Theorem seqz 14003

Description: If the operation + has an absorbing element 𝑍 (a.k.a. zero element), then any sequence containing a 𝑍 evaluates to 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqhomo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqz.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
seqz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
seqz.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
seqz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
seqz.7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqz	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqz.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz 13465	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1	elfzelzd 13470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		seq1 13967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
7		seqz.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
8	6, 7	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
9		seqeq1 13957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → seq𝐾( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
10	9	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾))
11	10	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
12	8, 11	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
13		eluzel2 12784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15		seqm1 13972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
16	14, 15	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
17	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
18	17	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
19		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → (𝑥 + 𝑍) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
20	19	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → ((𝑥 + 𝑍) = 𝑍 ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
21		seqz.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
22	21	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
24		eluzp1m1 12805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	14, 24	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		fzssp1 13512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝐾 − 1) + 1))
27	4	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
28		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		npcan 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
30	27, 28, 29	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
31	30	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑀...𝐾))
32	26, 31	sseqtrid 3965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝐾))
33		elfzuz3 13466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
34	1, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
35		fzss2 13509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
37	32, 36	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
39	38	sselda 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
40		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
41	40	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
42	39, 41	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
43		seqhomo.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
44	43	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45	25, 42, 44	seqcl 13975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆)
46	20, 23, 45	rspcdva 3566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍)
47	18, 46	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = 𝑍)
48	16, 47	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
49	48	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
50		uzp1 12816	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
51	3, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
52	12, 49, 51	mpjaod 861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
53	52, 7	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
54		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
55	3, 53, 34, 54	seqfveq2 13977	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁))
56		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐾) ∈ V
57	56	elsn 4583	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
58	7, 57	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍})
59		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ {𝑍})
60		velsn 4584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} ↔ 𝑥 = 𝑍)
61	59, 60	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 = 𝑍)
62	61	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑦))
63		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑦))
64	63	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑦) = 𝑍))
65		seqz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
66	65	ralrimiva 3130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
67	66	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
68		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
69	64, 67, 68	rspcdva 3566	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑍 + 𝑦) = 𝑍)
70	62, 69	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
71		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 + 𝑦) ∈ V
72	71	elsn 4583	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
73	70, 72	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
74		peano2uz 12842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
75	3, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
76		fzss1 13508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
77	75, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
78	77	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
79	78, 40	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
80	58, 73, 34, 79	seqcl2 13973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
81		elsni 4585	. . 3 ⊢ ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
82	80, 81	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
83	55, 82	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  seqcseq 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955

This theorem is referenced by:  bcval5  14271  elqaalem2  26297  lgsne0  27312