Theorem smattr 33956

Description: Entries of a submatrix, top right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smattr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smattr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1..^𝐿))

Assertion

Ref	Expression
smattr	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))

Proof of Theorem smattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fz1ssnn 13471	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
8	7, 4	sselid 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		fzssnn 13484	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11		smattr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
12	10, 11	sseldd 3934	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13		fzossnn 13627	. . 3 ⊢ (1..^𝐿) ⊆ ℕ
14		smattr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1..^𝐿))
15	13, 14	sselid 3931	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
16		elfzle1 13443	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝐼)
17	11, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐼)
18	8	nnred 12160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
19	12	nnred 12160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
20	18, 19	lenltd 11279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
21	17, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
22	21	iffalsed 4490	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
23		elfzolt2 13584	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (1..^𝐿) → 𝐽 < 𝐿)
24	14, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 < 𝐿)
25	24	iftrued 4487	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = 𝐽)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 22, 25	smatlem 33954	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  subMat1csmat 33950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-smat 33951

This theorem is referenced by:  submateq  33966