Theorem subgnm 24555

Description: The norm in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgngp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
subgnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
subgnm.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subgnm	⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Proof of Theorem subgnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19082	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
3	2	resmptd 6044	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
4		subgngp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
5	4	subgbas 19085	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
6		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
7	4, 6	ressds 17391	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
8		eqidd 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 = 𝑥)
9		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10	4, 9	subg0 19087	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
11	7, 8, 10	oveq123d 7441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
12	5, 11	mpteq12dv 5239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
13	3, 12	eqtr2d 2769	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴))
14		subgnm.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)
15		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2728	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17		eqid 2728	. . 3 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
18	14, 15, 16, 17	nmfval 24510	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
19		subgnm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
20	19, 1, 9, 6	nmfval 24510	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	20	reseq1i 5981	. 2 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴)
22	13, 18, 21	3eqtr4g 2793	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5680  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209  distcds 17242  0_gc0g 17421  SubGrpcsubg 19075  normcnm 24498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-ds 17255  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-subg 19078  df-nm 24504

This theorem is referenced by:  subgnm2  24556  subrgnrg  24603  isncvsngp  25090  cphsscph  25192