Theorem seqz 13414

Description: If the operation + has an absorbing element 𝑍 (a.k.a. zero element), then any sequence containing a 𝑍 evaluates to 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqhomo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqz.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
seqz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
seqz.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
seqz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
seqz.7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqz	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqz.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz 12898	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6		seq1 13377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
8		seqz.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
9	7, 8	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
10		seqeq1 13367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → seq𝐾( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
11	10	fveq1d 6647	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾))
12	11	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
13	9, 12	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
14		eluzel2 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		seqm1 13383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
17	15, 16	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
18	8	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
19	18	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
20		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → (𝑥 + 𝑍) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
21	20	eqeq1d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → ((𝑥 + 𝑍) = 𝑍 ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
22		seqz.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
23	22	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
24	23	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
25		eluzp1m1 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	15, 25	sylan 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27		fzssp1 12945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝐾 − 1) + 1))
28	5	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
29		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		npcan 10884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
31	28, 29, 30	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
32	31	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑀...𝐾))
33	27, 32	sseqtrid 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝐾))
34		elfzuz3 12899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
35	1, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
36		fzss2 12942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
38	33, 37	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
40	39	sselda 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
41		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
42	41	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
43	40, 42	syldan 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
44		seqhomo.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45	44	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
46	26, 43, 45	seqcl 13386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆)
47	21, 24, 46	rspcdva 3573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍)
48	19, 47	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = 𝑍)
49	17, 48	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
50	49	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
51		uzp1 12267	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
52	3, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
53	13, 50, 52	mpjaod 857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
54	53, 8	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
55		eqidd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
56	3, 54, 35, 55	seqfveq2 13388	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁))
57		fvex 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐾) ∈ V
58	57	elsn 4540	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
59	8, 58	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍})
60		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ {𝑍})
61		velsn 4541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} ↔ 𝑥 = 𝑍)
62	60, 61	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 = 𝑍)
63	62	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑦))
64		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑦))
65	64	eqeq1d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑦) = 𝑍))
66		seqz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
67	66	ralrimiva 3149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
68	67	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
69		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
70	65, 68, 69	rspcdva 3573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑍 + 𝑦) = 𝑍)
71	63, 70	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
72		ovex 7168	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 + 𝑦) ∈ V
73	72	elsn 4540	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
74	71, 73	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
75		peano2uz 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
76	3, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
77		fzss1 12941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
78	76, 77	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
79	78	sselda 3915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
80	79, 41	syldan 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
81	59, 74, 35, 80	seqcl2 13384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
82		elsni 4542	. . 3 ⊢ ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
83	81, 82	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
84	56, 83	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  seqcseq 13364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365

This theorem is referenced by:  bcval5  13674  elqaalem2  24916  lgsne0  25919