Theorem seqz 14061

Description: If the operation + has an absorbing element 𝑍 (a.k.a. zero element), then any sequence containing a 𝑍 evaluates to 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqhomo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqz.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
seqz.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
seqz.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
seqz.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
seqz.7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqz	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqz.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz 13542	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1	elfzelzd 13547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		seq1 14025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
7		seqz.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
8	6, 7	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
9		seqeq1 14015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → seq𝐾( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
10	9	fveq1d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾))
11	10	eqeq1d 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = 𝑀 → ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
12	8, 11	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
13		eluzel2 12870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15		seqm1 14030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
16	14, 15	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)))
17	7	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
18	17	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
19		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → (𝑥 + 𝑍) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
20	19	eqeq1d 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → ((𝑥 + 𝑍) = 𝑍 ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
21		seqz.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
22	21	ralrimiva 3136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
23	22	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
24		eluzp1m1 12891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	14, 24	sylan 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		fzssp1 13589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝐾 − 1) + 1))
27	4	zcnd 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
28		ax-1cn 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		npcan 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
30	27, 28, 29	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
31	30	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑀...𝐾))
32	26, 31	sseqtrid 4031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝐾))
33		elfzuz3 13543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
34	1, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
35		fzss2 13586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
37	32, 36	sstrd 3989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
38	37	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
39	38	sselda 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
40		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
41	40	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
42	39, 41	syldan 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
43		seqhomo.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
44	43	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45	25, 42, 44	seqcl 14033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆)
46	20, 23, 45	rspcdva 3608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍)
47	18, 46	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹‘𝐾)) = 𝑍)
48	16, 47	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
49	48	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
50		uzp1 12906	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
51	3, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
52	12, 49, 51	mpjaod 858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
53	52, 7	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹‘𝐾))
54		eqidd 2727	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
55	3, 53, 34, 54	seqfveq2 14035	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁))
56		fvex 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐾) ∈ V
57	56	elsn 4638	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝐾) = 𝑍)
58	7, 57	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ {𝑍})
59		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ {𝑍})
60		velsn 4639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} ↔ 𝑥 = 𝑍)
61	59, 60	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 = 𝑍)
62	61	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑦))
63		oveq2 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑦))
64	63	eqeq1d 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑦) = 𝑍))
65		seqz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
66	65	ralrimiva 3136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
67	66	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
68		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
69	64, 67, 68	rspcdva 3608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑍 + 𝑦) = 𝑍)
70	62, 69	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
71		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 + 𝑦) ∈ V
72	71	elsn 4638	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
73	70, 72	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
74		peano2uz 12928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
75	3, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
76		fzss1 13585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
77	75, 76	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
78	77	sselda 3978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
79	78, 40	syldan 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
80	58, 73, 34, 79	seqcl2 14031	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
81		elsni 4640	. . 3 ⊢ ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
82	80, 81	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
83	55, 82	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ⊆ wss 3946  {csn 4623  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11144  1c1 11147   + caddc 11149   − cmin 11482  ℤcz 12601  ℤ_≥cuz 12865  ...cfz 13529  seqcseq 14012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-fz 13530  df-seq 14013

This theorem is referenced by:  bcval5  14327  elqaalem2  26342  lgsne0  27358