MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  serle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem serle 14095
Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
serge0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
serge0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
serle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
serle.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
serle (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serle
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serge0.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑘))
3 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
42, 3oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
5 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
6 ovex 7464 . . . . . . 7 ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
87elv 3483 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))
9 serle.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
10 serge0.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
119, 10resubcld 11689 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
128, 11eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13 serle.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
149, 10subge0d 11851 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
1513, 14mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1615, 8breqtrrdi 5190 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘))
171, 12, 16serge0 14094 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))))‘𝑁))
189recnd 11287 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
1910recnd 11287 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
208a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
211, 18, 19, 20sersub 14083 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2217, 21breqtrd 5174 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
23 readdcl 11236 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
2423adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
251, 9, 24seqcl 14060 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℝ)
261, 10, 24seqcl 14060 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
2725, 26subge0d 11851 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
2822, 27mpbid 232 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040
This theorem is referenced by:  iserle  15693  cvgcmpub  15850  ioombl1lem4  25610  stirlinglem10  46039
  Copyright terms: Public domain W3C validator