Theorem sgrimval 24585

Description: The induced metric on a subgroup in terms of the induced metric on the parent normed group. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgrim.x	⊢ 𝑋 = (𝑇 ↾s 𝑈)
sgrim.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
sgrim.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑋)
sgrimval.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
sgrimval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
sgrimval.s	⊢ 𝑆 = (SubGrp‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
sgrimval	⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sgrimval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrim.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑇 ↾s 𝑈)
2		sgrim.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
3		sgrim.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑋)
4	1, 2, 3	sgrim 24584	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝐸 = 𝐷)
5	4	oveqd 7373	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
6	5	ad2antlr 728	1 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↾_s cress 17189  distcds 17218  SubGrpcsubg 19085  normcnm 24529  NrmGrpcngp 24530   toNrmGrp ctng 24531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-ds 17231

This theorem is referenced by: (None)