3eqtr4g 2789	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)))
17		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
18		fvi 6899	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → ( I ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ( I ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
20	4, 5, 6, 16, 19	seqhomo 13956	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
21	3, 20	eqtr3id 2778	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   I cid 5513  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  seqcseq 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909

This theorem is referenced by:  seqfeq3  13959  gsumpropd2lem  18553  gsumzoppg  19823