Theorem serge0 13991

Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
serge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
serge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
serge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
serge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑘)))
3		serge0.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
4		serge0.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
5	2, 3, 4	elrabd 3650	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
6		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑘))
7	6	elrab 3648	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
8		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑦))
9	8	elrab 3648	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝑘 + 𝑦)))
11		readdcl 11121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	ad2ant2r 748	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
13		addge0 11638	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
14	13	an4s 661	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
15	10, 12, 14	elrabd 3650	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
16	7, 9, 15	syl2anb 599	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥}) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
18	1, 5, 17	seqcl 13957	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
19		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
20	19	elrab 3648	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
21	20	simprbi 497	. 2 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
22	18, 21	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  {crab 3401   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   ≤ cle 11179  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937

This theorem is referenced by:  serle  13992