Theorem subgnm 24860

Description: The norm in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgngp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
subgnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
subgnm.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subgnm	⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Proof of Theorem subgnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19251	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
3	2	resmptd 6036	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
4		subgngp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
5	4	subgbas 19254	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
7	4, 6	ressds 17496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
8		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 = 𝑥)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10	4, 9	subg0 19256	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
11	7, 8, 10	oveq123d 7435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
12	5, 11	mpteq12dv 5192	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
13	3, 12	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴))
14		subgnm.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)
15		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
18	14, 15, 16, 17	nmfval 24815	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
19		subgnm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
20	19, 1, 9, 6	nmfval 24815	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	20	reseq1i 5968	. 2 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴)
22	13, 18, 21	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  distcds 17352  0_gc0g 17525  SubGrpcsubg 19244  normcnm 24803

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-ds 17365  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-subg 19247  df-nm 24809

This theorem is used by:  subgnm2  24861  subrgnrg  24900  isncvsngp  25378  cphsscph  25480