Theorem sgrimval 24978

Description: The induced metric on a subgroup in terms of the induced metric on the parent normed group. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgrim.x	⊢ 𝑋 = (𝑇 ↾s 𝑈)
sgrim.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
sgrim.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑋)
sgrimval.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
sgrimval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
sgrimval.s	⊢ 𝑆 = (SubGrp‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
sgrimval	⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sgrimval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrim.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑇 ↾s 𝑈)
2		sgrim.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
3		sgrim.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑋)
4	1, 2, 3	sgrim 24977	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝐸 = 𝐷)
5	4	oveqd 7457	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
6	5	ad2antlr 740	1 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↾_s cress 17434  distcds 17463  SubGrpcsubg 19356  normcnm 24922  NrmGrpcngp 24923   toNrmGrp ctng 24924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-ds 17476

This theorem is used by: (None)