Theorem serle 14021

Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
serge0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
serge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
serle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
serle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
serle	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serge0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑘))
3		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	oveq12d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
5		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))
6		ovex 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
8	7	elv 3472	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))
9		serle.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
10		serge0.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	9, 10	resubcld 11640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
12	8, 11	eqeltrid 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13		serle.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘))
14	9, 10	subge0d 11802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐺‘𝑘)))
15	13, 14	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
16	15, 8	breqtrrdi 5181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘))
17	1, 12, 16	serge0 14020	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))))‘𝑁))
18	9	recnd 11240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
19	10	recnd 11240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘)))
21	1, 18, 19, 20	sersub 14009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺‘𝑥) − (𝐹‘𝑥))))‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
22	17, 21	breqtrd 5165	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
23		readdcl 11190	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
25	1, 9, 24	seqcl 13986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℝ)
26	1, 10, 24	seqcl 13986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
27	25, 26	subge0d 11802	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
28	22, 27	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   ≤ cle 11247   − cmin 11442  ℤ_≥cuz 12820  ...cfz 13482  seqcseq 13964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965

This theorem is referenced by:  iserle  15604  cvgcmpub  15761  ioombl1lem4  25414  stirlinglem10  45309