Theorem subgnm 24519

Description: The norm in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgngp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
subgnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
subgnm.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subgnm	⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Proof of Theorem subgnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19006	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
3	2	resmptd 5991	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
4		subgngp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
5	4	subgbas 19009	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
7	4, 6	ressds 17314	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
8		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 = 𝑥)
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10	4, 9	subg0 19011	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
11	7, 8, 10	oveq123d 7370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
12	5, 11	mpteq12dv 5179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
13	3, 12	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴))
14		subgnm.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)
15		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
18	14, 15, 16, 17	nmfval 24474	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
19		subgnm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
20	19, 1, 9, 6	nmfval 24474	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	20	reseq1i 5926	. 2 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴)
22	13, 18, 21	3eqtr4g 2789	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5173   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  distcds 17170  0_gc0g 17343  SubGrpcsubg 18999  normcnm 24462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-ds 17183  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-subg 19002  df-nm 24468

This theorem is referenced by:  subgnm2  24520  subrgnrg  24559  isncvsngp  25047  cphsscph  25149