MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq4 13772
Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfeq4.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqfeq4.f ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqfeq4.cl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqfeq4.id ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
Assertion
Ref Expression
seqfeq4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem seqfeq4
StepHypRef Expression
1 fvex 6787 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
2 fvi 6844 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
31, 2ax-mp 5 . 2 ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)
4 seqfeq4.cl . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5 seqfeq4.f . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 seqfeq4.m . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 seqfeq4.id . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥𝑄𝑦))
8 ovex 7308 . . . . 5 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
9 fvi 6844 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ V → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 + 𝑦)
11 fvi 6844 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
1211elv 3438 . . . . 5 ( I ‘𝑥) = 𝑥
13 fvi 6844 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → ( I ‘𝑦) = 𝑦)
1413elv 3438 . . . . 5 ( I ‘𝑦) = 𝑦
1512, 14oveq12i 7287 . . . 4 (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)) = (𝑥𝑄𝑦)
167, 10, 153eqtr4g 2803 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ( I ‘(𝑥 + 𝑦)) = (( I ‘𝑥)𝑄( I ‘𝑦)))
17 fvex 6787 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
18 fvi 6844 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ V → ( I ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1917, 18mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ( I ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
204, 5, 6, 16, 19seqhomo 13770 . 2 (𝜑 → ( I ‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
213, 20eqtr3id 2792 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀(𝑄, 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432   I cid 5488  cfv 6433  (class class class)co 7275  cuz 12582  ...cfz 13239  seqcseq 13721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722
This theorem is referenced by:  seqfeq3  13773  gsumpropd2lem  18363  gsumzoppg  19545
  Copyright terms: Public domain W3C validator