Theorem serle 13980

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
serge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
serge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
serle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
serle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
serle	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serge0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑘))
3		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
6		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
8	7	elv 3445	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))
9		serle.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
10		serge0.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	9, 10	resubcld 11565	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
12	8, 11	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13		serle.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
14	9, 10	subge0d 11727	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
15	13, 14	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
16	15, 8	breqtrrdi 5140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘))
17	1, 12, 16	serge0 13979	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))))‘𝑁))
18	9	recnd 11160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
19	10	recnd 11160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
21	1, 18, 19, 20	sersub 13968	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
22	17, 21	breqtrd 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
23		readdcl 11109	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
25	1, 9, 24	seqcl 13945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℝ)
26	1, 10, 24	seqcl 13945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
27	25, 26	subge0d 11727	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
28	22, 27	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  seqcseq 13924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925

This theorem is referenced by:  iserle  15583  cvgcmpub  15740  ioombl1lem4  25518  stirlinglem10  46327