Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smattl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smattl 31070
Description: Entries of a submatrix, top left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smattl.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smattl.j (𝜑𝐽 ∈ (1..^𝐿))
Assertion
Ref Expression
smattl (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴𝐽))

Proof of Theorem smattl
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fzossnn 13066 . . 3 (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8 smattl.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
97, 8sseldi 3940 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
10 fzossnn 13066 . . 3 (1..^𝐿) ⊆ ℕ
11 smattl.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1..^𝐿))
1210, 11sseldi 3940 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
13 elfzolt2 13027 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
148, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐾)
1514iftrued 4447 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
16 elfzolt2 13027 . . . 4 (𝐽 ∈ (1..^𝐿) → 𝐽 < 𝐿)
1711, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 < 𝐿)
1817iftrued 4447 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = 𝐽)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 18smatlem 31069 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5038   × cxp 5525  cfv 6327  (class class class)co 7129  m cmap 8380  1c1 10512   + caddc 10514   < clt 10649  cn 11612  ...cfz 12872  ..^cfzo 13013  subMat1csmat 31065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-smat 31066
This theorem is referenced by:  submat1n  31077  submateq  31081
  Copyright terms: Public domain W3C validator