Theorem seqfeq4 14069

Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfeq4.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqfeq4.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq4.cl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq4.id	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))

Assertion

Ref	Expression
seqfeq4	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6889	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
2		fvi 6955	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)
4		seqfeq4.cl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5		seqfeq4.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seqfeq4.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		seqfeq4.id	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
8		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 + 𝑦) ∈ V
9		fvi 6955	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ V → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦)
11		fvi 6955	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
12	11	elv 3464	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
13		fvi 6955	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → ( I ‘𝑦) = 𝑦)
14	13	elv 3464	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑦) = 𝑦
15	12, 14	oveq12i 7417	. . . 4 ⊢ (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)) = (𝑥𝑄𝑦)
16	7, 10, 15	3eqtr4g 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)))
17		fvex 6889	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
18		fvi 6955	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → ( I ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ( I ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
20	4, 5, 6, 16, 19	seqhomo 14067	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
21	3, 20	eqtr3id 2784	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   I cid 5547  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  seqcseq 14019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020

This theorem is referenced by:  seqfeq3  14070  gsumpropd2lem  18657  gsumzoppg  19925