MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  serle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem serle 14108
Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
serge0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
serge0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
serle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
serle.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
serle (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serle
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serge0.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fveq2 6920 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑘))
3 fveq2 6920 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
42, 3oveq12d 7466 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
5 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
6 ovex 7481 . . . . . . 7 ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7029 . . . . . 6 (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
87elv 3493 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))
9 serle.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
10 serge0.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
119, 10resubcld 11718 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
128, 11eqeltrid 2848 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13 serle.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
149, 10subge0d 11880 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
1513, 14mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1615, 8breqtrrdi 5208 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘))
171, 12, 16serge0 14107 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))))‘𝑁))
189recnd 11318 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
1910recnd 11318 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
208a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
211, 18, 19, 20sersub 14096 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2217, 21breqtrd 5192 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
23 readdcl 11267 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
2423adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
251, 9, 24seqcl 14073 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℝ)
261, 10, 24seqcl 14073 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
2725, 26subge0d 11880 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
2822, 27mpbid 232 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187  cle 11325  cmin 11520  cuz 12903  ...cfz 13567  seqcseq 14052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053
This theorem is referenced by:  iserle  15708  cvgcmpub  15865  ioombl1lem4  25615  stirlinglem10  46004
  Copyright terms: Public domain W3C validator