MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqz 14088
Description: If the operation + has an absorbing element 𝑍 (a.k.a. zero element), then any sequence containing a 𝑍 evaluates to 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqhomo.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqz.3 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
seqz.4 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
seqz.5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
seqz.6 (𝜑𝑁𝑉)
seqz.7 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
seqz (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqz
StepHypRef Expression
1 seqz.5 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzuz 13557 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
41elfzelzd 13562 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 seq1 14052 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹𝐾))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹𝐾))
7 seqz.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝑍)
86, 7eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
9 seqeq1 14042 . . . . . . . 8 (𝐾 = 𝑀 → seq𝐾( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
109fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑀 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾))
1110eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝐾 = 𝑀 → ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
128, 11syl5ibcom 245 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
13 eluzel2 12881 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
143, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 seqm1 14057 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)))
1614, 15sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)))
177adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝐾) = 𝑍)
1817oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
19 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → (𝑥 + 𝑍) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
2019eqeq1d 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → ((𝑥 + 𝑍) = 𝑍 ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
21 seqz.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
2221ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
24 eluzp1m1 12902 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2514, 24sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
26 fzssp1 13604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝐾 − 1) + 1))
274zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
28 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
29 npcan 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑀...𝐾))
3226, 31sseqtrid 4048 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝐾))
33 elfzuz3 13558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
35 fzss2 13601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
3732, 36sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3938sselda 3995 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
40 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
4140adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
4239, 41syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
43 seqhomo.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4443adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4525, 42, 44seqcl 14060 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆)
4620, 23, 45rspcdva 3623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍)
4718, 46eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)) = 𝑍)
4816, 47eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
4948ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
50 uzp1 12917 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
513, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
5212, 49, 51mpjaod 860 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
5352, 7eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹𝐾))
54 eqidd 2736 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
553, 53, 34, 54seqfveq2 14062 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁))
56 fvex 6920 . . . . . 6 (𝐹𝐾) ∈ V
5756elsn 4646 . . . . 5 ((𝐹𝐾) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹𝐾) = 𝑍)
587, 57sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ {𝑍})
59 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ {𝑍})
60 velsn 4647 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑍} ↔ 𝑥 = 𝑍)
6159, 60sylib 218 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑥 = 𝑍)
6261oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑦))
63 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑦))
6463eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑦) = 𝑍))
65 seqz.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
6665ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
68 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
6964, 67, 68rspcdva 3623 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑍 + 𝑦) = 𝑍)
7062, 69eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
71 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
7271elsn 4646 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
7370, 72sylibr 234 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
74 peano2uz 12941 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
753, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
76 fzss1 13600 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7775, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7877sselda 3995 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
7978, 40syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8058, 73, 34, 79seqcl2 14058 . . 3 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
81 elsni 4648 . . 3 ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
8280, 81syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
8355, 82eqtrd 2775 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040
This theorem is referenced by:  bcval5  14354  elqaalem2  26377  lgsne0  27394
  Copyright terms: Public domain W3C validator