Theorem smattr 33959

Description: Entries of a submatrix, top right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smattr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smattr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1..^𝐿))

Assertion

Ref	Expression
smattr	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))

Proof of Theorem smattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fz1ssnn 13500	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
8	7, 4	sselid 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		fzssnn 13513	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11		smattr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
12	10, 11	sseldd 3923	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13		fzossnn 13657	. . 3 ⊢ (1..^𝐿) ⊆ ℕ
14		smattr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1..^𝐿))
15	13, 14	sselid 3920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
16		elfzle1 13472	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝐼)
17	11, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐼)
18	8	nnred 12180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
19	12	nnred 12180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
20	18, 19	lenltd 11283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
21	17, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
22	21	iffalsed 4478	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
23		elfzolt2 13614	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (1..^𝐿) → 𝐽 < 𝐿)
24	14, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐿)
25	24	iftrued 4475	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = 𝐽)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 22, 25	smatlem 33957	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  subMat1csmat 33953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-smat 33954

This theorem is referenced by:  submateq  33969