Theorem subgnm 24549

Description: The norm in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgngp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
subgnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
subgnm.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subgnm	⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Proof of Theorem subgnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19042	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
3	2	resmptd 5993	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
4		subgngp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
5	4	subgbas 19045	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
6		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
7	4, 6	ressds 17316	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
8		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 = 𝑥)
9		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10	4, 9	subg0 19047	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
11	7, 8, 10	oveq123d 7373	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
12	5, 11	mpteq12dv 5180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
13	3, 12	eqtr2d 2769	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴))
14		subgnm.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)
15		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17		eqid 2733	. . 3 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
18	14, 15, 16, 17	nmfval 24504	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
19		subgnm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
20	19, 1, 9, 6	nmfval 24504	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	20	reseq1i 5928	. 2 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴)
22	13, 18, 21	3eqtr4g 2793	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5174   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  distcds 17172  0_gc0g 17345  SubGrpcsubg 19035  normcnm 24492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-ds 17185  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-subg 19038  df-nm 24498

This theorem is referenced by:  subgnm2  24550  subrgnrg  24589  isncvsngp  25077  cphsscph  25179