MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  serge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem serge0 14062
Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
serge0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
serge0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
serge0.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
serge0 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serge0.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 breq2 5153 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹𝑘)))
3 serge0.2 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4 serge0.3 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
52, 3, 4elrabd 3681 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
6 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑘))
76elrab 3679 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
8 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑦))
98elrab 3679 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝑘 + 𝑦)))
11 readdcl 11228 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
1211ad2ant2r 745 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
13 addge0 11740 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
1413an4s 658 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
1510, 12, 14elrabd 3681 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
167, 9, 15syl2anb 596 . . . 4 ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥}) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
1716adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
181, 5, 17seqcl 14028 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
19 breq2 5153 . . . 4 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2019elrab 3679 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2120simprbi 495 . 2 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
2218, 21syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  {crab 3418   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11144  0cc0 11145   + caddc 11148  cle 11286  cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14008
This theorem is referenced by:  serle  14063
  Copyright terms: Public domain W3C validator