MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq4 13412
Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfeq4.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqfeq4.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq4.cl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq4.id ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
Assertion
Ref Expression
seqfeq4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq4
StepHypRef Expression
1 fvex 6679 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
2 fvi 6736 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
31, 2ax-mp 5 . 2 ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)
4 seqfeq4.cl . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5 seqfeq4.f . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 seqfeq4.m . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 seqfeq4.id . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
8 ovex 7184 . . . . 5 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
9 fvi 6736 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ V → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦)
11 fvi 6736 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
1211elv 3504 . . . . 5 ( I ‘𝑥) = 𝑥
13 fvi 6736 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → ( I ‘𝑦) = 𝑦)
1413elv 3504 . . . . 5 ( I ‘𝑦) = 𝑦
1512, 14oveq12i 7163 . . . 4 (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)) = (𝑥𝑄𝑦)
167, 10, 153eqtr4g 2885 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)))
17 fvex 6679 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
18 fvi 6736 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ V → ( I ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1917, 18mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ( I ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
204, 5, 6, 16, 19seqhomo 13410 . 2 (𝜑 → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
213, 20syl5eqr 2874 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499   I cid 5457  cfv 6351  (class class class)co 7151  cuz 12235  ...cfz 12885  seqcseq 13362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-seq 13363
This theorem is referenced by:  seqfeq3  13413  gsumpropd2lem  17880  gsumzoppg  18986
  Copyright terms: Public domain W3C validator