Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgnm 22814
 Description: The norm in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgngp.h 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
subgnm.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
subgnm.m 𝑀 = (norm‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
subgnm (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁𝐴))

Proof of Theorem subgnm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21subgss 17953 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
32resmptd 5693 . . 3 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺))) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
4 subgngp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
54subgbas 17956 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
6 eqid 2825 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
74, 6ressds 16433 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
8 eqidd 2826 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 = 𝑥)
9 eqid 2825 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
104, 9subg0 17958 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
117, 8, 10oveq123d 6931 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺)) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻)))
125, 11mpteq12dv 4958 . . 3 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻))))
133, 12eqtr2d 2862 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺))) ↾ 𝐴))
14 subgnm.m . . 3 𝑀 = (norm‘𝐻)
15 eqid 2825 . . 3 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16 eqid 2825 . . 3 (0g𝐻) = (0g𝐻)
17 eqid 2825 . . 3 (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
1814, 15, 16, 17nmfval 22770 . 2 𝑀 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻)))
19 subgnm.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
2019, 1, 9, 6nmfval 22770 . . 3 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
2120reseq1i 5629 . 2 (𝑁𝐴) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺))) ↾ 𝐴)
2213, 18, 213eqtr4g 2886 1 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ↦ cmpt 4954   ↾ cres 5348  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229   ↾s cress 16230  distcds 16321  0gc0g 16460  SubGrpcsubg 17946  normcnm 22758 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-ds 16334  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-subg 17949  df-nm 22764 This theorem is referenced by:  subgnm2  22815  subrgnrg  22854  isncvsngp  23325  cphsscph  23426
 Copyright terms: Public domain W3C validator