Theorem seqz 13056

Description: If the operation + has an absorbing element 𝑍 (a.k.a. zero element), then any sequence containing a 𝑍 evaluates to 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqhomo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqz.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
seqz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
seqz.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
seqz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
seqz.7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqz	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqz.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz 12545	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 11896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6		seq1 13021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
8		seqz.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
9	7, 8	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
10		seqeq1 13011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → seq𝐾( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
11	10	fveq1d 6377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾))
12	11	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
13	9, 12	syl5ibcom 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
14		eluzel2 11891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		seqm1 13025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
17	15, 16	sylan 575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
18	8	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
19	18	oveq2d 6858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
20		oveq1 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → (𝑥 + 𝑍) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
21	20	eqeq1d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → ((𝑥 + 𝑍) = 𝑍 ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
22		seqz.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
23	22	ralrimiva 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
24	23	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
25		eluzp1m1 11910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	15, 25	sylan 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27		fzssp1 12591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝐾 − 1) + 1))
28	5	zcnd 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
29		ax-1cn 10247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		npcan 10544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
31	28, 29, 30	sylancl 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
32	31	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑀...𝐾))
33	27, 32	syl5sseq 3813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝐾))
34		elfzuz3 12546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
35	1, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
36		fzss2 12588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
38	33, 37	sstrd 3771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
39	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
40	39	sselda 3761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
41		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
42	41	adantlr 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
43	40, 42	syldan 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
44		seqhomo.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45	44	adantlr 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
46	26, 43, 45	seqcl 13028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆)
47	21, 24, 46	rspcdva 3467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍)
48	19, 47	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = 𝑍)
49	17, 48	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
50	49	ex 401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
51		uzp1 11921	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
52	3, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
53	13, 50, 52	mpjaod 886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
54	53, 8	eqtr4d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
55		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
56	3, 54, 35, 55	seqfveq2 13030	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁))
57		fvex 6388	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐾) ∈ V
58	57	elsn 4349	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
59	8, 58	sylibr 225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍})
60		simprl 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ {𝑍})
61		velsn 4350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} ↔ 𝑥 = 𝑍)
62	60, 61	sylib 209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 = 𝑍)
63	62	oveq1d 6857	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑦))
64		oveq2 6850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑦))
65	64	eqeq1d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑦) = 𝑍))
66		seqz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
67	66	ralrimiva 3113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
68	67	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
69		simprr 789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
70	65, 68, 69	rspcdva 3467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑍 + 𝑦) = 𝑍)
71	63, 70	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
72		ovex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 + 𝑦) ∈ V
73	72	elsn 4349	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
74	71, 73	sylibr 225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
75		peano2uz 11941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
76	3, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
77		fzss1 12587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
78	76, 77	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
79	78	sselda 3761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
80	79, 41	syldan 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
81	59, 74, 35, 80	seqcl2 13026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
82		elsni 4351	. . 3 ⊢ ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
83	81, 82	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
84	56, 83	eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ wo 873   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∀wral 3055   ⊆ wss 3732  {csn 4334  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ℂcc 10187  1c1 10190   + caddc 10192   − cmin 10520  ℤcz 11624  ℤ_≥cuz 11886  ...cfz 12533  seqcseq 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-seq 13009

This theorem is referenced by:  bcval5  13309  elqaalem2  24366  lgsne0  25351