Theorem sgrimval 24123

Description: The induced metric on a subgroup in terms of the induced metric on the parent normed group. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgrim.x	⊢ 𝑋 = (𝑇 ↾s 𝑈)
sgrim.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
sgrim.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑋)
sgrimval.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
sgrimval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
sgrimval.s	⊢ 𝑆 = (SubGrp‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
sgrimval	⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sgrimval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrim.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑇 ↾s 𝑈)
2		sgrim.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
3		sgrim.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑋)
4	1, 2, 3	sgrim 24122	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝐸 = 𝐷)
5	4	oveqd 7421	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
6	5	ad2antlr 726	1 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ↾_s cress 17169  distcds 17202  SubGrpcsubg 18994  normcnm 24067  NrmGrpcngp 24068   toNrmGrp ctng 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-ds 17215

This theorem is referenced by: (None)