Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smattr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smattr 30963
Description: Entries of a submatrix, top right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smattr.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smattr.j (𝜑𝐽 ∈ (1..^𝐿))
Assertion
Ref Expression
smattr (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))

Proof of Theorem smattr
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fz1ssnn 12926 . . . . 5 (1...𝑀) ⊆ ℕ
87, 4sseldi 3962 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 fzssnn 12939 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11 smattr.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
1210, 11sseldd 3965 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
13 fzossnn 13074 . . 3 (1..^𝐿) ⊆ ℕ
14 smattr.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1..^𝐿))
1513, 14sseldi 3962 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
16 elfzle1 12898 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾𝐼)
1711, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
188nnred 11641 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1912nnred 11641 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
2018, 19lenltd 10774 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
2117, 20mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
2221iffalsed 4474 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
23 elfzolt2 13035 . . . 4 (𝐽 ∈ (1..^𝐿) → 𝐽 < 𝐿)
2414, 23syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 < 𝐿)
2524iftrued 4471 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = 𝐽)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 22, 25smatlem 30961 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  subMat1csmat 30957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-smat 30958
This theorem is referenced by:  submateq  30973
  Copyright terms: Public domain W3C validator