Theorem serge0 14009

Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
serge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
serge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
serge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
serge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		breq2 5090	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑘)))
3		serge0.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
4		serge0.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
5	2, 3, 4	elrabd 3637	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
6		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑘))
7	6	elrab 3635	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
8		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑦))
9	8	elrab 3635	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝑘 + 𝑦)))
11		readdcl 11112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	ad2ant2r 748	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
13		addge0 11630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
14	13	an4s 661	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
15	10, 12, 14	elrabd 3637	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
16	7, 9, 15	syl2anb 599	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥}) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
18	1, 5, 17	seqcl 13975	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
19		breq2 5090	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
20	19	elrab 3635	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
21	20	simprbi 497	. 2 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
22	18, 21	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  {crab 3390   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   ≤ cle 11171  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  seqcseq 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955

This theorem is referenced by:  serle  14010