Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smattl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smattl 30405
Description: Entries of a submatrix, top left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smattl.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smattl.j (𝜑𝐽 ∈ (1..^𝐿))
Assertion
Ref Expression
smattl (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴𝐽))

Proof of Theorem smattl
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fzossnn 12819 . . 3 (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8 smattl.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
97, 8sseldi 3825 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
10 fzossnn 12819 . . 3 (1..^𝐿) ⊆ ℕ
11 smattl.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1..^𝐿))
1210, 11sseldi 3825 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
13 elfzolt2 12781 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
148, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐾)
1514iftrued 4316 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
16 elfzolt2 12781 . . . 4 (𝐽 ∈ (1..^𝐿) → 𝐽 < 𝐿)
1711, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 < 𝐿)
1817iftrued 4316 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = 𝐽)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 18smatlem 30404 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875   × cxp 5344  cfv 6127  (class class class)co 6910  𝑚 cmap 8127  1c1 10260   + caddc 10262   < clt 10398  cn 11357  ...cfz 12626  ..^cfzo 12767  subMat1csmat 30400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-smat 30401
This theorem is referenced by:  submat1n  30412  submateq  30416
  Copyright terms: Public domain W3C validator