Theorem smattr 33625

Description: Entries of a submatrix, top right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smattr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smattr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1..^𝐿))

Assertion

Ref	Expression
smattr	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))

Proof of Theorem smattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fz1ssnn 13578	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
8	7, 4	sselid 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		fzssnn 13591	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11		smattr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
12	10, 11	sseldd 3980	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13		fzossnn 13727	. . 3 ⊢ (1..^𝐿) ⊆ ℕ
14		smattr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1..^𝐿))
15	13, 14	sselid 3977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
16		elfzle1 13550	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝐼)
17	11, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐼)
18	8	nnred 12271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
19	12	nnred 12271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
20	18, 19	lenltd 11399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
21	17, 20	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
22	21	iffalsed 4535	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
23		elfzolt2 13687	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (1..^𝐿) → 𝐽 < 𝐿)
24	14, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐿)
25	24	iftrued 4532	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = 𝐽)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 22, 25	smatlem 33623	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5144   × cxp 5671  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8845  1c1 11148   + caddc 11150   < clt 11287   ≤ cle 11288  ℕcn 12256  ...cfz 13530  ..^cfzo 13673  subMat1csmat 33619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-smat 33620

This theorem is referenced by:  submateq  33635