MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqz 14061
Description: If the operation + has an absorbing element 𝑍 (a.k.a. zero element), then any sequence containing a 𝑍 evaluates to 𝑍. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqhomo.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqz.3 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
seqz.4 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
seqz.5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
seqz.6 (𝜑𝑁𝑉)
seqz.7 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
seqz (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqz
StepHypRef Expression
1 seqz.5 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzuz 13542 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
41elfzelzd 13547 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 seq1 14025 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹𝐾))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹𝐾))
7 seqz.7 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝑍)
86, 7eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
9 seqeq1 14015 . . . . . . . 8 (𝐾 = 𝑀 → seq𝐾( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
109fveq1d 6892 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑀 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾))
1110eqeq1d 2728 . . . . . 6 (𝐾 = 𝑀 → ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
128, 11syl5ibcom 244 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
13 eluzel2 12870 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
143, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 seqm1 14030 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)))
1614, 15sylan 578 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)))
177adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝐾) = 𝑍)
1817oveq2d 7429 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
19 oveq1 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → (𝑥 + 𝑍) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍))
2019eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) → ((𝑥 + 𝑍) = 𝑍 ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍))
21 seqz.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
2221ralrimiva 3136 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
2322adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥𝑆 (𝑥 + 𝑍) = 𝑍)
24 eluzp1m1 12891 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2514, 24sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
26 fzssp1 13589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝐾 − 1) + 1))
274zcnd 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
28 ax-1cn 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
29 npcan 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3027, 28, 29sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
3130oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑀...𝐾))
3226, 31sseqtrid 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝐾))
33 elfzuz3 13543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
341, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
35 fzss2 13586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))
3732, 36sstrd 3989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀...(𝐾 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3938sselda 3978 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
40 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
4140adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
4239, 41syldan 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
43 seqhomo.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4443adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4525, 42, 44seqcl 14033 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) ∈ 𝑆)
4620, 23, 45rspcdva 3608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + 𝑍) = 𝑍)
4718, 46eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾 − 1)) + (𝐹𝐾)) = 𝑍)
4816, 47eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
4948ex 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍))
50 uzp1 12906 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
513, 50syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
5212, 49, 51mpjaod 858 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = 𝑍)
5352, 7eqtr4d 2769 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐹𝐾))
54 eqidd 2727 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
553, 53, 34, 54seqfveq2 14035 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁))
56 fvex 6903 . . . . . 6 (𝐹𝐾) ∈ V
5756elsn 4638 . . . . 5 ((𝐹𝐾) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹𝐾) = 𝑍)
587, 57sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ {𝑍})
59 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ {𝑍})
60 velsn 4639 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑍} ↔ 𝑥 = 𝑍)
6159, 60sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑥 = 𝑍)
6261oveq1d 7428 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑦))
63 oveq2 7421 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑦))
6463eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑦) = 𝑍))
65 seqz.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
6665ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑍)
68 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
6964, 67, 68rspcdva 3608 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑍 + 𝑦) = 𝑍)
7062, 69eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
71 ovex 7446 . . . . . 6 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
7271elsn 4638 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑍)
7370, 72sylibr 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
74 peano2uz 12928 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
753, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
76 fzss1 13585 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7775, 76syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7877sselda 3978 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
7978, 40syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8058, 73, 34, 79seqcl2 14031 . . 3 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
81 elsni 4640 . . 3 ((seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
8280, 81syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
8355, 82eqtrd 2766 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wss 3946  {csn 4623  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11144  1c1 11147   + caddc 11149  cmin 11482  cz 12601  cuz 12865  ...cfz 13529  seqcseq 14012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-fz 13530  df-seq 14013
This theorem is referenced by:  bcval5  14327  elqaalem2  26342  lgsne0  27358
  Copyright terms: Public domain W3C validator