MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  serge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem serge0 14023
Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
serge0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
serge0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
serge0.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
serge0 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serge0.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 breq2 5143 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹𝑘)))
3 serge0.2 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4 serge0.3 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
52, 3, 4elrabd 3678 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
6 breq2 5143 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑘))
76elrab 3676 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
8 breq2 5143 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑦))
98elrab 3676 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10 breq2 5143 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝑘 + 𝑦)))
11 readdcl 11190 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
1211ad2ant2r 744 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
13 addge0 11702 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
1413an4s 657 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
1510, 12, 14elrabd 3678 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
167, 9, 15syl2anb 597 . . . 4 ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥}) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
1716adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
181, 5, 17seqcl 13989 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
19 breq2 5143 . . . 4 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2019elrab 3676 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2120simprbi 496 . 2 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
2218, 21syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  {crab 3424   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110  cle 11248  cuz 12821  ...cfz 13485  seqcseq 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-seq 13968
This theorem is referenced by:  serle  14024
  Copyright terms: Public domain W3C validator